dysfenoid

Tetragonalne . i dwuboczne disfenoidy można umieścić wewnątrz prostopadłościanu przecinającego dwie przeciwległe ściany Oba mają cztery równe krawędzie biegnące po bokach. Digonal ma dwie pary przystających trójkątów równoramiennych , podczas gdy czworokąt ma cztery przystające trójkąty równoramienne.

Rombowy disfenoid ma przystające trójkąty pochyłe i może zmieścić się po przekątnej wewnątrz prostopadłościanu . Ma trzy zestawy długości krawędzi, istniejące jako przeciwne pary.

W geometrii disfenoid (z greckiego sphenoeides „podobny do klina”) to czworościan , którego cztery ściany są przystającymi trójkątami o ostrych kątach . Można go również opisać jako czworościan, w którym każde dwie przeciwległe krawędzie mają równe długości . Inne nazwy tego samego kształtu to izotetrahedron , sferoidalny , bisfenoidalny , czworościan równoramienny , czworościan równoramienny , czworościan prawie regularny i czworościan równoramienny .

Wszystkie kąty bryłowe i figury wierzchołków disfenoidu są takie same, a suma kątów ścian w każdym wierzchołku jest równa dwóm kątom prostym . Jednak disfenoid nie jest regularnym wielościanem , ponieważ generalnie jego ściany nie są regularnymi wielokątami , a jego krawędzie mają trzy różne długości.

Przypadki szczególne i uogólnienia

Dalsze informacje: czworościan § Izometrie nieregularnych czworościanów

Jeśli ściany dysfenoidu są trójkątami równobocznymi , jest to czworościan foremny o symetrii czworościennej Td , chociaż normalnie nie _nazywa się to dwusfenoidem. Kiedy twarze disfenoidu są trójkątami równoramiennymi , nazywa się to tetragonalnym disfenoidem . W tym przypadku ma symetrię dwuścienną D _2d . Klin, którego ścianki są trójkątami pochyłymi, nazywany jest disfenoidem rombowym i ma symetrię dwuścienną D _{2 .} W przeciwieństwie do tetragonalnego disfenoidu, rombowy disfenoid nie ma symetrii odbicia , więc jest chiralny . Zarówno tetragonalne disfenoidy, jak i rombowe disfenoidy są izohedrami : oprócz tego, że są do siebie przystające, wszystkie ich twarze są względem siebie symetryczne.

Nie jest możliwe zbudowanie disfenoidu z trójkątem prostokątnym lub trójkątem rozwartym . Kiedy trójkąty prostokątne są sklejone ze sobą na wzór dwufenoidy, tworzą płaską figurę (podwójnie pokryty prostokąt), która nie zawiera żadnej objętości. Kiedy trójkąty rozwarte są sklejone w ten sposób, powstałą powierzchnię można złożyć, tworząc disfenoid (zgodnie z twierdzeniem Aleksandrowa o wyjątkowości ), ale taki z ostrymi trójkątami i krawędziami, które generalnie nie leżą wzdłuż krawędzi danych trójkątów rozwartych.

Dwa kolejne typy czworościanu uogólniają disfenoid i mają podobne nazwy. Digonal disphenoid ma twarze o dwóch różnych kształtach, oba trójkąty równoramienne, z dwiema ścianami każdego kształtu. Filiczny disfenoid podobnie ma twarze o dwóch kształtach trójkątów pochyłych.

Disfenoidy można również postrzegać jako dwukątne antygraniastosłupy lub jako naprzemienne czworoboczne graniastosłupy .

Charakteryzacje

Czworościan jest disfenoidem wtedy i tylko wtedy, gdy jego opisany równoległościan jest prostokątny.

Mamy również, że czworościan jest disfenoidem wtedy i tylko wtedy, gdy środek w opisanej kuli i wpisana kula pokrywają się.

Inna charakterystyka stwierdza, że ​​jeśli d ₁ , d ₂ i d ₃ są wspólnymi prostopadłymi AB i CD ; AC i BD ; i AD i BC w czworościanie ABCD , to czworościan jest dwufenoidą wtedy i tylko wtedy , gdy d ₁ , d ₂ i d ₃ są parami prostopadłe .

