Multifraktal przełączający Markowa

W ekonometrii finansowej (zastosowanie metod statystycznych do danych ekonomicznych) multifraktal z przełączaniem Markowa (MSM) to model zwrotu z aktywów opracowany przez Laurenta E. Calveta i Adlai J. Fishera, który obejmuje stochastyczne składniki zmienności o niejednorodnym czasie trwania . MSM wychwytuje wartości odstające , trwałość zmienności przypominającą pamięć logarytmiczną i siłę zmienności zwrotów finansowych . W szeregach walutowych i kapitałowych MSM wypada korzystnie w porównaniu ze standardem modele zmienności , takie jak GARCH(1,1) i FIGARCH, zarówno w próbie, jak i poza nią. MSM jest używany przez praktyków w branży finansowej do prognozowania zmienności , obliczania wartości zagrożonej i cenowych instrumentów pochodnych .

Specyfikacja MSM

Model MSM można określić zarówno w czasie dyskretnym, jak i ciągłym.

Czas dyskretny

Niech ${\ Displaystyle P_ {t}}$ oznacza cenę składnika aktywów finansowych i niech ${\ Displaystyle r_ {t} = \ ln (P_ {t} /P_{t-1})}$ oznacza zwrot w dwóch kolejnych okresach. W MSM zwroty są określane jako

{\ sigma}} (M_{1,t}M_{2,t}...M_{{\bar {k}},t})^{1/2}\epsilon _{t},}

gdzie $niezależnymi$ są $.$ i $są$ _ Zmienność jest napędzana przez utajony wektor stanu Markowa pierwszego rzędu:

{\ Displaystyle M_ {t} = (M_ {1, t} M_ {2, t} \ kropki M_ {{\ bar {k}}, t}) \ w R_ {+} ^ {\ bar {k}} .}

$rysowany$ $uwagę$ stan zmienności $,$ $\displaystyle \gamma _{k}}$ okresu $ze$ stałego rozkładu γ , a poza tym pozostaje bez zmian.

${\ Displaystyle M_ {k, t}}$ rysowane z rozkładu $M$	z prawdopodobieństwem ${\ Displaystyle \ gamma _ {k}}$
${\ Displaystyle M_ {k, t} = M_ {k, t-1}}$	z prawdopodobieństwem ${\ Displaystyle 1-\ gamma _ {k}}$

Prawdopodobieństwa przejścia są określone przez

{\ Displaystyle \ gamma _ {k} = 1- (1- \ gamma _ {1}) ^ {(b ^ {k-1}) }}

.

Sekwencja jest w przybliżeniu geometryczna $k$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {k} \ około \ gamma _ {1} b ^ {k$ przy niskiej częstotliwości. Rozkład krańcowy $M$ ma średnią jednostkową, ma dodatnie wsparcie i jest niezależny od $k$ .

Dwumianowy MSM

$prawdopodobieństwem$ empirycznych rozkład $M$ często rozkładem dyskretnym, który może przyjmować $wartości$ z równym Proces powrotu $następnie określany$ parametry ${\ Displaystyle \ theta = (m_ {0}, \ mu, {\ bar {\ sigma}}, b, \ gamma _ {1})}$ . Należy zauważyć, że liczba parametrów jest taka sama dla wszystkich. ${\ Displaystyle {\ bar {k}}> 1}$ .

Czas ciągły

MSM jest podobnie zdefiniowany w czasie ciągłym. Proces cenowy następuje po dyfuzji:

{\ Displaystyle {\ Frac {dP_ {t}} {P_ {t}}} = \ mu dt + \ sigma (M_ {t}) \,dW_{t},}

gdzie ${\ Displaystyle \ sigma (M_ {t}) = {\ bar {\ sigma}} (M_ {1, t } \ kropki M _ {{\ bar {k}}, t}) ^ {1/2}}$ , ${\ Displaystyle W_ {t}}$ jest standardowym ruchem Browna i ${\ Displaystyle \ mu}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$ są stałymi. Każdy komponent podąża za dynamiką:

${\ Displaystyle M_ {k, t}}$ rysowane z rozkładu $M$	z prawdopodobieństwem ${\ Displaystyle \ gamma _ {k} dt}$
${\ Displaystyle M_ {k, t + dt} = M_ {k, t}}$	z prawdopodobieństwem ${\ Displaystyle 1-\ gamma _ {k} dt}$

