Minimalne sprzężenie

W mechanice analitycznej i kwantowej teorii pola minimalne sprzężenie odnosi się do sprzężenia między polami , które obejmuje tylko rozkład ładunku , a nie wyższe momenty wielobiegunowe rozkładu ładunku . To minimalne sprzężenie kontrastuje na przykład ze sprzężeniem Pauliego , które zawiera moment magnetyczny elektronu bezpośrednio w Lagrange'a .

Elektrodynamika

W elektrodynamice minimalne sprzężenie jest wystarczające, aby uwzględnić wszystkie oddziaływania elektromagnetyczne. Wyższe momenty cząstek są konsekwencją minimalnego sprzężenia i niezerowego spinu .

Nierelatywistyczna cząstka naładowana w polu elektromagnetycznym

We współrzędnych kartezjańskich Lagrange'a nierelatywistycznej klasycznej cząstki w polu elektromagnetycznym wynosi (w jednostkach SI ):

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ suma _ {i} {\ tfrac {1} {2}} m{\dot {x}}_{i}^{2}+\suma _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi}$

gdzie q to $displaystyle$ elektryczny cząstki, φ to skalarny potencjał elektryczny , a ZA _ja to składowe wektora potencjału magnetycznego , które mogą wyraźnie zależeć od t $t}$$\$ .

Ten Lagrange'a w połączeniu z równaniem Eulera-Lagrange'a daje prawo siły Lorentza

${\ Displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = q \ mathbf {E} + q {\ kropka {\ mathbf {x}}} \ razy \mathbf {B} \,,}$

i nazywa się sprzężeniem minimalnym.

Zauważ, że wartości potencjału skalarnego i potencjału wektorowego zmieniłyby się podczas transformacji cechowania , a sam Lagrange'a również podniesie dodatkowe wyrazy, ale dodatkowe wyrazy w Lagrange'u sumują się do całkowitej pochodnej czasowej funkcji skalarnej, a zatem nadal dają to samo równanie Eulera-Lagrange'a.

Pędy kanoniczne są podane przez

${\ Displaystyle p_ {i} = {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {L}}} {\ częściowe {\ kropka {x}} _{i}}}=m{\kropka {x}}_{i}+qA_{i}}$

Należy zauważyć, że pędy kanoniczne nie są niezmiennikami cechowania i nie są fizycznie mierzalne. Jednak pęd kinetyczny

${\ Displaystyle P_ {i} \ równoważnik m {\ kropka {x}} _ {i} = p_ {i} -qA_ {i}}$

są niezmienne z cechowania i fizycznie mierzalne.

Hamiltonian , jako transformacja Lagrange'a Legendre'a , jest zatem

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ lewo \ {\ suma _ {i }{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i }\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

To równanie jest często używane w mechanice kwantowej .

W ramach transformacji cechowania,

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla f \ \ quad \ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ kropka {f }}\,,}$

gdzie f ( r , t ) jest dowolną skalarną funkcją przestrzeni i czasu, wspomniane wcześniej Lagrange'a, kanoniczne pędy i Hamiltonian przechodzą jak

${\ Displaystyle L \ rightarrow L '= L + q { \frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=Hq {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} \,,}$

co nadal daje to samo równanie Hamiltona:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo. {\ Frac {\ częściowe H'} {\ częściowe {x_ {i}}}} \ prawo | _ {p'_ {i}} & = \ lewo. { \frac {\częściowy }{\częściowy {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\kropka {x}}_{i}p'_{i}-L' )=-\lewo.{\frac {\częściowy L'}{\częściowo {x_{i}}}}\prawo|_{p'_{i}}\\&=-\lewo.{\frac { \partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial}}{\partial {x_{i}}}} \right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\częściowe L }{\częściowe {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\częściowe f}{\częściowe {x_{ i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\kropka {p}}'_{i}\end{wyrównane}}}$

W mechanice kwantowej funkcja falowa ulegnie również lokalnej transformacji grupowej U(1) podczas transformacji cechowania, co oznacza, że ​​wszystkie wyniki fizyczne muszą być niezmienne przy lokalnych transformacjach U(1).

Relatywistyczna naładowana cząstka w polu elektromagnetycznym

Relatywistyczny Lagrange'a dla cząstki ( masa spoczynkowa m i ładunek q ) jest określony wzorem:

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (t) = - mc ^ {2} {\ sqrt {1- {\ Frac {{{\ kropka {\ mathbf {x}}} (t)} ^ {2} }{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x}}}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right) -q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Zatem kanoniczny pęd cząstki wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {p} (t) = {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {L}}} {\ częściowe {\dot {\mathbf {x}}}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x}}}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

to znaczy suma pędu kinetycznego i pędu potencjalnego.

Rozwiązując prędkość, otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = {\ Frac {\ mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right )}^{2}}}}}$

Hamiltonian więc jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ kropka {\ mathbf {x } }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A } \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Powoduje to równanie siły (odpowiednik równania Eulera – Lagrange'a )

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {p}}} = - {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {H}}}} {\ częściowe \ mathbf {x}}} = q {\ kropka {\ mathbf {x } }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla}}\mathbf {A})-q{\boldsymbol {\nabla}}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla}}({\dot {\mathbf { x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla}}\varphi}$

z którego można czerpać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ lewo ({\ Frac {m {\ kropka {\ mathbf {x}}}} {\ sqrt {1- {\frac {{\dot {\mathbf {x}}}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d}} {\mathrm {d} t}} (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} ) = {\ kropka {\ mathbf {p}}} - q {\ frac {\ częściowe A} {\ częściowe t} } -q({\dot {\mathbf {x}}}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla}}({\dot {\mathbf {x}}} \cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla}}\varphi -q{\frac {\częściowe A}{\częściowe t}}-q({\dot {\mathbf {x}}} \cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x}}}\times \mathbf {B} \end{wyrównane}}}$

Powyższe wyprowadzenie wykorzystuje tożsamość rachunku wektorowego :

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ nabla \ lewo (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A} \ prawej) \ = \ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ { \mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\ ,\mathbf {A} {\razy}(\nabla {\razy}\mathbf {A}).}$

Równoważne wyrażenie dla hamiltonianu jako funkcji relatywistycznego (kinetycznego) pędu, P = γm ẋ ( t ) = p - q A , to

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (t) = {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) \ cdot \ mathbf {P} (t) + {\ Frac {mc ^ {2}} { \gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Ma to tę zaletę, że pęd kinetyczny P można zmierzyć eksperymentalnie, podczas gdy pęd kanoniczny p nie. Zauważ, że hamiltonian ( energia całkowita ) może być postrzegany jako suma energii relatywistycznej (kinetyczna+reszta) , E = γmc ² , plus energia potencjalna , V = eφ .

Inflacja

W badaniach inflacji kosmologicznej minimalne sprzężenie pola skalarnego zwykle odnosi się do minimalnego sprzężenia z grawitacją. Oznacza to $,$ że działanie na inflacji nie jest sprzężone z krzywizną skalarną . Jego jedynym sprzężeniem z grawitacją jest sprzężenie z niezmienną miarą Lorentza skonstruowaną z metryki (w jednostkach Plancka ): ${\ Displaystyle {\ sqrt {g}} \, d ^ {4} x}$

${\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} x \ {\ sqrt {g}} \ ,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi) \Prawidłowy)}$

gdzie ${\ displaystyle g: = \ det g _ {\ mu \ nu}}$ i wykorzystując pochodną kowariantną cechowania .