Orbita (teoria sterowania)

Pojęcie orbity systemu sterowania używane w matematycznej teorii sterowania jest szczególnym przypadkiem pojęcia orbity w teorii grup .

Definicja

Niech ${\ Displaystyle {\ } {\ kropka {q}} = f (q, u)}$ będzie za do $\ Displaystyle \ {\ mathcal {C}} ^ {\ infty }}$ system sterowania, w którym należy do $}$ wymiarowej rozmaitości, $a$ u $\ displaystyle \ u$ $do$ zestawu . Rozważmy rodzinę ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {f (\ cdot, u) \ mid u \ in U \}} i$ załóżmy, że każde pole wektorowe w ${\ displaystyle {\mathcal {F}}}$ zostało zakończone . Dla każdego $\$ każdego rzeczywistego $tf$ { ${$ e przepływ f ${\ displaystyle \ f}$ w czasie ${\ displaystyle \ t}$ .

Orbita układu sterowania ${\ Displaystyle {\ } {\ kropka {q}} = f (q, u)}$ przez punkt ${\ Displaystyle q_ {0} \ w M}$ jest podzbiorem zdefiniowanym przez O ${\ mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ $Displaystyle$

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {q_ {0}} = \ {e ^ {t_ {k} f_ {k}} \ circ e ^ {t_ {k-1} f_ {k-1}} \circ \cdots \circ e^{t_{1}f_{1}}(q_{0})\mid k\in \mathbb {N} ,\ t_{1},\dots ,t_{k}\in \mathbb {R} ,\ f_{1},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}\}.}

Uwagi

Różnica między orbitami a osiągalnymi zestawami polega na tym, że podczas gdy dla osiągalnych zestawów dozwolone są tylko ruchy do przodu w czasie, dla orbit dozwolone są zarówno ruchy do przodu, jak i do tyłu. W szczególności, jeśli rodzina $jest$ symetryczna (tj. $displaystyle -f\in {\mathcal {F}}} )$ $i$ tylko wtedy $gdy$ , wtedy orbity i osiągalne zbiory pokrywają się.

Hipoteza, że każde pole wektorowe jest kompletne, upraszcza notacje, ale można je $.$ W takim przypadku należy zastąpić przepływy pól wektorowych ich lokalnymi wersjami.

Twierdzenie o orbicie (Nagano – Sussmann)

$jest$ orbita zanurzoną podrozmaitością M { \ $\ M$ .

Przestrzeń styczna do orbity w punkcie $jest$ liniową podprzestrzenią $Displaystyle$ $\ T_$ rozpięty przez wektory, gdzie ${\ Displaystyle \ f}$ $\ Displaystyle \ P_ {*} f (q)}$ gdzie ${\ Displaystyle \ P_ {*} f}$ oznacza pushforward fa przez ${\ Displaystyle \ P}$ , ${\ Displaystyle \ f}$ należy do ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ i ${\ Displaystyle \ P}$ jest dyfeomorfizmem postaci ${\ Displaystyle \ M}$ ${\ Displaystyle e ^ {t_ {k} f_ {k}} \ circ \ cdots \ circ e ^ {t_ {1} f_ {1}}}$ z ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}, \ t_ {1}, \ kropki, t_ {k} \ in \ mathbb {R}}$ i ${ \ Displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {k} \ w {\ mathcal {F}}}$ .

Jeśli wszystkie pola wektorowe rodziny są $\ Displaystyle \ T_ {q} {\ mathcal {O}} _ {q_ {0}} = \ operatorname {Kłamstwo} _ {q} \, {\ mathcal {F}}}$ , to $T$ gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Kłamstwo} _ {q} \, {\ mathcal { F}}}$ jest oceną algebry Liego generowanej przez ${\ displaystyle \ q}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ w odniesieniu do nawiasu Lie pól wektorowych . W przeciwnym razie inkluzja ${\ Displaystyle \ operatorname {Kłamstwo} _ {q} \ {\ mathcal {F}} \ podzbiór T_ {q} {\ mathcal {O}} _ { q_{0}}}$ jest prawdziwe.

Wniosek ( twierdzenie Rashevsky'ego – Chowa )

L ${\ Displaystyle \ operatorname {Kłamstwo} _ {q} \, {\ mathcal {F}} = T_ {q} M}$ każdego $}$ ${\ Displaystyle \ q \ in$ $połączone$ i jeśli jest , to każda orbita jest równa całej rozmaitości ${\ displaystyle \ M}$ .

Zobacz też

Twierdzenie Frobeniusa ( topologia różniczkowa )

Dalsza lektura

Agrachev, Andriej; Saczkow, Jurij (2004). „Twierdzenie o orbicie i jego zastosowania” . Teoria sterowania z geometrycznego punktu widzenia . Berlin: Springer. s. 63–80. ISBN 3-540-21019-9 .