Disfenoidy są jedynymi wielościanami mającymi nieskończenie wiele nieprzecinających się, zamkniętych geodezyjnych . Na disfenoidzie wszystkie zamknięte geodezje nie przecinają się same.

Dysfenoidy to czworościany, w których wszystkie cztery ściany mają ten sam obwód , czworościany, w których wszystkie cztery ściany mają ten sam obszar, oraz czworościany, w których defekty kątowe wszystkich czterech wierzchołków są równe π . Są to wielościany mające siatkę w kształcie trójkąta ostrego podzielonego na cztery trójkąty podobne odcinkami łączącymi środki krawędzi.

Formuły metryczne

Objętość dysfenoidu o przeciwległych krawędziach o długości l , m i n jest dana wzorem

${\ Displaystyle V = {\ sqrt {\ Frac {(l ^ {2} + m ^ {2} -n ^ {2}) (l ^ {2} -m ^ {2} + n ^ {2}) (-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}$

Opisana kula ma promień (promień okręgu)

${\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ Frac {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2}} {8}}}}$

a wpisana kula ma promień

${\ Displaystyle R = {\ Frac {3V} {4T}}}$

gdzie V to objętość disfenoidu, a T to pole dowolnej ściany, określone wzorem Herona . Istnieje również następująca interesująca zależność łącząca objętość i promień okręgu:

${\ Displaystyle \ Displaystyle 16 T ^ {2} R ^ {2} = l ^ {2} m ^ {2} n ^ {2} + 9 V ^ {2}.}$

Kwadraty długości bimedian to

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (l ^ {2} + m ^ {2} -n ^ {2}), \ quad {\ tfrac {1} {2}} (l ^ {2} }-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}$

Inne właściwości

Jeśli cztery ściany czworościanu mają ten sam obwód, to czworościan jest dwusfenoidem.

Jeśli cztery ściany czworościanu mają ten sam obszar, to jest to disfenoid.

Środki w sferach opisanych i wpisanych pokrywają się ze środkiem ciężkości dysfenoidu.

Bimediany są prostopadłe do krawędzi, które łączą i do siebie nawzajem.

Plastry miodu i kryształy

Wypełniający przestrzeń czworościenny disfenoid wewnątrz sześcianu. Dwie krawędzie mają kąty dwuścienne 90°, a cztery krawędzie mają kąty dwuścienne 60°.

Niektóre tetragonalne disfenoidy utworzą plastry miodu . Disfenoid, którego cztery wierzchołki to (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) i (0, 1, -1) jest takim disfenoidem. Każda z jego czterech ścian jest trójkątem równoramiennym o krawędziach o długościach √ 3 , √ 3 i 2. Może teselować przestrzeń, tworząc dwusfenoidowy czworościenny plaster miodu . Jak Gibb (1990) , można go złożyć bez cięcia lub nakładania się z pojedynczego arkusza papieru A4 .

„Disphenoid” jest również używany do opisania dwóch form kryształu :

• Forma krystaliczna w kształcie klina układu tetragonalnego lub rombowego . Ma cztery trójkątne ściany, które są podobne i które odpowiadają naprzemiennym ścianom czworokątnej lub rombowej dwupiramidy . Jest symetryczny względem każdej z trzech wzajemnie prostopadłych diad osi symetrii we wszystkich klasach z wyjątkiem tetragonalno-disfenoidalnej, w której forma jest generowana przez odwrotną tetradową oś symetrii.
• Postać krystaliczna ograniczona ośmioma trójkątami skalenowymi ułożonymi parami, tworzącymi czworokątny skalenościan .

Inne zastosowania

Sześć czworokątnych dwusfenoidów połączonych końcami w pierścień tworzy kalejdocykl , papierową zabawkę, która może obracać się na 4 zestawach ścian w sześciokącie.

Zobacz też

• Nieregularne czworościany
• Ortocentryczny czworościan
• Snub disfenoid - bryła Johnsona z 12 trójkątami równobocznymi i symetrią D _{2d .}
• Trójkątny czworościan

Linki zewnętrzne

• Analiza matematyczna Disphenoid autorstwa HC Rajpoota z Academia.edu
• Weisstein, Eric W. „Disphenoid” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Czworościan równoramienny” . MathWorld .