Niezmiennik Hopfa

W matematyce , w szczególności w topologii algebraicznej , niezmiennik Hopfa jest niezmiennikiem homotopii pewnych odwzorowań między n-sferami .

Motywacja

W 1931 roku Heinz Hopf użył paraleli Clifforda do skonstruowania mapy Hopfa

${\ Displaystyle \ eta \ dwukropek S ^ {3} \ do S ^ {2}}$ ,

i udowodnił, że ${\ displaystyle \ eta}$ istotny, tj. nie jest homotopijny względem stałej mapy, wykorzystując fakt, że liczba łącząca okręgi jest η

${\ Displaystyle \ eta ^ {- 1} (x), \ eta ^ {- 1} (y) \ podzbiór S ^ {3}}$

jest równe 1, dla dowolnego ${\ Displaystyle x \ neq y \ w S ^ {2}}$ .

Później wykazano, że grupa homotopii jest nieskończoną grupą cykliczną generowaną przez $\ pi _ {3} (S ^ {2})$$}$ . W 1951 roku Jean-Pierre Serre udowodnił, że racjonalne grupy homotopijne

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {n}) \ czasami \ mathbb {Q}}$

dla kuli o nieparzystych wymiarach ( $)$$wynoszą$ zero, chyba że równe 0 lub n . Jednak dla sfery parzystowymiarowej ( n parzyste) istnieje jeszcze jeden bit nieskończonej cyklicznej homotopii w stopniu ${\ Displaystyle 2n-1}$ .

Definicja

Niech ${\ Displaystyle \ phi \ okrężnica S ^ {2n-1} \ do S ^ {n}}$ będzie mapą ciągłą (załóżmy, że ${\ Displaystyle n> 1}$ ) . Następnie możemy utworzyć kompleks komórkowy

${\ Displaystyle C _ {\ phi} = S ^ {n} \ kubek _ {\ phi} D ^ {2n},}$

gdzie jest dwuwymiarowym dyskiem przymocowanym do $D ^ {2n$${\ Displaystyle$$^ {n}}$$. re$ n } Grupy $-$ na $i$ \ komórki w stopniu displaystyle $i}$ , więc są one w stopniu 0, $n {$$displaystyle 2n}$$zero$ wszędzie indziej. Komórkowa (ko-) homologia jest (ko-) homologią tego kompleksu łańcuchów , a ponieważ wszystkie homomorfizmy brzegowe muszą wynosić zero (przypomnijmy, że ), kohomologia to ${\ displaystyle n> 1}$

${\ Displaystyle H _ {\ operatorname {komórka}} ^ {i} (C_ {\ phi}) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {Z} & i = 0, n, 2n, \\ 0 & {\ mbox {w przeciwnym razie }}.\end{przypadki}}}$

Oznacz generatory grup kohomologii przez

${\ Displaystyle H ^ {n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ alfa \ rangle}$ i ${\ Displaystyle H ^ {2n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ beta \ rangle.}$

$wyjątkiem$ wszystkie produkty kubkowe między tymi klasami muszą być trywialne . Tak więc, jako pierścień , kohomologia jest

${\ Displaystyle H ^ {*} (C _ {\ phi}) = \ mathbb {Z} [\ alfa, \ beta] / \ langle \ beta \ uśmiech \ beta = \ alfa \ uśmiech \ beta = 0, \ alfa \ uśmiech \alpha =h(\phi )\beta \rangle .}$

Liczba $_$ niezmiennikiem $_$ _ _ _

Nieruchomości

Twierdzenie : Mapa ${\ Displaystyle h \ okrężnica \ pi _ {2n-1} (S ^ {n}) \ do \ mathbb {Z}}$ jest homomorfizmem. n ${\ displaystyle n}$ jest nieparzyste, ${\ displaystyle h}$ jest trywialne (ponieważ jest π $\ Displaystyle \ pi _ {2n-1} (S ^ {n})}$ ). Jeśli ${\ displaystyle n}$ jest parzysta, obraz zawiera $2 \ mathbb {Z}$$Displaystyle$ . Ponadto obraz iloczynu Whiteheada map tożsamości jest równy 2, tj. ${\ displaystyle h ([i_ {n}, i_ {n}]) = 2}$ , gdzie ${\ Displaystyle i_ {n} \ dwukropek S ^ {n} \ do S ^ {n}}$ to mapa tożsamości i ${\ Displaystyle [\, \ cdot \,, \, cdot \,]}$ to produkt Whitehead .

