Model acykliczny

W topologii algebraicznej , dyscyplinie matematyki , twierdzenie o modelach acyklicznych można wykorzystać do wykazania, że ​​dwie teorie homologii są izomorficzne . Twierdzenie zostało opracowane przez topologów Samuela Eilenberga i Saundersa MacLane'a . Odkryli, że kiedy topolodzy pisali dowody w celu ustalenia równoważności różnych teorii homologii, w procesach było wiele podobieństw. Eilenberg i MacLane odkryli następnie twierdzenie uogólniające ten proces.

Można go użyć do udowodnienia twierdzenia Eilenberga – Zilbera ; prowadzi to do idei kategorii modelowej .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech $mathcal {K$ dowolną kategorią i będzie kategorią kompleksów łańcuchowych - do ${\$${$ } moduły na jakimś pierścieniu ${\ displaystyle R}$ . Niech ${\ Displaystyle F, V: {\ mathcal {K}} \ do {\ mathcal {C}} (R)} będą$ kowariantnymi funktorami takimi, że:

• ${\ Displaystyle F_ {i} = V_ {i} = 0}$ dla ${\ Displaystyle i <0}$ .
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {k} \ subseteq {\ mathcal {K}}}$ ⊆ k $\ Displaystyle k \ geq 0}$ takie, że $}$${\ displaystyle F_ {$$jest$$}$ podstawę w więc wolnym funktorem .
• $}$$H_ {k} (V (M)) = 0}$$V$ jest acykliczny tych modelach, co $($$\$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k> 0}$ i wszystkich ${\ Displaystyle M \ w {\ mathcal {M}} _ { k}\cup {\mathcal {M}}_{k+1}}$ .

Wtedy obowiązują następujące twierdzenia:

• Każda naturalna $_$$_ f:F\do V}$ _ .
• Jeśli ${\ Displaystyle \ varphi, \ psi: H_ {0} (F) \ do H_ {0} (V)}$ są naturalnymi przekształceniami, $g: F \ do V} są naturalnymi mapami łańcuchów$$^ {$ poprzednio i dla wszystkich modeli $} displaystyle M \ in {\ mathcal {M}} _ {0}}$ , to istnieje naturalna homotopia łańcucha między ${\ displaystyle f}$ i ${\ displaystyle g}$ .
• W szczególności mapa łańcucha $unikalna$ aż do naturalnej homotopii łańcucha .

Uogólnienia

Kompleksy rzutowe i acykliczne

To, co jest powyżej, jest jedną z najwcześniejszych wersji twierdzenia. Inna wersja to ta, która mówi, że jeśli jest złożeniem rzutów w kategorii abelowej i $0} \ do L_ {0}}$$złożeniem$ acyklicznym w tej kategorii, to dowolna mapa jest $}$$\ displaystyle K_ {$ rozciąga się na mapę łańcucha ${\ displaystyle K \ do L}$ , unikalną aż do homotopii.

$się to prawie w powyższym twierdzeniu$ kategorii funktora jako kategorii abelowej Funktory swobodne są obiektami rzutowymi należącymi do tej kategorii. Morfizmy w kategorii funktorów są naturalnymi transformacjami, więc skonstruowane mapy łańcuchów i homotopie są wszystkie naturalne. $acykliczność$ że w powyższej wersji jest silniejszym założeniem niż acykliczność tylko w niektórych obiektach.

$,$ pozwalając na kategorię z tylko jednym obiektem. Wtedy $w$ funktor jest zasadzie tylko wolnym (a więc rzutowym) modułem. $Bycie$$acyklicznym$ w modelach (jest tylko jeden) oznacza nic innego jak to, że kompleks .

Klasy acykliczne

Istnieje wielkie twierdzenie, które łączy oba powyższe. Niech $mathcal {A}}}$$)} mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}} )$ będzie kategorią abelową (na przykład lub do ${\ Displaystyle {\ Displaystyle {\ Displaystyle {\$ . Klasa kompleksów łańcuchowych nad będzie nazywana klasą acykliczną, $pod$ warunkiem, że: $\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

• Kompleks 0 jest w ${\ displaystyle \ Gamma}$ .
• Kompleks $wtedy i tylko wtedy$ do $displaystyle$$\ Gamma}$ zawieszenie .
• Jeśli kompleksy i są homotopijne i $Gamma$$K \ in \ Gamma}$$Displaystyle$ , to ${\ Displaystyle L \ in$ .
• Każdy kompleks w $acykliczny$ .
• Jeśli $\ displaystyle \ Gamma$ podwójnym kompleksem, którego wszystkie rzędy są w $całkowity$$to$ kompleks należy do $}$ .

