Niezmiennik krzywizny (ogólna teoria względności)

W ogólnej teorii względności niezmienniki krzywizny są zbiorem skalarów utworzonych z tensorów Riemanna , Weyla i Ricciego - reprezentujących krzywiznę , stąd nazwa - i ewentualnie operacji na nich, takich jak kontrakcja , kowariantne różniczkowanie i dualizacja .

Pewne niezmienniki utworzone z tych tensorów krzywizny odgrywają ważną rolę w klasyfikowaniu czasoprzestrzeni . Niezmienniki są w rzeczywistości mniej skuteczne w rozróżnianiu lokalnie nieizometrycznych rozmaitości lorentzowskich niż w rozróżnianiu rozmaitości riemannowskich . Oznacza to, że ich zastosowania są bardziej ograniczone niż w przypadku rozmaitości wyposażonych w dodatnio określony tensor metryczny .

Niezmienniki główne

Głównymi niezmiennikami tensorów Riemanna i Weyla są pewne kwadratowe niezmienniki wielomianowe (tj. sumy kwadratów składowych).

Głównymi niezmiennikami tensora Riemanna czterowymiarowej rozmaitości Lorentza są

1. skalar Kretschmanna K. $\ Displaystyle K_ {1} = R_ {abcd} \, R ^ {abcd}}$
2. Cherna -Pontryagina ${\ Displaystyle K_ {2} = {{} ^ {\ gwiazda} R} _ {abcd} \, R ^ {abcd}}$
3. skalar Eulera K $\ Displaystyle K_ {3} = {{} ^ {\ gwiazda} R ^ {\ gwiazda}} _ {abcd} \, R ^ { abcd}}$

Są to kwadratowe niezmienniki wielomianowe (suma kwadratów składowych). (Niektórzy autorzy definiują skalar Cherna-Pontryagina przy użyciu prawego podwójnego zamiast lewego podwójnego ).

Pierwszą z nich przedstawił Erich Kretschmann . Drugie dwie nazwy są nieco anachroniczne, ale ponieważ całki dwóch ostatnich są powiązane odpowiednio z chwili i charakterystyką Eulera , mają pewne uzasadnienie.

Głównymi niezmiennikami tensora Weyla są

1. ${\ Displaystyle I_ {1} = C_ {abcd} \, C ^ {abcd}$
2. $I_ {2} = {{} ^ {\ gwiazda} C} _ {abcd} \, C ^ {abcd}$

${{} ^ {\ gwiazda} C ^ {\ gwiazda}} _ {abcd} = - C_ {abcd}} , nie ma$ Ponieważ potrzeby zdefiniować trzeci niezmiennik główny dla tensora Weyla).

Związek z rozkładem Ricciego

Jak można się spodziewać po rozkładzie Ricciego tensora Riemanna na tensor Weyla plus suma tensorów czwartego rzędu zbudowanych z tensora drugiego rzędu Ricciego i ze skalara Ricciego , te dwa zestawy niezmienników są powiązane (w d = 4) :

${\ Displaystyle K_ {1} = I_ {1} + 2 \, R_ {ab} \, R ^ {ab} - {\ tfrac { 1}{3}} \, R ^ {2}}$

${\ Displaystyle K_ {3} = - I_ {1} + 2 \, R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac {2}{3}}\,R^{2}}$

Związek z rozkładem Bela

W czterech wymiarach rozkład Bela tensora Riemanna w odniesieniu do podobnego do czasu pola wektora jednostkowego , niekoniecznie geodezyjnego lub ortogonalnego hiperpowierzchni, składa się z trzech części ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

1. tensor elektrograwitacyjny ${\ Displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {ab} = R_ {ambn} \, X ^ {m} \ ,X^{n}}$
2. tensor magnetograwitacyjny ${\ Displaystyle B [{\ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ {\ gwiazda} R} _ {ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
3. ${\ Displaystyle L [{\ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ {\ gwiazda}$ za b

