Moduły (fizyka)

W kwantowej teorii pola termin moduły (lub dokładniej moduły pola ) jest czasami używany w odniesieniu do pól skalarnych , których funkcja energii potencjalnej ma ciągłe rodziny globalnych minimów. Takie potencjalne funkcje często występują w supersymetrycznych . Termin „moduł” został zapożyczony z matematyki, gdzie jest używany jako synonim „parametru”. Słowo moduli ( po niemiecku Moduln ) pojawiło się po raz pierwszy w 1857 roku u Bernharda Riemanna słynna gazeta „Theorie der Abel'schen Functionen”.

Przestrzenie modułowe w kwantowych teoriach pola

„Kolektor próżniowy” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z podobnym terminem w mechanice silnika, zobacz Podciśnienie w kolektorze .

W kwantowych teoriach pola możliwa próżnia jest zwykle oznaczana przez wartości oczekiwane próżni pól skalarnych, ponieważ niezmienniczość Lorentza wymusza zanik wartości oczekiwanych próżni dla pól o wyższym spinie. Te wartości oczekiwane próżni mogą przyjmować dowolną wartość, dla której funkcja potencjału jest minimalna. W konsekwencji, gdy funkcja potencjału ma ciągłe rodziny minimów globalnych, przestrzeń próżni dla kwantowej teorii pola jest rozmaitością (lub orbifoldem), zwykle nazywaną rozmaitością próżni . Ta rozmaitość jest często nazywana przestrzenią modułów próżni lub po prostu przestrzenią modułów, w skrócie.

Termin moduły jest również używany w teorii strun w odniesieniu do różnych ciągłych parametrów, które oznaczają możliwe tła strun : wartość oczekiwana dylatonu pola, parametry (np. promień i złożona struktura), które rządzą kształtem rozmaitości zagęszczającej itp. Parametry te są reprezentowane w kwantowej teorii pola, która jest zbliżona do teorii strun przy niskich energiach, przez wartości oczekiwane próżni bezmasowych pól skalarnych, stykając się z zastosowaniem opisanym powyżej. W teorii strun termin „przestrzeń modułów” jest często używany w szczególności w odniesieniu do przestrzeni wszystkich możliwych środowisk strun.

Przestrzenie modułów supersymetrycznych teorii cechowania

W ogólnych kwantowych teoriach pola, nawet jeśli klasyczna energia potencjalna jest minimalizowana w dużym zbiorze możliwych wartości oczekiwanych, po uwzględnieniu poprawek kwantowych jest ogólnie tak, że prawie wszystkie te konfiguracje przestają minimalizować energię. W rezultacie zbiór próżni w teorii kwantowej jest na ogół dużo mniejszy niż w teorii klasycznej . Godny uwagi wyjątek występuje, gdy różne omawiane próżnie są powiązane symetrią, która gwarantuje, że ich poziomy energii pozostają dokładnie zdegenerowane.

Sytuacja wygląda zupełnie inaczej w supersymetrycznych kwantowych teoriach pola. Na ogół posiadają one duże przestrzenie modułów próżni, które nie są powiązane żadną symetrią, na przykład masy różnych wzbudzeń mogą różnić się w różnych punktach przestrzeni modułów. Przestrzenie modułów supersymetrycznych teorii cechowania są na ogół łatwiejsze do obliczenia niż te z teorii niesupersymetrycznych, ponieważ supersymetria ogranicza dozwolone geometrie przestrzeni modułów, nawet jeśli uwzględnione są poprawki kwantowe.

Dozwolone przestrzenie modułów teorii 4-wymiarowych

Im większa jest supersymetria, tym silniejsze jest ograniczenie kolektora próżni. Dlatego jeśli poniżej pojawia się ograniczenie dla danej liczby N spinorów doładowań, to obowiązuje ono również dla wszystkich większych wartości N.

