Norma (grupa abelowa)

W matematyce , szczególnie w algebrze abstrakcyjnej , jeśli $Displaystyle \ nu \ okrężnica Mówi się , że G \ do \ mathbb {R}}$ grupą ( abelową ) $\ displaystyle e}$ tożsamości, to $wtedy$ ν jest normą na ${\ Displaystyle (G, +)},$ jeśli:

1. Pozytywna określoność : ${\ Displaystyle \ nu (g)> 0 {\ tekst {dla wszystkich}} g \ neq e {\ tekst {i}} \ nu (e)=0}$ ,
2. subaddytywność : ${\ Displaystyle \ nu (g + h) \ równoważnik \ nu (g) ​​+ \ nu (h)}$ ,
3. Inwersja (symetria): ${\ Displaystyle \ nu (-g) = \ nu (g) ​​{\ tekst {dla wszystkich}} g \ w G}$ .

Alternatywna, silniejsza definicja normy wymaga ${\ Displaystyle (G, +)}$

1. ${\ Displaystyle \ nu (g)> 0 {\ tekst {dla wszystkich}} g \ neq e}$ ,
2. ${\ Displaystyle \ nu (g + h) \ równoważnik \ nu (g) ​​+ \ nu (h)}$ ,
3. ${\ Displaystyle \ nu (mg) = | m | \, \ nu (g) ​​{\ tekst {dla wszystkich}} m \ in \ mathbb {Z}}$ .

Norma jest dyskretna $g)> \ rho}$ jeśli istnieje jakaś liczba rzeczywista ${\ displaystyle g \ neq 0}$$,$ że $\ Displaystyle \ nu$ ilekroć .

Wolne grupy abelowe

Grupa abelowa jest swobodną grupą abelową wtedy i tylko wtedy, gdy ma dyskretną normę.