Nefroid

generowanie nefroidu przez toczące się koło

W geometrii nefroid (od starogreckiego ὁ νεφρός (ho nephros) „ w kształcie nerki ”) jest specyficzną płaską krzywą . Jest to rodzaj epicykloidy , w której promień mniejszego okręgu różni się od większego o połowę.

Nazwa

Chociaż termin nefroid był używany do opisania innych krzywych, został zastosowany do krzywej w tym artykule przez Richarda A. Proctora w 1878 roku.

Ścisła definicja

Nefroid jest

krzywa algebraiczna stopnia 6 .
epicykloida z dwoma wierzchołkami
płaska prosta krzywa zamknięta = krzywa Jordana

równania

Nefroid: definicja

Parametryczny

Jeśli mały okrąg ma promień $stały$ $za {$ ma środek ${\ Displaystyle 2 \ varphi}$ , kąt toczenia małego koła wynosi $displaystyle a$ i punkt ${\ Displaystyle (2a, 0)}$ punkt początkowy (patrz diagram), a następnie otrzymuje się reprezentację parametryczną :

{\ Displaystyle x (\ varphi) = 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}

{\ Displaystyle y (\ varphi) = 3a \ sin \ varphi -a \ sin 3 \ varphi = 4a \ sin ^ {3} \ varphi \ \ qquad 0\równik \varphi <2\pi }

Złożona mapa odwzorowuje okrąg jednostkowy na nefroid ${\ Displaystyle z \ do z ^ {3} + 3 z}$

Dowód reprezentacji parametrycznej

Dowód reprezentacji parametrycznej można łatwo przeprowadzić za pomocą liczb zespolonych i ich reprezentacji jako płaszczyzny zespolonej . Ruch małego koła można podzielić na dwa obroty. $displaystyle$ płaszczyźnie zespolonej obrót punktu wokół punktu (początku) o kąt $można$ $wykonać$ przez pomnożenie punktu $z}$ ( liczba zespolona) przez ${\ Displaystyle e ^ {i \ varphi}}$ . Stąd

obrót

{\ Displaystyle \ Phi _ {3}}

wokół punktu

{\ Displaystyle 3a}

o kąt

{\ Displaystyle 2 \ varphi}

to

{\ Displaystyle: z \ mapsto 3a + (z-3a) e ^ {i2 \ varphi}}

,

obrót

{\ Displaystyle \ Phi _ {0}}

wokół punktu

{\ Displaystyle 0}

o kąt

{\ Displaystyle \ varphi}

jest

\ Displaystyle: \ quad z \ mapsto ze ^ {i \ varphi}}

.

Punkt $varphi)$ przez obrót punktu ${$ $\ Displaystyle \ Phi _ {3}}$ i późniejszy obrót z p ( ${\ Displaystyle \ Phi _ {0}}$ :

{\ Displaystyle p (\ varphi) = \ Phi _ {0} (\ Phi _ {3} (2a)) = \ Phi _ {0} (3a-ae ^ {i2 \ varphi}) = (3a-ae ^ {i2\varphi})e^{i\varphi}=3ae^{i\varphi}-ae^{i3\varphi}}

.

Stąd dostaje się

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {cclcccc} x (\ varphi) & = & 3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi & = & 6a \ cos \ varphi -4a \ cos ^ {3} \ varphi \, &&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{tablica}}}

Wzory ${\ Displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ bo \ varphi + i \ sin \ varphi, \ \ cos ^ {2} \ varphi + \ sin ^ {2} \ varphi = 1, \ \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi }$ . Zobacz funkcje trygonometryczne ).

Domniemany

Wstawianie do równania $Displaystyle y (\$ r $\$

${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y ^ {2}$

pokazuje, że to równanie jest niejawną reprezentacją krzywej.

