Ortocentryczny czworościan

W geometrii czworościan ortocentryczny to czworościan , w którym wszystkie trzy pary przeciwległych krawędzi są prostopadłe . Jest również znany jako czworościan ortogonalny, ponieważ ortogonalny oznacza prostopadły. Po raz pierwszy został zbadany przez Simona Lhuiliera w 1782 r., A nazwę ortocentrycznego czworościanu otrzymał od G. de Longchamps w 1890 r.

W ortocentrycznym czworościanie cztery wysokości są współbieżne . Ten wspólny punkt nazywa się ortocentrum i ma tę właściwość, że jest punktem symetrycznym środka opisanej kuli względem środka ciężkości . Stąd ortocentrum pokrywa się z punktem Monge czworościanu.

Charakteryzacje

Wszystkie czworościany można wpisać w równoległościan . Czworościan jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego równoległościan opisany jest romboedrem . Rzeczywiście, w dowolnym czworościanie para przeciwległych krawędzi jest prostopadła wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie ściany opisanego równoległościanu są rombami. Jeśli cztery ściany równoległościanu są rombami, to wszystkie krawędzie mają równe długości i wszystkie sześć ścian jest rombami; wynika z tego, że jeśli dwie pary przeciwległych krawędzi w czworościanie są prostopadłe, to trzecia para również jest prostopadła, a czworościan jest ortocentryczny.

Czworościan $ABCD$ jest ortocentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów przeciwległych krawędzi jest taka sama dla trzech par przeciwległych krawędzi:

{\ Displaystyle {\ overline {AB}} ^ {2} + {\ overline {CD}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} + {\ overline {BD}} ^ {2} ={\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}.}

W rzeczywistości wystarczy, aby tylko dwie pary przeciwległych krawędzi spełniały ten warunek, aby czworościan był ortocentryczny.

Innym koniecznym i wystarczającym warunkiem , aby czworościan był ortocentryczny, jest to, aby jego trzy bimediany miały równą długość.

Tom

Charakterystyka dotycząca krawędzi sugeruje, że jeśli znane są tylko cztery z sześciu krawędzi ortocentrycznego czworościanu, pozostałe dwie można obliczyć, o ile nie są one przeciwne. Dlatego objętość czworościanu ortocentrycznego można wyrazić za pomocą czterech krawędzi a , b , c , d . Formuła jest

{\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {6}} {\sqrt {4(c^{2}+d^{2})s(sa)(sb)(sc)-a^{2}b^{2}c^{2}}}}

gdzie c i d są przeciwległymi krawędziami i ${\ Displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$ .

Zobacz też