Niezmiennik krzywizny

W geometrii riemannowskiej i pseudoriemannowskiej niezmiennikami krzywizny są wielkości skalarne zbudowane z tensorów reprezentujących krzywiznę . Tymi tensorami są zwykle tensory Riemanna , tensory Weyla , tensory Ricciego i tensory utworzone z nich przez operacje przyjmowania podwójnych skróceń i kowariantnych różniczkowań .

Typy niezmienników krzywizny

Najczęściej rozważanymi niezmiennikami są niezmienniki wielomianowe . Są to wielomiany zbudowane ze skurczów, takich jak ślady. Przykłady drugiego stopnia nazywane są niezmiennikami kwadratowymi i tak dalej. Niezmienniki skonstruowane przy użyciu pochodnych kowariantnych do rzędu n nazywane są niezmiennikami różniczkowymi n-tego rzędu .

Tensor Riemanna jest wieloliniowym operatorem czwartego rzędu działającym na wektorach stycznych . Jednak można go również uznać za operator liniowy działający na dwuwektorach i jako taki ma charakterystyczny wielomian , którego współczynniki i pierwiastki ( wartości własne ) są wielomianowymi niezmiennikami skalarnymi.

Aplikacje fizyczne

W metrycznych teoriach grawitacji, takich jak ogólna teoria względności , skalary krzywizny odgrywają ważną rolę w rozróżnianiu odrębnych czasoprzestrzeni.

Dwa z najbardziej podstawowych niezmienników krzywizny w ogólnej teorii względności to skalar Kretschmanna

${\ Displaystyle R_ {abcd} \, R ^ {abcd}$

i skalar Cherna-Pontryagina ,

$\ Displaystyle R_ {abcd} \ {{} ^ {\ gwiazda} \! R} ^ {abcd}}$

Są one analogiczne do dwóch znanych niezmienników kwadratowych tensora pola elektromagnetycznego w klasycznym elektromagnetyzmie.

Ważnym nierozwiązanym problemem w ogólnej teorii względności jest podanie podstawy (i dowolnych syzygii ) dla niezmienników zerowego rzędu tensora Riemanna.

Mają ograniczenia, ponieważ na tej podstawie nie można rozróżnić wielu odrębnych czasoprzestrzeni. W szczególności tak zwanych czasoprzestrzeni VSI (w tym fal pp, jak również niektórych innych czasoprzestrzeni typu Pietrowa N i III) nie można odróżnić od czasoprzestrzeni Minkowskiego przy użyciu dowolnej liczby niezmienników krzywizny wielomianu (dowolnego rzędu).

Zobacz też

• Algorytm Cartana-Karlhede'a
• Niezmienniki Carminatiego-McLenaghana
• Niezmiennik krzywizny (ogólna teoria względności)
• rozkład Ricciego

•   Stefani, Hans (2009). „9. Niezmienniki i charakterystyka geometrii”. Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina (wyd. 2, wyd. 1 w miękkiej oprawie). Cambridge [ua]: Cambridge Univ Pr. ISBN 978-0521467025 .