Dowód niejawnej reprezentacji

Z

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2} = (3a \ cos \ varphi -a \ cos 3 \ varphi) ^ {2 }+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2} \sin ^{2}\varphi}

jeden dostaje

{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = (12a ^ {2}) ^ {3} \ sin ^ {6} \ varphi = 108a ^ { 4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .}

Orientacja

Jeśli wierzchołki znajdują się na osi y, reprezentacja parametryczna jest taka

{\ Displaystyle x = 3a \ cos \ varphi + a \ cos 3 \ varphi, \ quad y = 3a \ sin \ varphi + a \ sin 3 \ varphi).}

i niejawny:

{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} x ^ {2}.}

Właściwości metryczne

Dla nefroidu powyżej

długość łuku wynosi ${\ Displaystyle L = 24a,}$
obszar ${\ Displaystyle A = 12 \ pi a ^ {2} \}$ i
promień krzywizny wynosi ${\ Displaystyle \ rho = | 3a \ sin \ varphi |.}$

Dowody tych stwierdzeń wykorzystują odpowiednie wzory na krzywych ( długość łuku , pole powierzchni i promień krzywizny ) oraz reprezentację parametryczną powyżej

{\ Displaystyle x (\ varphi) = 6a \ cos \ varphi -4a \ sałata ^ {3} \ varphi \,}

{\ Displaystyle y (\ varphi) = 4a \ grzech ^ {3} \ varphi}

i ich pochodne

\ kropka {x}} = - 6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi (5-6\cos ^{2}\varphi ) \ ,

{\ Displaystyle {\ kropka {y}} = 12a \ sin ^ {2} \ varphi \ cos \ varphi \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad {\ ddot {y}} = 12a \ sin \ varphi (3 \cos ^{2}\varphi -1)\ .}

Dowód długości łuku: ${\ Displaystyle L = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ sqrt {{\ kropka {x}} ^ {2} +{\dot {y}}^{2}}}\;d\varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi}\sin \varphi \;d\varphi =24a}$ .

Dowód dla obszaru: ${\ Displaystyle A = 2 \ cdot {\ tfrac {1} {2}} | \ int _ {0} ^ {\ pi} [ x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi}\sin ^{2} \varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}$ .

Dowód na promień krzywizny: ${\ Displaystyle \ rho = \ lewo | {\ Frac {\ lewo ({{\ kropka {x}} ^ {2} + {\ kropka {y}} ^ {2}} \ prawej) ^ {\ frac {3 }{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \ varphi |.}$

Nefroid jako koperta ołówka kół

Budowa

Można go wygenerować, tocząc okrąg o promieniu $2$ zewnątrz ustalonego okręgu o promieniu $\ displaystyle 2a}$ . Dlatego nefroid jest epicykloidą .

Nefroid jako koperta ołówka kół

$re$ będzie okręgiem i punktami średnicy ${\ displaystyle D_ {1}, D_ {2}}$ $\ displaystyle d_ {12}}$ , a następnie obwiednią ołówka okręgów, które mają punkty środkowe na $\ displaystyle d_ {12}$ stykają się $}$ to nefroid z guzkami ${\ displaystyle D_ {1}, D_{2}}$ .

Dowód

Niech będzie okręgiem $($ $\ Displaystyle (2a \ cos \ varphi, 2a \ sin \ varphi)}$ punktem środkowym ${\ displaystyle (0,0)}$ i promień ${\ displaystyle 2a}$ . Średnica może leżeć na osi x (patrz diagram). Ołówek kół ma równania:

{\ Displaystyle f (x, y, \ varphi) = (x-2a \ cos \ varphi) ^ {2} + (y-2a \ sin \ varphi) ^ {2} - (2a \ sin \ varphi) ^ { 2}=0\ .}

Stan koperty jest

{\ Displaystyle f _ {\ varphi} (x, y, \ varphi) = 2a (x \ sin \ varphi -y \ cos \ varphi -2a \ cos \ varphi \ sin \ varphi) = 0 \.}

Można łatwo sprawdzić, że punkt nefroidu ${\ Displaystyle p (\ varphi) = (6a \ cos \ varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}$ jest rozwiązaniem układu ${\ Displaystyle f (x, y, \ varphi) = 0, \; f _ {\ varphi} (x, y, \ varphi) = 0} i stąd$ punkt obwiedni ołówka kół.

