Nierówność Karamaty

W matematyce nierówność Karamaty , nazwana na cześć Jovana Karamaty , znana również jako nierówność majoryzacji , jest twierdzeniem algebry elementarnej dla funkcji wypukłych i wklęsłych o wartościach rzeczywistych, zdefiniowanych w przedziale prostej rzeczywistej. Uogólnia dyskretną postać nierówności Jensena i uogólnia z kolei na koncepcję funkcji wypukłych Schura .

Stwierdzenie nierówności

Niech $I$ będzie przedziałem prostej rzeczywistej i niech $f oznacza$ funkcję wypukłą o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na $I$ . Jeśli $x 1, \dots, x n$ i $y 1, \dots, y n$ są liczbami w $I$ takimi, że $(x 1, \dots, x n)$ jest większością $(y 1, \dots, y n)$ , Następnie

{\ Displaystyle f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n}) \ geq f (y_ {1}) + \ cdots + f (y_ {n}).}

()

Tutaj majoryzacja oznacza, że $x 1, \dots, x n$ i $y 1, \dots, y n$ spełnia

{\ Displaystyle x_ {1} \ geq x_ {2} \ geq \ cdots \ geq x_ {n}}

i

{\ Displaystyle y_ {1}\geq y_{2}\geq \cdots \geq y_{n},}

()

i mamy nierówności

_

_

__ 1, \dots, n - 1}

.

()

i równość

{\ Displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} = y_ {1} + \ cdots + y_ {n}}

()

Jeśli $f$ jest funkcją ściśle wypukłą , to nierówność ( 1 ) zachodzi z równością wtedy i tylko wtedy, gdy mamy $x i = y i$ dla wszystkich $i \in {1, \dots, n}$ .

Uwagi

Jeśli wypukła funkcja

f nie

jest malejąca , to dowód ( 1 ) poniżej i dyskusja równości w przypadku ścisłej wypukłości pokazuje, że równość ( 4 ) można złagodzić do

{\ Displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {n} \ geq y_ {1} + \ cdots + y_ {n}.}

()

Nierówność ( 1 ) jest odwrócona, jeśli $f$ jest wklęsła , ponieważ w tym przypadku funkcja $- f$ jest wypukła.

Przykład

Szczególnym przypadkiem tego wyniku jest skończona postać nierówności Jensena . Rozważmy liczby rzeczywiste $x 1, \dots, x n \in I$ i niech

{\ Displaystyle a: = {\ Frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

oznacz ich średnią arytmetyczną . Wtedy $(x 1, \dots, x n)$ jest majoryzacją $n$ -krotki $(a, a, \dots, a)$ , ponieważ średnia arytmetyczna $i$ największych liczb $(x 1, \dots, x n)$ jest co najmniej tak duża jak średnia arytmetyczna $a$ wszystkich $n$ liczb, dla każdego $i \in {1, \dots, n - 1}$ . Z nierówności Karamaty ( 1 ) dla funkcji wypukłej $f$ ,

{\ Displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + \ cdots + f (x_ {n}) \ geq f (a) + f (a) + \ cdots + f (a) = nf (A).}

Dzielenie przez $n$ daje nierówność Jensena. Znak jest odwrócony, jeśli $f$ jest wklęsły.

Dowód nierówności

Możemy założyć, że liczby są w porządku malejącym, jak określono w ( 2 ).

Jeśli $x i = y i$ dla wszystkich $i \in {1, \dots, n}$ , to nierówność ( 1 ) zachodzi z równością, stąd możemy dalej założyć, że $x i \neq y i$ dla co najmniej jednego $i$ .

Jeśli $x i = y i$ dla $i \in {1, \dots, n - 1}$ , to nierówność ( 1 ) i własności majoryzacji ( 3 ) i ( 4 ) nie ulegają zmianie, jeśli usuniemy $x i$ oraz $y i$ . Stąd możemy założyć, że $x i \neq y i$ dla wszystkich $i \in {1, \dots, n - 1}$ .

