Operator Dunkla

W matematyce , zwłaszcza w badaniu grup Liego , operator Dunkla jest pewnym rodzajem operatora matematycznego , obejmującego operatory różniczkowe , ale także odbicia w przestrzeni bazowej.

Formalnie niech G będzie grupą Coxetera ze zredukowanym systemem pierwiastków R , a k _v dowolną funkcją „wieloznaczności” na R (więc k _u = k _v zawsze, gdy odbicia σ _u i σ _v odpowiadające pierwiastkom u i v są sprzężone w G ). Następnie operator Dunkla jest zdefiniowany przez:

${\ Displaystyle T_ {i} f ( x) = {\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{i}}}f(x)+\sum _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f (x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}}$

gdzie jest i -tą składową v , 1 ≤ ja ≤ N , x w $fa$ N ^, i funkcją na R ^N .

Operatory Dunkla zostały wprowadzone przez Charlesa Dunkla ( 1989 ). Jednym z głównych wyników Dunkla było to, że operatorzy Dunkla „dojeżdżają do pracy”, to znaczy spełniają ${\ Displaystyle T_ {i} (T_ {j }f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))}$ tak jak robią to pochodne cząstkowe. Zatem operatory Dunkla reprezentują znaczące uogólnienie pochodnych cząstkowych.

•    Dunkl, Charles F. (1989), „Operatory różnicowe związane z grupami refleksyjnymi”, Transactions of the American Mathematical Society , 311 (1): 167–183, doi : 10.2307/2001022 , ISSN 0002-9947 , MR 0951883