Nefroid jako koperta ołówka linii

nefroid: styczne jako cięciwy koła, zasada

nefroid: styczne jako akordy koła

Podobnie jak w przypadku generowania kardioidy jako obwiedni ołówka linii, obowiązuje następująca procedura:

Narysuj okrąg, podziel jego obwód na równe części za pomocą $($ schemat) i ponumeruj je kolejno.
Narysuj akordy: ${\ Displaystyle (1,3), (2,6), ...., (n, 3n), ...., (N, 3N), (N + 1,3), (N + 2 ,6),....,}$ . (tj.: Drugi punkt porusza się z trzykrotną prędkością).
Obwiednią tych akordów jest nefroid.

Dowód

Poniższe rozważania wykorzystują wzory trygonometryczne dla ${\ Displaystyle \ cos \ alfa + \ cos \ beta, \ \ sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta ),\ \cos 2\alpha }$ . Aby obliczenia były proste, dowód podano dla nefroidu z wierzchołkami na osi y. Równanie tangensa : dla nefroidu z reprezentacją parametryczną

{\ Displaystyle x = 3 \ sałata \ varphi + \ sałata 3 \ varphi, \; y = 3 \ sin \ varphi + \sin 3\varphi}

:

Stąd określa się wektor normalny ${\ Displaystyle {\ vec {n}} = ({\ kropka {y}}, - {\ kropka {x}}) ^ {T }}$ , na początku. Równanie tangensa ${\ Displaystyle {\ kropka {y}} (\ varphi) \ cdot (xx (\ varphi)) - {\ kropka {x}} (\ varphi) \ cdot (yy (\ varphi)) = 0}$ Jest:

{\ Displaystyle (\ cos 2 \ varphi \ cdot x \ + \ \ sin 2 \ varphi \ cdot y) \ cos \ varphi = 4 \ cos ^ {2} \ varphi \.}

Dla ${\ Displaystyle \ varphi = {\ tfrac {\ pi} {2}} {\ tfrac {3 \ pi} {2}}}$ otrzymuje się guzki nefroidu, gdzie jest nie jest styczna. φ ${\ Displaystyle \ varphi \ neq {\ tfrac {\ pi} {2}} {\ tfrac {3 \ pi} {2}}}$ podzielić przez ${\ displaystyle \cos \varphi },$ aby uzyskać

${\ Displaystyle \ cos 2 \ varphi \ cdot x + \ sin 2 \ varphi \ cdot y = 4 \ cos \ varphi \.}$

Równanie cięciwy : do okręgu o punkcie środkowym $i$ zawierającej dwa $($ $jest$ _ :

{\ Displaystyle (\ cos 2 \ teta \ cdot x + \ sin 2 \ teta \ cdot y) \ sin \ teta = 4 \ cos \ teta \ sin \ teta \ .}

Dla ${\ Displaystyle \ theta = 0, \ pi}$ akord degeneruje się do punktu. θ ${\ Displaystyle \ theta \ neq 0, \ pi}$ można dzielić przez ${\ Displaystyle \ sin \ theta}$ i otrzymuje równanie akordu: θ ≠ , π {\

${\ Displaystyle \ cos 2 \ teta \ cdot x + \ sin 2 \ teta \ cdot y = 4 \ cos \ teta \ .}$

Te dwa kąty $parametr$ definiowane inaczej ( to połowa kąta toczenia, to koła, którego cięciwy są $Displaystyle \$ $, \ theta}$ są określone), ponieważ otrzymuje się tę samą linię. ${\ Displaystyle \ varphi = \ theta}$ Stąd każda cięciwa z powyższego okręgu jest styczna do nefroidu i

nefroid jest otoczką akordów koła.

Nefroid jako żrąca połowa koła

nefroid jako kaustyk koła: zasada

nephroide jako substancja żrąca połowy koła

Rozważania poczynione w poprzednim podrozdziale dają dowód na to, że kaustyk połowy koła jest nefroidem.

Jeśli w płaszczyźnie równoległe promienie świetlne stykają się z odbijającą połówką koła (patrz rysunek), to odbite promienie są styczne do nefroidu.

