Połączenie Grothendiecka

W geometrii algebraicznej i syntetycznej geometrii różniczkowej połączenie Grothendiecka jest sposobem przeglądania połączeń w kategoriach danych pochodzenia z nieskończenie małych okolic przekątnej.

Wprowadzenie i motywacja

Połączenie Grothendiecka jest uogólnieniem połączenia Gaussa-Manina skonstruowanego w sposób analogiczny do tego, w którym połączenie Ehresmanna uogólnia połączenie Koszul . Sama konstrukcja musi spełniać wymóg niezmienniczości geometrycznej , który można uznać za odpowiednik kowariancji dla szerszej klasy struktur, w tym schematów geometrii algebraicznej. Zatem połączenie w pewnym sensie musi żyć w naturalnym snopku na topologii Grothendiecka . W tej sekcji omówimy, jak opisać połączenie Ehresmanna w kategoriach teorii snopów jako połączenie Grothendiecka.

Niech będzie rozmaitością i $surjektywnym$ , tak że $jest$ _ $_$ _ $}$$_$ Niech dżetów rzędu E ${\ displaystyle E.}$ Można to uznać za wiązkę na $całej$ lub wiązkę na całej przestrzeni ${\ Displaystyle E.}$ W przypadku tej drugiej interpretacji ${\ Displaystyle J ^ {1} (M, E) \ do E.}$ Ehresmanna jest sekcją pakietu (nad $($ Problem polega zatem na uzyskaniu wewnętrznego opisu snopka przekrojów tej wiązki wektorów.

Rozwiązaniem Grothendiecka jest rozważenie ukośnego osadzania ${\ Displaystyle \ Delta: M \ do M \ razy M.}$ Snop ideałów $\ Delta}$$Displaystyle$ w ${\ Displaystyle M \ razy M}$ się z funkcji na ${\ Displaystyle M \ razy M}$ , które znikają wzdłuż przekątnej. Wiele z nieskończenie małej geometrii ${\ displaystyle M}$ można zrealizować w kategoriach $}$$_$ I. Na przykład snopem Można zdefiniować $× M$ pierwszego rzędu M Δ $Delta}$${\ Displaystyle M \ razy M}$ być podschematem odpowiadającym snopowi ideałów ${\ Displaystyle I ^ {2}.}$ (Patrz opis współrzędnych poniżej).

Istnieje para rzutów ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}: M \ razy M \ do M}$ podanych przez rzutowanie odpowiednich czynników iloczynu kartezjańskiego, które ograniczmy do rzutów ${\ Displaystyle p_ {1}, p_ {2}: M ^ {(2)} \ do M.}$ Można teraz utworzyć wycofanie przestrzeni włókien ${\ displaystyle E}$ wzdłuż jednego lub drugiego z ${\ displaystyle p_ {1}}$ lub $\ Displaystyle p_ {2}$$.$$}$ kanonicznego sposobu ze sobą. Połączenie Grothendiecka to określony izomorfizm między tymi dwiema przestrzeniami. Można przystąpić do definiowania krzywizny i p-krzywizny połączenia w tym samym języku.

Zobacz też

• Połączenie (matematyka) – Funkcja, która mówi, jak zmienia się dana zmienna, gdy porusza się wzdłuż określonych punktów w przestrzeni

1. Osserman, B., „Połączenia, krzywizna i p-krzywizna”, przedruk .
2. Katz, N., „Połączenia nilpotentne i twierdzenie o monodromii”, IHES Publ. Matematyka 39 (1970) 175-232.