N=1 Teorie

Pierwsze ograniczenie geometrii przestrzeni modułów zostało znalezione w 1979 roku przez Bruno Zumino i opublikowane w artykule Supersymmetry and Kähler Manifolds . Rozważał teorię N=1 w 4 wymiarach z globalną supersymetrią. N=1 oznacza, że ​​fermionowe składowe algebry supersymetrii można złożyć w pojedyncze superładowanie Majorany . Jedynymi skalarami w takiej teorii są złożone skalary chiralnych superpól . Odkrył, że rozmaitość próżni dozwolonych wartości oczekiwanych próżni dla tych skalarów jest nie tylko złożona, ale także a Rozmaitość Kählera .

Jeśli grawitacja jest uwzględniona w teorii, tak że istnieje lokalna supersymetria, to wynikowa teoria nazywana jest teorią supergrawitacji , a ograniczenie geometrii przestrzeni modułowej staje się silniejsze. Przestrzeń modułów musi być nie tylko Kählera, ale także forma Kählera musi być podniesiona do integralnej kohomologii . Takie rozmaitości nazywane są rozmaitościami Hodge'a . Pierwszy przykład pojawił się w artykule z 1979 roku Spontaneous Symmetry Breaking and Higgs Effect in Supergravity Without Cosmological Constant, a ogólne stwierdzenie pojawiło się 3 lata później w Kwantyzacja stałej Newtona w niektórych teoriach supergrawitacji .

N=2 teorie

W rozszerzonych 4-wymiarowych teoriach z supersymetrią N=2, odpowiadającą pojedynczemu doładowaniu spinorowemu Diraca , warunki są silniejsze. Algebra supersymetrii N=2 zawiera dwie reprezentacje ze skalarami, multiplet wektorowy zawierający skalar zespolony i hipermultiplet zawierający dwa skalary zespolone. Przestrzeń modułów multipletów wektorowych nazywana jest gałęzią Coulomba, podczas gdy przestrzeń hipermultipletów nazywana jest gałęzią Higgsa. Całkowita przestrzeń modułów jest lokalnie iloczynem tych dwóch gałęzi, jako twierdzenia o nierenormalizacji oznaczają, że metryka każdego z nich jest niezależna od pól drugiego multipletu .

W przypadku globalnej supersymetrii N=2, czyli przy braku grawitacji, gałąź kulombowska przestrzeni modułów jest specjalną rozmaitością Kählera. Pierwszy przykład tego ograniczenia pojawił się w artykule Potentials and Symmetrys of General Gauged N = 2 Supergravity: Yang-Mills Models autorstwa Bernarda de Wit i Antoine Van Proeyen z 1984 r., Podczas gdy ogólny opis geometryczny podstawowej geometrii, zwany specjalną geometrią, był przedstawiony przez Andrew Stromingera w jego artykule z 1990 roku Special Geometry .

Gałąź Higgsa jest rozmaitością hiperkählera , jak wykazali Luis Alvarez-Gaume i Daniel Freedman w ich artykule z 1981 r. Geometrical Structure and Ultraviolet Finiteness in the Supersymmetric Sigma Model . Wraz z grawitacją supersymetria staje się lokalna. Następnie należy dodać ten sam warunek Hodge'a do specjalnej gałęzi Kahlera Coulomba, jak w przypadku N=1. Jonathan Bagger i Edward Witten wykazali w swoim artykule z 1982 roku Matter Couplings in N=2 Supergravity , że w tym przypadku gałąź Higgsa musi być czwartorzędowa rozmaitość Kählera .

N>2 Supersymetria

W rozciągniętych supergrawitacjach z N>2 przestrzeń modułów musi być zawsze przestrzenią symetryczną .

• Teoria supergrawitacji N=2 i superYanga-Millsa N=2 na ogólnych rozmaitościach skalarnych: kowariancja symplektyczna, pomiary i mapa pędu zawiera przegląd ograniczeń przestrzeni modułów w różnych supersymetrycznych teoriach cechowania.