Istnieją trzy naturalne przykłady klas acyklicznych, chociaż niewątpliwie istnieją inne. Pierwsza dotyczy homotopii kurczliwych kompleksów. Drugi dotyczy kompleksów acyklicznych. W kategoriach funktorów (np. kategoria wszystkich funktorów od przestrzeni topologicznych do grup abelowych) istnieje klasa kompleksów, które są możliwe do skurczenia na każdym obiekcie, ale gdzie skurcze mogą nie wynikać z naturalnych przekształceń. Innym przykładem są ponownie kategorie funktorów, ale tym razem kompleksy są acykliczne tylko przy pewnych obiektach.

Niech oznacza klasę map łańcuchów między kompleksami, których $stożek$ mapowania należy do $\ displaystyle \ Gamma}$ . Chociaż $1$ ma rachunek różniczkowy ułamków prawych lub lewych, ma słabsze właściwości posiadania klas homotopii zarówno ułamków lewych, jak i prawych, które pozwalają na utworzenie klasy Σ - $\ Sigma ^ {-1} C}$ uzyskane przez odwrócenie strzałek w ${\ displaystyle \ Sigma}$ .

Niech będzie $rozszerzonym$ endofunktorem na $, co oznacza$$}$ transformacja ( tożsamości na $\displaystyle C}$$displaystyle$ ). Mówimy, że kompleks łańcuchowy jest reprezentatywny $,$ jeśli dla każdego ${\ displaystyle$ łańcuchowego $K$ }

${\ Displaystyle \ cdots K_ {n} G ^ {m + 1} \ do K_ {n} G ^ {m} \ do \ cdots \ do K_{n}}$

należy do ${\ Displaystyle \ Gamma}$ . Operator brzegowy jest określony przez

${\ Displaystyle \ suma (-1) ^ {i} K_ {n} G ^ {i} \ epsilon G^{mi}:K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}}$ .

Mówimy, że funktor zespolonego łańcucha jest $Displaystyle$ , $L \ do H_ {0} (L) \$ rozszerzony kompleks łańcuchowy $→ {\$ do belongs to $\Gamma$.

Twierdzenie . Niech $klasą$ acykliczną i odpowiednią $.$ w kategorii kompleksów łańcuchowych $.$$,$ że jest i $jest$ _ $_$ _ $_$ każda ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {- 1} (C)}$ _ do naturalnej transformacji funktorów łańcuchowych ${\ Displaystyle f: K \ do L}$ i jest to wyjątkowe w ${\ displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$ aż do homotopii łańcuchowych. $-acykliczny$ dodatkowo założymy, że jest -prezentowalny $,$$że$ jest i że $displaystyle$$\$$}}$ jest izomorfizmem, to $homotopii$ .

Przykład

Oto przykład tego ostatniego twierdzenia w działaniu. Niech będzie kategorią przestrzeni triangulowalnych i $będzie$ kategorią funktorów o wartościach grupy abelowej na $}$$displaystyle X$ . Niech $będzie$ funktorem łańcucha pojedynczego $łańcucha$ funktorem zespolonym uproszczonego . Niech $do X}$ będzie funktorem, który przypisuje każdej przestrzeni przestrzeń mi : X $Displaystyle E: X$

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ geq 0} \ suma _ {{\ textrm {Hom}} (\ Delta _ {n}, X)} \ Delta _ {n.}}$ .

Tutaj jest $-simplex$$_ {n$ ten funktor przypisuje sumę tylu kopii każdego z nich - $displaystyle$$\ Delta$ } simplex, ponieważ istnieją mapy ${\ Displaystyle \ Delta _ {n} \ do X}$ . Następnie niech będzie zdefiniowany przez $)$${\ Displaystyle G (C) =$ CE Istnieje oczywista augmentacja, $która$ indukuje ją na ${\ displaystyle EX \ do X$ . Można wykazać, że zarówno $możliwy$ reprezentatywne , jak i $}$ { \ $.$$jest$ do $)$ i acykliczny nie jest całkowicie prosty i wykorzystuje objazd przez uproszczony podział, który można również obsłużyć za pomocą powyższego twierdzenia). Klasa $.$ klasą równoważności homologii Jest raczej oczywiste, że ${\ Displaystyle H_ {0} (K) \ simeq H_ {0} (L)}$ , więc dochodzimy do wniosku, że homologia pojedyncza i uproszczona są izomorficzne na ${\ displaystyle X}$ .

Istnieje wiele innych przykładów zarówno w algebrze, jak i topologii, z których niektóre są opisane w

• Schon, R. „Modele acykliczne i wycinanie”. proc. Amer. Matematyka soc. 59 (1) (1976) s. 167-168.