Twierdzenie Eilenberga-Zilbera

W matematyce , szczególnie w topologii algebraicznej , twierdzenie Eilenberga – Zilbera jest ważnym wynikiem w ustalaniu powiązania między grupami homologii przestrzeni iloczynu a grupami przestrzeni $\ razy Y}$$displaystyle$ i ${\ displaystyle Y}$ . Twierdzenie to pojawiło się po raz pierwszy w artykule Samuela Eilenberga i Josepha A. Zilbera z 1953 r. W American Journal of Mathematics . Jedną z możliwych dróg do dowodu jest twierdzenie o modelu acyklicznym .

Stwierdzenie twierdzenia

Twierdzenie można sformułować w następujący sposób. Załóżmy, że i ${\ Displaystyle$$Y}$ są przestrzeniami topologicznymi , wtedy mamy trzy kompleksy łańcuchowe ${\ Displaystyle C_ {*} (X)}$ ∗ $)$$Displaystyle$ do ${\ Displaystyle C_ {*} (X \ razy Y$ } (Argument dotyczy w równym stopniu uproszczonych lub pojedynczych kompleksów łańcuchowych.) Mamy również kompleks iloczynu tensorowego $} (X) \ otimes C_ {*} (Y )}$ , którego różniczka jest z definicji

${\ Displaystyle \ częściowe _ {C_ {*} (X) \ otimes C_{*}(Y)}(\sigma \otimes \tau )=\częściowe _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \częściowe _{Y}\tau }$

dla ${\ Displaystyle \ sigma \ w C_ {p} (X)}$ i $Displaystyle \ częściowe _ {X}}$ \ , ${\ Displaystyle \ częściowe _ {Y}}$ różnice na $Displaystyle C_ {*} (X)}$${\ Displaystyle C_ {*} (Y)}$ , do .

Następnie twierdzenie mówi, że mamy mapy łańcuchów

${\ Displaystyle F \ dwukropek C_ {*}(X\razy Y)\strzałka w prawo C_{*}(X)\czasami C_{*}(Y),\quad G\dwukropek C_{*}(X)\czasami C_{*}(Y)\ strzałka w prawo C_{*}(X\razy Y)}$

takie, $że$ jest i jest $łańcuchowo$ tożsamością Co więcej, mapy są naturalne w ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ . W konsekwencji dwa kompleksy muszą mieć tę samą homologię :

${\ Displaystyle H_ {*} (C_ {*} (X \ razy Y)} \ cong H_ {*} (C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (Y)).}$

Oświadczenie w zakresie map kompozytowych

Oryginalne twierdzenie zostało udowodnione w kategoriach modeli acyklicznych, ale więcej przebiegów uzyskano w sformułowaniu Eilenberga i Mac Lane'a przy użyciu wyraźnych map. Standardowa mapa, $którą$$,$ jest tradycyjnie nazywana mapą Alexandra – Whitneya a mapą Eilenberga – Zilbera . Mapy są naturalne zarówno w przypadku, jak i odwrotne do homotopii: ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle FG = \ operatorname {id} _ {C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (Y)}, \ qquad GF- \ operatorname {id} _ {C_ { *}(X\razy Y)}=\częściowe _{C_{*}(X)\oraz C_{*}(Y)}H+H\częściowe _{C_{*}(X)\oraz C_{* }(Y)}}$

dla homotopii naturalnej zarówno w, jak i ${\ displaystyle$$Y$$tak$ , że ponadto każdy z $\ displaystyle HH}$ , ${\ displaystyle FH}$ i ${\ displaystyle HG}$ wynosi zero. To właśnie stałoby się znane jako kontrakcja lub punkt odniesienia wycofania homotopii .

Koprodukt

Mapa przekątna ${\ Displaystyle \ Delta \ okrężnica X \ do X \ razy X}$ indukuje mapę kompleksów kołańcuchowych ${\ Displaystyle C_ {* } (X) \ do C_ {*} (X \ razy X)}$ , po którym następuje Alexander – Whitney ${\ displaystyle F}$ daje koprodukt ${\ Displaystyle C_ {*} (X) \ do C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (X)} wywołując standardowy$ koprodukt na ${\ Displaystyle H_ {*} (X) }$ . W odniesieniu do tych koprodukcji na mapie i $displaystyle$$X}$

${\ Displaystyle H_ {*} (X) \ czasami H_ { *}(Y)\do H_{*}{\big (}C_{*}(X)\czasami C_{*}(Y){\big)}\ {\overset {\sim }{\do}} \ H_{*}(X\razy Y)}$ ,

zwana także mapą Eilenberga-Zilbera, staje się mapą różniczkowych kogebr. Do ${\ Displaystyle C_ {*} (X) \ do C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (X$ } nie jest mapą kogebr.

