Norma Alexiewicza

W matematyce - a konkretnie w teorii integracji - norma Alexiewicza jest normą integralną związaną z całką Henstocka-Kurzweila . Norma Alexiewicza zamienia przestrzeń całkowalnych funkcji Henstocka-Kurzweila w topologiczną przestrzeń wektorową , która jest beczkowata , ale niekompletna . Norma Alexiewicza nosi imię polskiego matematyka Andrzeja Alexiewicza , który wprowadził ją w 1948 roku.

Definicja

Niech HK( R ) oznacza przestrzeń wszystkich funkcji f : R → R , które mają skończoną całkę Henstocka-Kurzweila. Zdefiniuj półnormę Alexiewicza f ∈ HK( R ) przez

${\ Displaystyle \ | f \ |: = \ sup \ lewo \ {\ lewo | \ int _ {I} f \ prawo |: I \ subseteq \ mathbb {R} {\ tekst {to interwał}} \ prawo \ }.}$

To definiuje półnormę na HK( R ); jeśli identyfikuje się funkcje równe Lebesgue'a - prawie wszędzie , to procedura ta definiuje bona fide normę na iloraz HK( R ) przez relację równoważności równości prawie wszędzie. (Zauważ, że jedyną stałą funkcją f : R → R , która jest całkowalna, jest ta o stałej wartości zero).

Nieruchomości

• Norma Alexiewicza nadaje HK( R ) topologię beczkowatą, ale niekompletną.
• Zdefiniowana powyżej norma Alexiewicza jest równoważna z normą określoną przez

$_ {- \ infty} ^ {x} f \ prawo |.} Zakończenie$

• int HK ( R ) ze względu na normę Alexiewicza jest często oznaczana jako A( R ) i jest podprzestrzenią przestrzeni rozkładów temperowanych , dualną przestrzeni Schwartza . Dokładniej, A( R ) składa się z tych rozkładów temperowanych, które są dystrybucyjnymi pochodnymi funkcji w zbiorze

${\ Displaystyle \ lewo \ {F \ dwukropek \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R} \, \ lewo | \, F {\ tekst {jest ciągły,}} \ lim _ {x \ do - \ infty} F(x)=0,\lim _{x\to +\infty }F(x)\in \mathbb {R} \right.\right\}.} Zatem, jeśli f ∈ A$

( R ) , to f

$_ \langle F',\varphi \rangle =-\langle F,\varphi '\rangle =-\int _{-\infty }^{+\infty }F\varphi '=\langle f,\varphi \rangle }$

+ ∞ =

dla każdej kompaktowo obsługiwanej funkcji testowej C ^∞ φ : R → R . W tym przypadku zachodzi, że

${\ Displaystyle \|f\|'=\sup _ {x\in \mathbb {R}}|F(x)|=\|F\|_{\infty}.} Operator translacji jest ciągły$

• względem norma Alexiewicza. To znaczy, jeśli dla fa ∈ HK ( R ) i x ∈ R tłumaczenie T _x fa z f przez x jest zdefiniowane przez

${\ Displaystyle (T_ { x} f) (y): = f (yx),}$

następnie

${\ Displaystyle \| T_ {x} ff \|\ do 0 {\ tekst {a} }x\do 0.}$

•   Aleksiewicz, Andrzej (1948). „Funkcjonały liniowe w funkcjach całkowalnych Denjoy”. Kolokwium Matematyczne . 1 : 289–293. MR 0030120 .
•    Talvila, Erik (2006). „Ciągłość w normie Alexiewicza” . Matematyka Czechy . 131 (2): 189–196. ISSN 0862-7959 . MR 2242844 .