Permutacyjnie niezmienna tomografia stanu kwantowego

Permutacyjnie niezmienna kwantowa tomografia stanów (PI kwantowa tomografia stanu) jest metodą częściowego określania stanu układu kwantowego składającego się z wielu podukładów.

Ogólnie rzecz biorąc, liczba parametrów potrzebnych do opisania stanu mechaniki $podsystemów$ układu składającego się z rośnie wykładniczo wraz z $}$$Displaystyle$ W przypadku systemu składającego się z kubitów , co jest chyba najbardziej odpowiednim przypadkiem, wektora stanu czystego stanu potrzebne są parametry rzeczywiste , czyli ${\ Displaystyle 2 ^ {N} -2$${\ Displaystyle 2 ^ {2N} -1}$ potrzebne są rzeczywiste parametry do opisania macierzy gęstości stanu mieszanego . Kwantowa tomografia stanów to metoda wyznaczania wszystkich tych parametrów z serii pomiarów na wielu niezależnych i identycznie przygotowanych układach. Zatem w przypadku pełnej tomografii stanu kwantowego liczba potrzebnych pomiarów rośnie wykładniczo wraz z liczbą cząstek lub kubitów.

W przypadku dużych systemów określenie całego stanu kwantowego nie jest już w praktyce możliwe i interesują nas metody, które określają tylko podzbiór parametrów niezbędnych do scharakteryzowania stanu kwantowego, który nadal zawiera ważne informacje o stanie. Permutacyjnie niezmienna tomografia kwantowa jest taką metodą wymagającą mniejszej liczby pomiarów niż tomografia stanowa. $Tomografia$ mierzy tylko niezmienną część gęstości. Do zabiegu wystarczy przeprowadzić lokalne pomiary w podsystemach. Jeśli stan jest bliski permutacji $blisko$ , co ma miejsce w wielu praktycznych sytuacjach, to gęstości systemu. Nawet jeśli stan nie jest permutacyjnie niezmienny, ${\ Displaystyle \ varrho _ {\ rm {PI}}}$ nadal może być używany do wykrywania splątania i obliczania odpowiednich wartości oczekiwanych przez operatora. Zatem procedura nie zakłada permutacyjnej niezmienniczości stanu kwantowego. Liczba niezależnych parametrów rzeczywistych ${\ displaystyle \ sim N ^ {3}.}$$displaystyle \ varho$ się jako $}}$ Liczba lokalnych ustawień pomiarowych skaluje się jako ${\ Displaystyle \ sim N ^ {2}.}$ Zatem permutacyjnie niezmienna tomografia kwantowa jest uważana za wykonalną nawet $dla$ . Innymi słowy, permutacyjnie niezmienna tomografia kwantowa jest uważana za skalowalną .

Metodę można wykorzystać np. do rekonstrukcji macierzy gęstości układów powyżej 10 cząstek, układów fotonicznych, uwięzionych zimnych jonów czy układów w zimnych atomach .

Permutacyjnie niezmienna część macierzy gęstości

Tomografia stanu PI rekonstruuje permutacyjnie niezmienną część macierzy gęstości, która jest zdefiniowana jako równa mieszanina stanów kwantowych uzyskanych po permutacji cząstek na wszystkie możliwe sposoby

${\ Displaystyle \ varho _ {\ rm {PI}} = {\ Frac {1} {N!}} \ suma _ {k} \ Pi _ {k} \ varho \ Pi _{k}^{\sztylet},}$

gdzie $oznacza$ k tą . Na przykład $permutacje$ dwie ${\ Displaystyle \ Pi _ {1}}$ pozostawia niezmienioną kolejność dwóch cząstek. ${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$ wymienia dwie cząstki. Ogólnie rzecz biorąc, ${\ displaystyle N!}$$cząstek$ mamy permutacje

Łatwo zauważyć, że $jest macierzą gęstości, którą uzyskuje się$ bierze się pod uwagę kolejności cząstek Odpowiada to eksperymentowi, w którym podzbiór $cząstek$ wybierany losowo z większego zespołu. Stan tej mniejszej grupy jest oczywiście permutacyjnie niezmienny.