Stwierdzenie w kohomologii

Mapy Alexandra – Whitneya i Eilenberga – Zilbera ulegają dualizacji (po dowolnym wyborze pierścienia współczynnika przemiennego z jednością) do pary map ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle G ^ {*} \ dwukropek C ^ {*} (X \ razy Y) \ rightarrow {\ duży (} C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (Y) {\ duży)} ^{*},\quad F^{*}\dwukropek {\big (}C_{*}(X)\czasami C_{*}(Y){\big )}^{*}\rightarrow C^{* }(X\razy Y)}$

$homotopii$ czym świadczą liczby podwójne w poprzednich równaniach przy użyciu podwójnej . Koprodukt nie dualizuje bezpośrednio, ponieważ dualizacja nie rozkłada się na produkty tensorowe nieskończenie generowanych modułów, ale istnieje naturalny zastrzyk algebr różniczkowych stopniowanych $\ Displaystyle i \ dwukropek C ^ {*} (X) \ czasami C ^ {*} (Y) \ do {\ duży (} C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (Y) {\ duży)} ^ {*}}$ podane przez ${\ Displaystyle \ alfa \ otimes \ beta \ mapsto (\ sigma \otimes \ tau \ mapsto \ alfa (\ sigma) \ beta (\ tau))}$ , iloczyn brany w pierścieniu współczynników ${\ displaystyle k}$ . To $kohomologii$ , więc mamy zygzak różniczkowych map algebry

${\ styl wyświetlania C ^ {*} (X) \ czasami C ^ {*} (X) \ {\ overset {i} {\ do }} \ {\ duży (} C_ {*} (X) \ czasami C_ {*} (X){\big )}^{*}\ {\overset {G^{*}}{\leftarrow }}\ C^{*}(X\razy X){\overset {C^{*}( \Delta )}{\to }}C^{*}(X)}$

indukowanie produktu ${\ Displaystyle \ uśmiech \ dwukropek H ^ {*} (X) \ czasami H ^ {*} (X) \ do H ^ {*} (X)}$ w kohomologii, znanej jako iloczyn kubka , ponieważ ${\ Displaystyle H ^ {*} (i)}$ i ${\ Displaystyle H ^ {*} ( G)}$ są izomorfizmami. Zamieniając na tak, aby wszystkie mapy przebiegały w ten sam sposób, otrzymuje się standardowy produkt kubkowy na łańcuchach, podany wyraźnie przez ${*}}$ \ $^$

${\ Displaystyle \ alfa \ otimes \ beta \ mapsto {\ duży (} \ sigma \ mapsto (\ alfa \ otimes \ beta) (F ^ {*} \ Delta ^ {*} \ sigma) = \ suma _ {p =0}^{\dim \sigma }\alpha (\sigma |_{\Delta ^{[0,p]}})\cdot \beta (\sigma |_{\Delta ^{[p,\dim \ sigma ]}}){\Duży )}}$ ,

do p ( X ) ⊗ do $p} (X) \ czasami C_ {q} (X) \ to k}$ , chyba że ${\ displaystyle p=q}$ , redukuje się do bardziej znanego wyrażenia.

Zauważ, że jeśli ta bezpośrednia mapa $\ Displaystyle C ^ {*} (X) \ czasami C ^ {*} (X) \ do C ^ {$$iloczyn$ w rzeczywistości mapą algebr stopniowanych różniczkowo, wtedy kubkowy uczyniłby przemienną , co nie . To niepowodzenie mapy Alexandra-Whitneya jako mapy węgla jest przykładem niedostępności przemiennych modeli na poziomie kołańcucha dla kohomologii w polach o niezerowej charakterystyce, a zatem jest w pewnym sensie odpowiedzialne za znaczną część subtelności i komplikacji w stabilnej teorii homotopii .

Uogólnienia

Ważne uogólnienie przypadku nieabelowego przy użyciu skrzyżowanych kompleksów podano w artykule Andrew Tonksa poniżej. Daje to pełne szczegóły wyniku dotyczącego (uproszczonej) przestrzeni klasyfikującej złożonego skrzyżowanego, podanego, ale nie udowodnionego w artykule Ronalda Browna i Philipa J. Higginsa na temat klasyfikowania przestrzeni.

Konsekwencje

Twierdzenie Eilenberga – Zilbera jest kluczowym składnikiem w ustaleniu $} \ Displaystyle H_ {*} (X)}$ Künnetha , które wyraża grupy homologii w kategoriach ${\ Displaystyle H_ {*} (X$ i ${\ Displaystyle H_ {*} (Y)}$ . W świetle twierdzenia Eilenberga-Zilbera treść twierdzenia Künnetha polega na analizie, w jaki sposób homologia kompleksu iloczynu tensorowego odnosi się do homologii czynników.

Zobacz też

• Model acykliczny

•    Eilenberg, Samuel ; Zilber, Joseph A. (1953), „O produktach kompleksów”, American Journal of Mathematics , tom. 75, nie. 1, s. 200–204, doi : 10.2307/2372629 , JSTOR 2372629 , MR 0052767 .
•   Hatcher, Allen (2002), Topologia algebraiczna , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1 .
•   Tonks, Andrew (2003), „O twierdzeniu Eilenberga – Zilbera dla kompleksów skrzyżowanych”, Journal of Pure and Applied Algebra , tom. 179, nr. 1–2, s. 199–230, doi : 10.1016/S0022-4049(02)00160-3 , MR 1958384 .
•   Brązowy, Ronald ; Higgins, Philip J. (1991), „Przestrzeń klasyfikacyjna skrzyżowanego kompleksu”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , tom. 110, s. 95–120, CiteSeerX 10.1.1.145.9813 , doi : 10.1017/S0305004100070158 .