modelu Gaudina

W fizyce model Gaudina , czasami nazywany kwantowym modelem Gaudina, jest modelem lub dużą klasą modeli w mechanice statystycznej , opisanych po raz pierwszy w najprostszym przypadku przez Michela Gaudina . Są dokładnie rozwiązywalnymi modelami i są również przykładami kwantowych łańcuchów spinowych .

Historia

Najprostszy przypadek został po raz pierwszy opisany przez Michela Gaudina w 1976 r., Przy czym $powiązaną$ przyjęto specjalną grupę liniową .

Sformułowanie matematyczne

Niech będzie półprostą algebrą Liego o skończonym wymiarze ${\ displaystyle {\ mathfrak {g$$}$ }

Niech będzie $całkowitą$ . Na płaszczyźnie zespolonej $wybierz$ różne punkty, $z_ {i}$$displaystyle$ .

Oznaczmy $nieredukowalną$$skończenie$ reprezentację odpowiadającą $.$ elementowi _ Niech ${\ Displaystyle ({\ boldsymbol {\ lambda}}): = (\ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _ {N})$ } zbiór dominujących wag całkowych ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}$ } Zdefiniuj $_ \otimes V_{\lambda _{N}}}$ tensorowy .

Model jest następnie określany przez zestaw operatorów działających na ${\ lambda}})}} ,$$V_ {({\$ jako Hamiltoniany Gaudina . Są one opisane w następujący sposób.

Oznaczmy przez niezmienny $iloczyn$ skalarny przyjmuje się $zabijania$ że jest . Niech będzie podstawą $}$${\$ } $}$${I ^ {$ być podwójną podstawą podaną przez iloczyn skalarny. $λ$ elementu $)}$ przez operatora $}$$Displaystyle A ^ {(i$$}$ λ $A$ ZA displaystyle ${\ Displaystyle V_ {({\ boldsymbol {\ lambda}})}}$ i jako tożsamość w stosunku do innych czynników. Następnie

$${\ Displaystyle H_ {i} = \ suma _ {j \ neq i} \ suma _ {a = 1} ^ {d} {\ Frac {I_ {a} ^ {(i)} ja ^ {a (j) }}{z_{i}-z_{j}}}.}$$

Operatorzy ci wzajemnie dojeżdżają do pracy. Jednym z interesujących problemów w teorii modeli Gaudina jest znalezienie jednoczesnych wektorów własnych i wartości własnych tych operatorów.

$pracować z$ wieloma hamiltonianami Gaudina, istnieje inny operator , Gaudina To zależy od złożonego parametru $a$ także od kwadratu Casimira , który jest elementem uniwersalnej algebry obwiedni, zdefiniowanej jako ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$

$${\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {a = 1} ^ {d} I_ {a} ja ^ {a}.}$$

Działa to na reprezentacje $\ Delta (\ lambda)$ pomnożenie przez liczbę zależną od reprezentacji, oznaczoną $}$ . Jest to czasami określane jako indeks reprezentacji. Następnie definiuje się hamiltonian Gaudina

$${\ Displaystyle S (u) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ lewo [{\ Frac {H_ {i}} {u-z_ {i}}} + {\ Frac {\ Delta (\ lambda _{i})}{(u-z_{i})^{2}}}\right].}$$

Przemienność $_$ różnych $wartości$ _ $_$ _

Wyższe Hamiltoniany Gaudina

Kiedy ma rangę większą niż $1$ , algebra dojazdów obejmująca hamiltoniany Gaudina i tożsamość można rozszerzyć do większej algebry dojazdów, znanej jako algebra Gaudina Podobnie jak w przypadku izomorfizmu Harisza-Chandry , te elementy dojazdów mają powiązane stopnie. sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {2}$ , Hamiltoniany Gaudina i tożsamość obejmują algebrę Gaudina. Istnieje inna algebra komutacyjna, która jest „uniwersalna”, leżąca u podstaw algebry Gaudina dla dowolnego wyboru miejsc i wag, zwana centrum Feigina – Frenkla. Zobacz tutaj .

Następnie wektory własne algebry Gaudina definiują funkcjonały liniowe na algebrze. Jeśli $jest$${\ Displaystyle \ chi _ {v}: {\ mathfrak {G}} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ algebry Gaudina $własnym$ jest $wektorem$ algebry Gaudina, otrzymuje się funkcjonał podane przez

$${\ Displaystyle Xv = \ chi _ {v} (X) v.}$$

Funkcjonał liniowy $.$ jest znakiem algebry Określenie wartości własnych staje się wtedy kwestią określenia znaków w algebrze Gaudina.

Rozwiązania

Rozwiązanie modelu Gaudina często oznacza określenie widma hamiltonianu Gaudina lub hamiltonianów Gaudina. Istnieje kilka metod rozwiązania, w tym

• Algebraiczny Bethe ansatz , używany przez Gaudina
• Separacja zmiennych stosowana przez Sklyanina
• Funkcje korelacji metodą opisaną przez Feigina , Frenkla i Reszetichina .
• Opery

Ansatz algebraiczny Bethe

dla sl2 _{_}

sol $mathfrak {sl}} _ {2}}$ niech $H, F \} }$ będzie bazą standardową. Dla dowolnego można zdefiniować funkcję meromorficzną o wartościach operatora ${\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$

$${\ Displaystyle X (z) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} {\ Frac {X ^ {(i)}} {z-z_ {i}}}.}$$

Jego pozostałość w ${\ Displaystyle z = z_ {i}}$ to ${\ Displaystyle X ^ {(i)}}$ , podczas gdy ${\ Displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} zX (z) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} X ^ {(i)} =: X^{(\infty)},}$ „pełna” reprezentacja tensorowa.