Własnością funkcji wypukłych jest to , że dla dwóch liczb $x \neq y$ w przedziale $I$ nachylenie

{\ Displaystyle {\ Frac {f (x) -f (y)} {xy}}}

siecznej linii przechodzącej $przez$ punkty $(x, f (x))$ i $(y, f (y))$ wykresu funkcji f jest monotonicznie nie malejącą funkcją w $x$ dla ustalonego $y$ (i odwrotnie ). To daje do zrozumienia ze

{\ Displaystyle c_ {i + 1}: = {\ Frac {f (x_ {i + 1}) -f (y_ {i + 1})} {x_ {i + 1} -y_ {i + 1}} }\leq {\frac {f(x_{i})-f(y_{i})}{x_{i}-y_{i}}}=:c_{i}}

()

dla wszystkich $ja \in {1, \dots, n - 1}$ . Zdefiniuj $00 A = B = 0$ i

{\ Displaystyle A_ {i} = x_ {1} + \ cdots + x_ {i}, \ qquad B_ {i} = y_ {1}+\cdots +y_{i}}

dla wszystkich $ja \in {1, \dots, n}$ . Z własności majoryzacji ( 3 ), $A i \geq B i$ dla wszystkich $i \in {1, \dots, n - 1}$ oraz przez ( 4 ), $A n = B n$ . Stąd,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ bigl (} f (x_ {i}) -f (y_ {i}) {\ bigr)} & = \ suma _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-y_{i})\\&=\suma _{i=1}^{n}c_{i}{\bigl (} \underbrace {A_{i}-A_{i-1}} _{=\,x_{i}}{}-(\underbrace {B_{i}-B_{i-1}} _{=\,y_ {i}}){\bigr )}\\&=\suma _{i=1}^{n}c_{i}(A_{i}-B_{i})-\suma _{i=1} ^{n}c_{i}(A_{i-1}-B_{i-1})\\&=c_{n}(\podszewka {A_{n}-B_{n}} _{=\, 0})+\sum _{i=1}^{n-1}(\underbrace {c_{i}-c_{i+1}} _{\geq \,0})(\underbrace {A_{i }-B_{i}} _{\geq \,0})-c_{1}(\underbrace {A_{0}-B_{0}} _{=\,0})\\&\geq 0, \end{wyrównane}}}

()

co dowodzi nierówności Karamaty ( 1 ).

Aby omówić przypadek równości w ( 1 ), zauważmy, że $x 1 > y 1$ przez ( 3 ) i nasze założenie $x i \neq y i$ dla wszystkich $i \in {1, \dots, n - 1}$ . Niech $i$ będzie najmniejszym indeksem takim, że $(x i, y i) \neq (x i +1, y i +1)$ , który istnieje dzięki ( 4 ). Wtedy $Ai_> B ja$ . Jeśli $f jest ściśle wypukła, to w ($ 6 ) występuje ścisła nierówność , co oznacza, że $c i +1 < c i$ . Stąd istnieje ściśle dodatni wyraz w sumie po prawej stronie ( 7 ) i równość w ( 1 ) nie może być spełniona.

Jeżeli funkcja wypukła $f$ jest niemalejąca, to $c n \geq 0$ . Zrelaksowany warunek ( 5 ) oznacza, że $A n \geq B n$ , co wystarczy do wniosku, że $c n (A n - B n) \geq 0$ w ostatnim kroku ( 7 ).

Jeśli funkcja $f$ jest ściśle wypukła i niemalejąca, to $c n > 0$ . Pozostaje tylko omówić przypadek $A n > B n$ . Jednak wtedy po prawej stronie ( 7 ) znajduje się wyraz ściśle dodatni i równość w ( 1 ) nie może być spełniona.

Linki zewnętrzne

Wyjaśnienie teorii nierówności i majoryzacji Karamaty można znaleźć tutaj .