Liczba stopni swobody skaluje się wielomianowo wraz $z$ Dla układu kubitów (cząstek spinowych $N$ rzeczywistych stopni swobody wynosi N { $}$

${\ Displaystyle {\ binom {N + 3} {N}} -1.}$

Pomiary potrzebne do wyznaczenia permutacyjnie niezmiennej części macierzy gęstości

Aby określić te stopnie swobody,

${\ Displaystyle {\ binom {N + 2} {N}}}$

wymagane są lokalne ustawienia pomiaru . Tutaj lokalne ustawienia pomiaru oznaczają, że operator $ma$ mierzony na każdej cząstce Powtarzając pomiar i zbierając wystarczającą ilość danych, można określić wszystkie korelacje dwupunktowe, trzypunktowe i wyższego rzędu.

Sprawne wyznaczanie stanu fizycznego

Do tej pory mówiliśmy, że liczba pomiarów skaluje się wielomianowo z liczbą kubitów .

Aby cała procedura tomograficzna była skalowalna, musimy przechowywać stan w komputerze w skalowalny sposób. $prosty$ sposób przechowywania $jest$ w macierzy gęstości Jednak jest macierzą o $przekątnej$

Ponadto dobrze wiadomo, że z powodu fluktuacji statystycznych i błędów systematycznych macierz gęstości otrzymana ze stanu zmierzonego przez inwersję liniową nie jest dodatnio półokreślona i ma pewne ujemne wartości własne. Ważnym krokiem w typowej tomografii jest dopasowanie fizycznej, tj. dodatniej półokreślonej macierzy gęstości do danych tomograficznych. Ten krok często stanowi wąskie gardło w całym procesie tomografii pełnego stanu. Jednak tomografia PI, jak właśnie omówiliśmy, pozwala na znacznie wydajniejsze przechowywanie macierzy gęstości, co pozwala również na wydajne dopasowanie za pomocą optymalizacji wypukłej . Dzięki temu cały proces jest skalowalny. Ponadto optymalizacja wypukła gwarantuje, że rozwiązanie jest optimum globalnym.

Charakterystyka metody

Tomografia PI jest powszechnie stosowana w eksperymentach obejmujących stany permutacyjnie niezmienne. Jeśli macierz gęstości $splątana$ za pomocą tomografii PI jest , $gęstości$ układu również jest splątana Z tego powodu zwykłe metody weryfikacji splątania, takie jak świadkowie splątania lub kryterium Peresa-Horodeckiego , można zastosować do ${\ displaystyle \ varrho _ {\ rm {PI}}}$ . Co ciekawe, detekcja splątania przeprowadzona w ten sposób nie zakłada, że ​​sam układ kwantowy jest permutacyjnie niezmienny.

${\ Displaystyle \ varrho _ {\ rm {PI}}.}$$więcej$ , wartość oczekiwana dowolnego operatora permutacyjnie niezmiennego jest taka sama dla i dla Bardzo odpowiednim przykładem takich operatorów są projektory do stanów symetrycznych, takich jak stan Greenbergera – Horne – Zeilingera , stan W i symetryczne stany Dicke'a. W ten sposób możemy otrzymać wierność w odniesieniu do wyżej wymienionych stanów kwantowych jako wartość oczekiwaną odpowiednich projektorów w stanie ${\ Displaystyle \ varho _ {\ rm {PI}}.}$

Linki do innych podejść

Istnieją inne podejścia do tomografii, które wymagają mniej pomiarów niż pełna tomografia stanu kwantowego. Jak już omówiliśmy, tomografia PI jest zazwyczaj najbardziej użyteczna w przypadku stanów kwantowych, które są bliskie niezmienniczości permucyjnej. Skompresowane wykrywanie jest szczególnie przydatne w stanach niskiego rzędu. Matrycowa tomografia stanu produktu jest najbardziej odpowiednia np. dla stanów klastrów i stanów podstawowych modeli spinowych. Permutacyjnie niezmienna tomografia może być połączona ze skompresowanym wykrywaniem . W takim przypadku liczba potrzebnych lokalnych ustawień pomiarowych może być nawet mniejsza niż w przypadku tomografii niezmiennej permutacyjnie.

Eksperymenty

Permutacyjnie niezmienna tomografia została przetestowana eksperymentalnie dla czterokubitowego symetrycznego stanu Dicke'a, a także dla sześciokubitowego symetrycznego Dicke'a w fotonach i została porównana z tomografią pełnego stanu i skompresowanym wykrywaniem . Symulacja tomografii niezmiennej permutacyjnie pokazuje, że rekonstrukcja dodatniej półokreślonej macierzy gęstości 20 kubitów ze zmierzonych danych jest możliwa w ciągu kilku minut na standardowym komputerze. Przetestowano również metodę hybrydową łączącą permutacyjnie niezmienną tomografię i skompresowane wykrywanie .