Dowód

Okrąg może mieć początek w punkcie środkowym (jak w poprzedniej sekcji), a jego promień wynosi ${\ displaystyle 4}$ . Okrąg ma reprezentację parametryczną

{\ Displaystyle k (\ varphi) = 4 (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi) \ .}

Styczna w punkcie okręgu $}_{t}=(\cos\varphi,\sin\varphi)^{T}}$ $wektor$ n $n$ . Odbity promień ma wektor normalny (patrz diagram) ${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {r} = (\ cos {\ kolor {czerwony} 2} \ varphi, \ sin {\ kolor {czerwony} 2} \ varphi) ^ {T}}$ i zawierający punkt koła ${\ Displaystyle K: \ 4 (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi)}$ . Stąd odbity promień jest częścią prostej z równaniem

{\ Displaystyle \ sałata {\ kolor {czerwony} 2} \ varphi \ cdot x \ + \ \ sin {\ kolor {czerwony} 2} \varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}

która jest styczna do nefroidu z poprzedniej sekcji w punkcie

{\ Displaystyle P: \ (3 \ sałata \ varphi + \ sałata 3 \ varphi, 3 \ sin \ varphi + \ sin 3\varphi )}

(patrz wyżej).

Nefroid żrący na dnie filiżanki herbaty

Ewolucja i ewolwenta nefroidu

nefroid i jego ewolucyjna magenta: punkt z oscylującym kołem i środkiem krzywizny

Ewoluta

Ewolucja krzywej jest miejscem występowania środków krzywizny . W szczegółach: dla krzywej o promieniu krzywizny ${\ Displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (s)}$ o promieniu krzywizny ${\ Displaystyle \ rho ( s)}$ ewolucja ma reprezentację

{\ Displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (s) + \ rho (s) {\ vec {n}} (s).}

gdzie ${\ Displaystyle {\ vec {n}} (s)}$ odpowiednio zorientowana jednostka normalna.

Dla nefroida dostaje się:

Ewolucja nefroidu to kolejny nefroid o połowę mniejszy i obrócony o 90 stopni (patrz diagram) .

Dowód

Nefroid pokazany na rysunku ma reprezentację parametryczną

{\ Displaystyle x = 3 \ sałata \ varphi + \ sałata 3 \ varphi, \ quad y = 3 \ sin \ varphi +\sin 3\varphi \ ,}

wektor normalny jednostkowy skierowany do środka krzywizny

{\ Displaystyle {\ vec {n}} (\ varphi) = (- \ cos 2 \ varphi, - \ sin 2 \ varphi) ^{T}}

(patrz sekcja powyżej)

i promień krzywizny ${\ Displaystyle 3 \ cos \ varphi}$ (patrz sekcja dotycząca właściwości metrycznych). Stąd ewolucja ma reprezentację:

{\ Displaystyle x = 3 \ sałata \ varphi + \ sałata 3 \ varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}

{\ Displaystyle y = 3 \ sin \ varphi + \ sin 3 \ varphi -3 \ cos \ varphi \ cdot \ sin 2 \varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}

który jest nefroidem o połowę mniejszym i obróconym o 90 stopni (patrz diagram i sekcja § Równania powyżej)

Spiralny

Ponieważ ewolucja nefroidu jest innym nefroidem, ewolwenta nefroidu jest również innym nefroidem. Oryginalny nefroid na zdjęciu to ewolwenta mniejszego nefroidu.

inwersja (zielona) nefroidu (czerwona) w poprzek niebieskiego koła

Inwersja nefroidu

Inwersja _

{\ Displaystyle x \ mapsto {\ Frac {4a ^ {2} x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \ quad y \ mapsto {\ Frac {4a ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

w poprzek okręgu z punktem środkowym i promieniem ${\ Displaystyle 2a}$ odwzorowuje nefroid za pomocą równania ${\ Displaystyle (0,0)}$

\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -4a ^ {2}) ^ {3} = 108a ^ {4} y^{2}}

na krzywą stopnia 6 z równaniem

{\ Displaystyle (4a ^ {2} - (x ^ {2} + y ^ {2}) )^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{2}}

(patrz diagram) .

Nefroid w życiu codziennym: żrący efekt odbicia światła od wnętrza cylindra.

Arganbright, D., Praktyczny podręcznik krzywych arkusza kalkulacyjnego i konstrukcji geometrycznych , CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0 , s. 54.
Borceux, F., Zróżnicowane podejście do geometrii: trylogia geometryczna III , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8 , s. 148.
Lockwood, EH, A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7 , s. 7.

Linki zewnętrzne