Intensywności zmieniają się geometrycznie z $k$ :

{\ Displaystyle \ gamma _ {k} = \ gamma _ {1} b ^ {k-1}.}

Kiedy liczba składników dąży do nieskończoności, MSM w czasie ciągłym zbiega się do dyfuzji multifraktalnej, której ścieżki próbek przyjmują kontinuum lokalnych wykładników Höldera w dowolnym skończonym $przedziale$

Wnioskowanie i prawdopodobieństwo postaci zamkniętej

Gdy ma rozkład dyskretny $,$ wektor stanu $skończenie$ wiele ${\ Displaystyle m ^ {1}, ..., m ^ {d} \ w R_ {+} ^ {\ bar {k}}}$ . Na przykład są ${\ Displaystyle d = 2 ^ {\ bar {k}}}$ możliwe stany w dwumianowym MSM. Za ${\ Displaystyle A = (a_ {i, j}) _ {1 \ równoważnik i, j \$ ze składnikami ${\ Displaystyle a_ {i, j} = P \ lewo (M_ {t + 1} = m ^ {j} | M_ {t} = m ^ {i} \ prawo)}$ . W zależności od stanu zmienności zwrot ma gęstość Gaussa. ${\ displaystyle r_ {t}}$

{\ Displaystyle f (r_ {t} | M_ {t} = m ^ {i}) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2} (m ^ {i})}} }\exp \left[-{\frac {(r_{t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}(m^{i})}}\right].}

Dystrybucja warunkowa

Prawdopodobieństwo w formie zamkniętej

Funkcja logarytmu wiarygodności ma następujące wyrażenie analityczne:

{\ Displaystyle \ ln L (r_ {1}, \ kropki, r_ {T}; \ teta) = \ suma _ {t = 1} ^ {T} \ ln [\ omega (r_ {t}). (\ Pi _{t-1}A)].}

Maksymalne prawdopodobieństwo zapewnia dość dokładne oszacowania w skończonych próbkach.

Inne metody szacowania

Gdy $rozkład$ ciągły , oszacowanie może przebiegać metodą symulowanych momentów lub symulowanego prawdopodobieństwa za pomocą filtra cząstek stałych .

Prognozowanie

Biorąc pod uwagę ${\ displaystyle r_ {1}, \ kropki, r_ {t}}$ , warunkowy rozkład wektora stanu utajonego w dniu ${\ displaystyle t + n}$ jest określony przez:

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ Pi}} _ {t, n} = \ Pi _ {t} A ^ {n}. \,}

MSM często zapewnia lepsze prognozy zmienności niż niektóre z najlepszych tradycyjnych modeli, zarówno w próbie, jak i poza nią. Calvet i Fisher zgłaszają znaczne zyski w prognozach zmienności kursu walutowego w horyzoncie od 10 do 50 dni w porównaniu z GARCH(1,1), GARCH z przełączaniem Markowa i GARCH zintegrowanym frakcyjnie. Lux uzyskuje podobne wyniki za pomocą przewidywań liniowych.

Aplikacje

Wiele aktywów i wartość zagrożona

Rozszerzenie MSM na wiele aktywów zapewnia wiarygodne oszacowanie wartości zagrożonej w portfelu papierów wartościowych.

Wycena aktywów

W ekonomii finansowej MSM był używany do analizy skutków cenowych ryzyka wieloczęstotliwościowego. Modele odniosły pewien sukces w wyjaśnianiu nadmiernej zmienności zwrotów z akcji w porównaniu z czynnikami fundamentalnymi oraz ujemnej skośności zwrotów z akcji. Zostały również wykorzystane do generowania multifraktalnych dyfuzji skokowych.

Powiązane podejścia

MSM to stochastyczny model zmienności z dowolnie wieloma częstotliwościami. MSM opiera się na wygodzie modeli przełączania reżimów, które zostały rozwinięte w ekonomii i finansach przez Jamesa D. Hamiltona . MSM jest ściśle powiązany z multifraktalnym modelem zwrotu z aktywów. MSM ulepsza kombinatoryczną konstrukcję MMAR poprzez losowanie czasów przybycia, gwarantując ściśle stacjonarny proces. MSM zapewnia czystą formułę multifraktalnych miar przełączania reżimu, której pionierem był Benoit Mandelbrot .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Finansowe szeregi czasowe, multifraktale i ukryte modele Markowa