Pochodna Foxa

W matematyce pochodna Foxa jest konstrukcją algebraiczną w teorii grup wolnych , która ma wiele podobieństw do konwencjonalnej pochodnej rachunku różniczkowego . Pochodna Foxa i pokrewne koncepcje są często określane jako rachunek Foxa lub (oryginalny termin Foxa) rachunek różniczkowy swobodny . Pochodna Foxa została opracowana w serii pięciu artykułów matematyka Ralpha Foxa , opublikowanych w Annals of Mathematics począwszy od 1953 r.

Definicja

Jeśli G jest grupą swobodną z elementem tożsamości e i generatorami g _ja , to pochodna Foxa względem g _ja jest funkcją z G do całkowego pierścienia grupowego Z G , który jest oznaczony ${\ Displaystyle {\ frac { \partial }{\partial g_{i}}}}$ i przestrzega następujących aksjomatów :

$_$ _ ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$ to delta Kroneckera
${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy g_ {i}}} (e) = 0}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe g_ {i}}} (uv) = {\ frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)+u{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(v)} dla dowolnych$ elementów u i v z G .

Pierwsze dwa aksjomaty są identyczne z podobnymi własnościami pochodnej cząstkowej rachunku różniczkowego, a trzeci jest zmodyfikowaną wersją reguły iloczynu . W konsekwencji aksjomatów mamy następujący wzór na odwrotności

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy g_ {i}}} (u ^ {- 1}) = - u^{-1}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)}$ dla dowolnego elementu u z G .

Aplikacje

Pochodna Foxa ma zastosowanie między innymi w kohomologii grup , teorii węzłów i teorii przestrzeni obejmującej inne dziedziny matematyki.

Zobacz też

Brązowy, Kenneth S. (1972). Kohomologia grup . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 87. Springer Verlag . ISBN 0-387-90688-6 . MR 0672956 .
Fox, Ralph (maj 1953). „Rachunek różniczkowy swobodny, I: Wyprowadzenie w pierścieniu grupy swobodnej”. Roczniki matematyki . 57 (3): 547–560. doi : 10.2307/1969736 . JSTOR 1969736 . MR 0053938 .
Fox, Ralph (marzec 1954). „Rachunek różniczkowy swobodny, II: problem izomorfizmu grup”. Roczniki matematyki . 59 (2): 196–210. doi : 10.2307/1969686 . JSTOR 1969686 . MR 0062125 .
Fox, Ralph (listopad 1956). „Dowolny rachunek różniczkowy, III: podgrupy”. Roczniki matematyki . 64 (2): 407–419. doi : 10.2307/1969592 . JSTOR 1969592 . MR 0095876 .
Chen, Kuo-Tsai; Ralpha Foxa; Roger Lyndon (lipiec 1958). „Rachunek różniczkowy swobodny, IV: grupy ilorazowe dolnego szeregu środkowego”. Roczniki matematyki . 68 (1): 81–95. doi : 10.2307/1970044 . JSTOR 1970044 . MR 0102539 .
Fox, Ralph (maj 1960). „Dowolny rachunek różniczkowy, V: ponowne zbadanie macierzy Aleksandra”. Roczniki matematyki . 71 (3): 408–422. doi : 10.2307/1969936 . JSTOR 1969936 . MR 0111781 .