$Niezmiennikiem$ Hopfa jest dla map Hopfa , gdzie $Displaystyle n = 1,2,4,8}$ , co odpowiada algebrom podziału rzeczywistego ${\ Displaystyle \ mathbb {A} = \ mathbb {R}, \ mathbb {C}, \ mathbb {H}, \ mathbb {O}}, odpowiednio i do$ fibracji $wysyłanie$ kierunku kuli do podprzestrzeni, którą Jest to twierdzenie, udowodnione najpierw przez Franka Adamsa , a następnie przez Adamsa i Michaela Atiyaha metodami topologicznej teorii K , że są to jedyne mapy z niezmiennikiem Hopfa 1.

Formuła całkowa Whiteheada

JHC Whitehead zaproponował następującą formułę całkową dla niezmiennika Hopfa. $} n}}$ pod uwagę mapę , się formę objętościową ${\ Displaystyle \ phi \ okrężnica S ^ {2n-1} \ do S ^ {n}$ na ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ tak, że ${\ Displaystyle \ int _ {S ^ {n}} \ omega _ {n} = 1}$ . Od ${\ Displaystyle d \ omega _ {n} = 0}$ , wycofanie jest zamkniętą formą różniczkową : ${\ Displaystyle d (\ varphi ^ {*} \ omega _ {n}) = \ varphi ^ {*} (d \ omega _ {n}) = \varphi ^{*}0=0}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {*} \ omega _ {$ . Z lematu Poincarégo jest to dokładna forma różniczkowa : istnieje za ${\ Displaystyle (n-1)}$ -form ${\ Displaystyle \ eta}$ na ${\ Displaystyle S ^ {2n-1}}$ takie, że ${\ Displaystyle d \ eta = \ varphi ^ {*} \ omega _ {n}}$ . Niezmiennik Hopfa jest wtedy dany przez

${\ Displaystyle \ int _ {S ^ {2n-1}} \ eta \ klin d \ eta.}$

Uogólnienia dla stabilnych map

Można zdefiniować bardzo ogólne pojęcie niezmiennika Hopfa, ale wymaga to pewnej podstawy teorii homotopii:

Niech ${\ displaystyle V}$$}$ przestrzeń wektorową i jej jednopunktowe zagęszczenie , tj. $Displaystyle$$V \ cong \ mathbb {R} ^ {k$ i

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ cong S ^ {k}}$ dla jakiegoś ${\ displaystyle k}$ .

Jeśli jest dowolną spiczastą przestrzenią (jak ${\ displaystyle V^{\infty }}$$w$ poprzedniej sekcji) i jeśli przyjmiemy, że punkt jest bazowym , możemy utworzyć produkty klinowe

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ klin X}$ .

Teraz pozwól

${\ Displaystyle F \ dwukropek V ^ {\ infty} \ klin X \ do V ^ {\ infty} \ klin Y}$

być mapą stabilną, tj. stabilną przy zredukowanym funktorze zawieszenia . ( Stabilny ) geometryczny niezmiennik $jest$ z

${\ Displaystyle h (F) \ w \ {X, Y \ klin Y \} _ {\ mathbb {Z} _ {2}}}$ ,

$\ klin Y}$ stabilnej -równoważnej $homotopii$ grupy map od do $Displaystyle$ . Tutaj „ $stabilny ” oznacza „stabilny w$$zawieszeniu$ ”, tj. Bezpośredni limit ponad (lub wolisz) zwykłych, ekwiwariantnych grup homotopii a akcja -to trywialna akcja na ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle X}$ i odwrócenie dwóch czynników na ${\ displaystyle Y \ klin Y}$ . Jeśli pozwolimy

${\ Displaystyle \ Delta _ {X} \ dwukropek X \ do X \ klin X}$

oznaczamy kanoniczną mapę ukośną i ${\ displaystyle I}$ , to niezmiennik Hopfa jest zdefiniowany następująco: ja

${\ Displaystyle h (F): = (F \ klin F) (ja \ klin \ Delta _ {X}) - (ja \ klin \ Delta _ {Y}) (ja \ klin F).}$

Ta mapa jest początkowo mapą z

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ klin V ^ {\ infty} \ klin X}$ do ${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ klin V ^{\infty}\klin Y\klin Y}$ ,

ale poniżej bezpośredniego limitu staje się reklamowanym elementem stabilnej homotopii $-równoważnej$ map Istnieje również niestabilna wersja $.$ Hopfa $,$ śledzić

•     Adams, J. Frank (1960), „O nieistnieniu elementów niezmiennego jedynki Hopfa”, Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307/1970147 , JSTOR 1970147 , MR 0141119
•   Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), „K-Teoria i niezmiennik Hopfa”, Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi : 10.1093/qmath/17.1.31 , MR 0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrzej (2006). „Niezmiennik geometryczny Hopfa” (PDF) .
•   Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN 0025-5831
• Shokurov, AV (2001) [1994], „Niezmiennik Hopfa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press