Ponieważ wszystkie są poprzeczne (tj. rzutowane na przestrzenne elementy hiperpłaszczyznowe prostopadłe do naszego czasoprzestrzennego pola wektora jednostkowego), można je przedstawić jako operatory liniowe na wektorach trójwymiarowych lub jako rzeczywiste macierze trzy na trzy. Są to odpowiednio symetryczne, bezśladowe i symetryczne (6,8,6 liniowo niezależnych elementów, w sumie 20). Jeśli zapiszemy te operatory odpowiednio jako E , B , L , główne niezmienniki tensora Riemanna otrzymamy w następujący sposób:

• ${\ Displaystyle K_ {1}/4}$ śladem mi 2 L 2 ^- 2 b ^{b T} ,
• ${\ Displaystyle -K_ {2}/8}$ jest B ( mi - l )
• $K_ {3}/8}$ { \ Displaystyle EL - b ² .

Wyrażenie w formalizmie Newmana-Penrose'a

Jeśli chodzi o skalary Weyla w formalizmie Newmana-Penrose'a , główne niezmienniki tensora Weyla można otrzymać, biorąc rzeczywistą i urojoną część wyrażenia

${\ Displaystyle I_ {1} -i \, I_ {2} = 16 \, \ lewo (3 \ psi _ {2}^{2}+\Psi _{0}\,\Psi _{4}-4\,\Psi _{1}\Psi _{3}\right)}$

(Ale zwróć uwagę na znak minus!)

Główny niezmiennik kwadratowy tensora $Ricciego$ można otrzymać jako bardziej skomplikowane wyrażenie obejmujące patrz artykuł Cherubiniego i wsp. cyt. poniżej).

Rozróżnianie rozmaitości lorentzowskich

Ważnym pytaniem związanym z niezmiennikami krzywizny jest to, kiedy zbiór wielomianowych niezmienników krzywizny może być użyty do (lokalnego) rozróżnienia rozmaitości. Aby móc to zrobić, konieczne jest uwzględnienie niezmienników wyższego rzędu, w tym pochodnych tensora Riemanna, ale w przypadku Lorentza wiadomo, że istnieją czasoprzestrzenie, których nie można rozróżnić; np. czasoprzestrzeń VSI , dla których wszystkie takie niezmienniki krzywizny znikają, a zatem nie można ich odróżnić od przestrzeni płaskiej. To niepowodzenie w rozróżnianiu rozmaitości lorentzowskich jest związane z faktem, że grupa Lorentza nie jest zwarta.

Nadal istnieją przykłady przypadków, w których możemy rozróżnić rozmaitości lorentzowskie za pomocą ich niezmienników. Przykładami takich są w pełni ogólne Pietrowa typu I bez wektorów Killinga, patrz Coley i in. poniżej. Rzeczywiście, tutaj stwierdzono, że czasoprzestrzenie, których nie można rozróżnić na podstawie ich zestawu niezmienników krzywizny, są wszystkie czasoprzestrzeniami Kundta .

Zobacz też

• Tensor Bacha , $.$ czasami przydatnego tensora generowanego przez wariacyjną
• Niezmienniki Carminatiego-McLenaghana , dla zbioru niezmienników wielomianowych tensora Riemanna czterowymiarowej rozmaitości Lorentza, o której wiadomo, że jest kompletna w pewnych okolicznościach.
• Niezmiennik krzywizny dla niezmienników krzywizny w bardziej ogólnym kontekście.

• Cherubini, C.; Bini, D.; Capozziello S.; Ruffini R. (2002). „Niezmienniki skalarne drugiego rzędu tensora Riemanna: zastosowania do czasoprzestrzeni czarnych dziur”. Int. J. mod. fizyka D. _ 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095 . Bibcode : 2002IJMPD..11..827C . doi : 10.1142/S0218271802002037 . Zobacz także wersję eprint .
• Coley, A.; Hervik S.; Pelavas, N. (2009). „Czasy czasoprzestrzenne scharakteryzowane przez ich skalarne niezmienniki krzywizny”. Klasa. Grawitacja kwantowa . 26 : 025013. arXiv : 0901.0791 . Bibcode : 2009CQGra..26b5013C . doi : 10.1088/0264-9381/26/2/025013 .