Wykres Pappus

Wykres Pappus
Wykres Pappus
	Wykres Pappus.
Nazwany po	Pappus z Aleksandrii
Wierzchołki	18
Krawędzie	27
Promień	4
Średnica	4
Obwód	6
Automorfizmy	216
Liczba chromatyczna	2
Indeks chromatyczny	3
Grubość książki	3
Numer kolejki	2
Nieruchomości	; ; ; ; ; Dwudzielny symetryczny dystansowo-przechodni regularny sześcienny hamiltonian
	Tabela wykresów i parametrów

W matematycznej dziedzinie teorii grafów graf Pappusa jest dwudzielnym 3- regularnym grafem nieskierowanym z 18 wierzchołkami i 27 krawędziami, utworzonym jako wykres Levi o konfiguracji Pappusa . Został nazwany na cześć Pappusa z Aleksandrii , starożytnego greckiego matematyka , który, jak się uważa, odkrył „twierdzenie o sześciokątach” opisujące konfigurację Pappusa. Wszystkie grafy regularnych odległości sześciennych są znane; wykres Pappus jest jednym z 13 takich wykresów.

Wykres Pappus ma prostoliniowy numer przecięcia 5 i jest najmniejszym wykresem sześciennym z tym numerem przecięcia (sekwencja A110507 w OEIS ). Ma obwód 6, średnicę 4, promień 4, liczbę chromatyczną 2, indeks chromatyczny 3 i jest połączony zarówno przez 3 wierzchołki , jak i przez 3 krawędzie . Ma grubość książki 3 i numer kolejki 2.

Wykres Pappusa ma wielomian chromatyczny równy: $+ 325x ^ {14} -2600x ^ {13}+14950x^{12}-65762x^{11}+$ $229852x^{10}-653966x^{9}+1537363x^{8}-3008720x^{7}+4904386x^{6}-$ $6609926x^{5}+7238770x^{4}-6236975x^{3}+3989074x^{2}-1690406x+356509)$ .

Nazwa „wykres Pappus” była również używana w odniesieniu do powiązanego wykresu z dziewięcioma wierzchołkami, z wierzchołkiem dla każdego punktu konfiguracji Pappusa i krawędzią dla każdej pary punktów na tej samej linii; ten graf dziewięciu wierzchołków jest 6-regularny, jest grafem dopełnienia sumy trzech rozłącznych grafów trójkątów i jest kompletnym grafem trójdzielnym K _3,3,3 . Pierwszy graf Pappusa można osadzić w torusie, tworząc regularną mapę samego Petriego z dziewięcioma sześciokątnymi ścianami; drugi, aby utworzyć zwykłą mapę z 18 trójkątnymi ścianami. Dwie zwykłe mapy toroidalne są względem siebie podwójne.

Właściwości algebraiczne

Grupa automorfizmów grafu Pappus jest grupą rzędu 216. Działa przechodnio na wierzchołkach, krawędziach i łukach grafu. Dlatego graf Pappusa jest grafem symetrycznym . Ma automorfizmy, które przenoszą dowolny wierzchołek do dowolnego innego wierzchołka i dowolną krawędź do dowolnej innej krawędzi. Według spisu Fostera graf Pappusa, oznaczony jako F018A, jest jedynym sześciennym grafem symetrycznym na 18 wierzchołkach.

Charakterystyczny wielomian wykresu Pappusa to ${\ Displaystyle (x-3) x ^ {4} (x + 3) (x ^ {2} -3) ^ {6}}$ . Jest to jedyny wykres z tym charakterystycznym wielomianem, co czyni go wykresem określonym przez jego widmo.

Galeria

Kolorowy wykres Pappus, aby podkreślić różne cykle.
Indeks chromatyczny wykresu Pappusa wynosi 3.
Liczba chromatyczna wykresu Pappusa wynosi 2.
Wykres Pappusa osadzony w torusie jako zwykła mapa z dziewięcioma sześciokątnymi ścianami.
Wykres Pappusa i powiązana mapa osadzone w torusie.