Opera (matematyka)

W matematyce Oper jest połączeniem głównym lub, mówiąc bardziej elementarnie , typem operatora różniczkowego . Zostały one po raz pierwszy zdefiniowane i użyte przez Vladimira Drinfelda i Vladimira Sokołowa do zbadania, w jaki sposób równanie KdV i powiązane całkowalne PDE odpowiadają strukturom algebraicznym znanym jako algebry Kaca – Moody'ego . Ich nowoczesne sformułowanie zawdzięczamy Drinfeldowi i Alexandrowi Beilinsonowi .

Historia

Opery zostały po raz pierwszy zdefiniowane, choć nie nazwane, w rosyjskim artykule Drinfelda i Sokołowa z 1981 r. Na temat równań typu Korteweg – de Vries i prostych algebr Liego . Zostały one później uogólnione przez Drinfelda i Beilinsona w 1993 roku, później opublikowane jako e-print w 2005 roku.

Sformułowanie

Abstrakcyjny

Niech $będzie$ spójną grupą redukcyjną na płaszczyźnie zespolonej , z wyróżnioną podgrupą Borela. $G }$ $B$ B_ . Ustaw ${\ Displaystyle N = [B, B]}$ tak, aby ${\ Displaystyle H = B/N}$ było Grupa Cartana .

Oznacz przez ${\ Displaystyle {\ mathfrak {n} < {\ mathfrak {b} < {\ mathfrak {g}}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ={\mathfrak {b}}/{\mathfrak {n}}}$ odpowiednie algebry Liego . Istnieje otwarta $Displaystyle$ -orbita składająca się z wektorów stabilizowanych przez rodnik. $N$ $N \ podzbiór B}$ takie, że wszystkie ich ujemne składniki o pierwiastku prostym są niezerowe.

Niech będzie $krzywą$ .

G -oper $na$ jest potrójny ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {F}}, \ nabla, {\ mathfrak {F}} _ {B})$ gdzie jest głównym ${\ displaystyle$ , jest połączeniem na $\ mathfrak {F}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {B}}$ $i$ fa $\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ jest za ${\ displaystyle B}$ - redukcja , taka, że jednoformatowa $}$ $\ displaystyle \ nabla /$ $\ mathfrak {F}} _ {B$ $_$ przyjmuje wartości

Przykład

Ustalić sferę Riemanna ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {1} = \ mathbb {CP} ^ {1}}$ . $_$ algebr _ $złożonych$ z przestrzenią . Od ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ ma tylko jeden (złożony) wymiar, jedna forma ma tylko jeden składnik, więc za s $\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2,\mathbb {C} )}$ -wartościowa jedna forma jest lokalnie opisana przez macierz funkcji

{\ Displaystyle A (z) = {\ rozpocząć {pmatrix} a (z) i b (z) \\ c

gdzie

_

_ _ _

Oznaczmy przez $)}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {Conn}} _ {{\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})} (\ mathbb {P} ^$ $g(z)}$ wartościowanych funkcji $)$ $\$ , funkcje meromorficzne wycenione w powiązanej grupie Liego ${\ Displaystyle G = SL (2, \ mathbb {C})}$ . Działanie polega na formalnej transformacji cechowania :

{\ Displaystyle g (z) * A (z) = g (z) A (z) g (z) ^ {- 1} - g '(z) g (z) ^ {- 1}.}

Następnie opery są definiowane w kategoriach podprzestrzeni tych połączeń. Oznacz przez ${\ Displaystyle {\ tekst {op}} _ {{\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})} (\ mathbb {P} ^ {1})}$ przestrzeń połączeń z ${\ Displaystyle c (z) \ równoważnik 1}$ . $podgrupę$ przez funkcji meromorficznych wycenioną w ${\ Displaystyle SL (2, \ mathbb {C} )}$ postaci ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 & f (z) \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$ z meromorficznym ${\ Displaystyle f (z)}$ .

wtedy dla ${\ Displaystyle g (z) \ w N, A (z) \ w {\ tekst {op} }_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^{1}),} oznacza,$ że ${\ Displaystyle g (z) * A (z) \ w {\ tekst {op}} _ {{\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})} (\ mathbb { P} ^{1})}$ . W związku z tym definiuje działanie. Orbity tej akcji konkretnie charakteryzują opery. Jednak ogólnie ten opis dotyczy tylko lokalnie, a niekoniecznie globalnie.

modelu Gaudina

Opery na $.$ użyte przez Borisa Feigina , Edwarda Frenkla i Nicolai Reshetikhina do widma modelu Gaudina

W szczególności dla modelu $}$ i definiowania jako algebry dualnej Langlandsa istnieje bijekcja między $\ displaystyle ^ {L} {\ mathfrak {g}}$ widmo algebry Gaudina generowane przez operatory zdefiniowane w modelu $i$ różnorodność oper .