Modułowa teoria niezmienników

W matematyce modułowy niezmiennik grupy jest niezmiennikiem skończonej grupy działającej na przestrzeni wektorowej o dodatniej charakterystyce (zwykle dzielącej rząd grupy). Badanie niezmienników modułowych zostało zapoczątkowane około 1914 roku przez Dicksona (2004) .

Niezmiennik Dicksona

Gdy G jest skończoną ogólną grupą liniową GL n ( F q ) nad skończonym ciałem F q rzędu potęga pierwsza q działająca na pierścień F q [ X 1 , ..., X n ] w naturalny sposób, Dickson ( 1911) znalazł pełny zestaw niezmienników w następujący sposób. Napisz [ e 1 , ..., en ] dla wyznacznika macierzy , której wpisami są X
q e j i , gdzie e 1 , ..., en są nieujemnymi liczbami całkowitymi . Na przykład wyznacznik Moore'a [0,1,2] rzędu 3 to

Wtedy pod działaniem elementu g GL n ( F q ) wszystkie te wyznaczniki są mnożone przez det ( g ), więc wszystkie są niezmiennikami SL n ( F q ) i stosunki [ e 1 , ..., e n ] / [0, 1, ..., n − 1] są niezmiennikami GL n ( F q ), zwanymi niezmiennikami Dicksona . Dickson udowodnił, że pełny pierścień niezmienników F q [ X 1 , ..., X n ] GL n ( F q ) jest algebrą wielomianową nad n niezmiennikami Dicksona [0, 1, ..., i − 1, i + 1, ..., n ] / [0 , 1, ..., n − 1] dla i = 0, 1, ..., n − 1. Steinberg (1987) podał krótszy dowód twierdzenia Dicksona.

Macierze [ e 1 , ..., en ] są podzielne przez wszystkie niezerowe formy liniowe w zmiennych X i ze współczynnikami w ciele skończonym F q . W szczególności wyznacznik Moore'a [0, 1, ..., n − 1] jest iloczynem takich form liniowych, przejętych 1 + q + q 2 + ... + q n – 1 przedstawiciele ( n – 1) -wymiarowa przestrzeń rzutowa nad polem. Ten rozkład na czynniki jest podobny do rozkładu na czynniki wyznacznika Vandermonde'a na czynniki liniowe.

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Modular_invariant_theory&oldid=992942391 ”