X ${\ Displaystyle X (z)}$ i ${\ Displaystyle X ^ {(\ infty)}}$ spełniają kilka użytecznych właściwości X (

• ${\ Displaystyle [X (z), Y ^ {(\ infty)}] = [X, Y] (z)}$
• ${\ Displaystyle S (u) = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {a} I_ {a} (z) ja^{a}(z)}$
• ${\ Displaystyle [H_ {i}, X ^ {(\ infty)}] = 0}$

ale ${\ Displaystyle X (z)}$ nie tworzą reprezentacji: ${\ Displaystyle [X (z) ,Y(z)]=-[X,Y]'(z)}$ . Trzecia właściwość jest przydatna, ponieważ pozwala nam również diagonalizować względem ${\ Displaystyle H ^ {\ infty}}$ , dla których znana jest diagonalna (ale zdegenerowana) podstawa.

Dla modelu Gaudina $\ Displaystyle z_ {1}, \ cdots, z_ {N$ przez witryny $\$ i wagach ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _ {N} \ in \ mathbb {N}}$ , zdefiniuj wektor próżni być iloczynem tensorowym stanów o najwyższej wadze z każdej reprezentacji: ${\ Displaystyle v_ {0}: = v _ {\ lambda _ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ lambda _ {N}}}$ .

Wektor Bethe'go ( odchylenie wirowania $jest$ wektorem postaci

$${\ Displaystyle F (w_ {1}) \ cdots F (w_ {m}) v_ {0}}$$

dla ${\ Displaystyle w_ {i} \ w \ mathbb {C}}$ . Zgadywanie wektorów własnych postaci wektorów Bethe'ego to ansatz Bethe'go . Można pokazać, że wektor Bethe'go jest wektorem własnym hamiltonianów Gaudina, jeśli układ równań

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} {\ Frac {\ lambda _ {i} }{w_{k}-z_{i}}}-2\suma _{j\neq k}{\frac {1}{w_{k}-w_{j}}}=0}$$

obowiązuje dla każdego $displaystyle$ 1 a $m}$ . To są równania Bethe ansatz dla odchylenia spinu ${\ displaystyle m}$ . Dla ${\ displaystyle m = 1}$ zmniejsza się to do

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} (w): = \ suma _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\lambda _{i}}{w-z_{i}}}=0.}$$

Kompletność

Teoretycznie równania Bethe ansatz można rozwiązać, otrzymując wektory własne i wartości własne hamiltonianu Gaudina. W praktyce, jeśli równania mają całkowicie rozwiązać problem spektralny, należy również sprawdzić

• Liczba rozwiązań przewidywanych przez równania Bethe'go
• Wielość rozwiązań

Jeśli dla określonej konfiguracji miejsc i wag ansatz Bethe generuje wszystkie wektory własne, to mówi się, że jest kompletny dla tej konfiguracji modelu Gaudina. Możliwe jest skonstruowanie przykładów modeli Gaudina, które są niekompletne. Jednym z problemów w teorii modeli Gaudina jest więc określenie, kiedy dana konfiguracja jest kompletna, czy nie, lub przynajmniej scharakteryzowanie „przestrzeni modeli”, dla których ansatz Bethe jest kompletny.

Dla ogólnego złożonego prostego g

Analogi równania Bethe ansatz można wyprowadzić dla algebr Liego wyższego rzędu. Jednak $są$ one znacznie trudniejsze do wyprowadzenia i niż Ponadto dla ${$$\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}$ znaczy dla wszystkich innych oprócz , wyższe Gaudin sol Hamiltoniany, dla których nie wiadomo, jak uogólnić ansatz Bethe.

Uogólnienia

Istnieją uogólnienia wynikające z osłabienia ograniczenia $ściśle$ półprostą algebrą Liego. Na $,$ , gdy może być afiniczną algebrą Liego model nazywa się afinicznym modelem Gaudina.

Innym sposobem uogólnienia jest wybranie preferowanego automorfizmu określonej algebry Liego sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Można wtedy zdefiniować hamiltoniany, które ładnie się przekształcają pod działaniem automorfizmu. Jedną z klas takich modeli są cyklotomiczne modele Gaudina.

Istnieje również pojęcie klasycznego modelu Gaudina . Historycznie rzecz biorąc, kwantowy model Gaudina został zdefiniowany i zbadany jako pierwszy, w przeciwieństwie do większości systemów fizycznych. Niektóre klasyczne całkowalne teorie pola można postrzegać jako klasyczne dwuścienne afiniczne modele Gaudina. Dlatego zrozumienie kwantowych afinicznych modeli Gaudina może pozwolić na zrozumienie całkowalnej struktury kwantowych całkowalnych teorii pola.

Takie klasyczne teorie pola obejmują główny model chiralny , modele coset sigma i afiniczną teorię pola Toda .

Linki zewnętrzne

• Całkowalny model Gaudina w nLab