Pochodna Pincherle'a

W matematyce pochodna Pincherle'a operatora liniowego T $Displaystyle T$ $}$ $\ mathbb {K} [x] \ do \ mathbb {K}$ ] w $przestrzeni$ wektorowej wielomianów w zmiennej x nad polem komutatorem T. ${\ Displaystyle T}$ z mnożeniem przez x w algebrze endomorfizmów ${\ Displaystyle \ operatorname {Koniec} (\ mathbb {K} [x])}$ . Oznacza to, że ${\ Displaystyle T '}$ jest kolejnym operatorem liniowym ${\ Displaystyle T ': \ mathbb {K} [x] \ do \ mathbb {K} [x ]}$

{\ Displaystyle T ': = [T, x] = Tx-xT = - \ nazwa operatora {reklama} (x) T,\,}

(aby poznać pochodzenie notacji ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$ , zobacz artykuł na temat reprezentacji sprzężonej ), tak że

{\ Displaystyle T '\ {p (x) \} = T \ {xp (x) \} -xT \ {p (x) \} \ qquad \ forall p (x) \ w \ mathbb {K} [x ].}

Pojęcie to zostało nazwane na cześć włoskiego matematyka Salvatore Pincherle (1853–1936).

Nieruchomości

$Pochodna$ Pincherle'a, jak każdy komutator , jest pochodną , co oznacza, że spełnia reguły sum i iloczynów: biorąc pod uwagę dwa $operatory$ liniowe i ${\ displaystyle T}$ należące do $\ Displaystyle \ nazwa operatora {Koniec} \ lewo (\ mathbb {K} [x] \ prawo),}$

${\ Displaystyle (T + S) ^ {\ liczba pierwsza} = T ^ {\ liczba pierwsza} + S ^ {\ liczba pierwsza}}$ ;
${\ Displaystyle (TS) ^ {\ pierwsza} = T ^ {\ pierwsza} \! S + TS ^ {\ pierwsza}}$ gdzie $TS=T\circ S$ to złożenie operatorów .

$T$ ${\ Displaystyle [T, S] ^ {\ pierwsza} = [T ^ {\ pierwsza}, S] + [$ T gdzie ${\ Displaystyle [T, S] = TS-ST}$ zwykłym nawiasem Liego , który wynika z tożsamości Jacobiego .

Zwykła pochodna , D = d / dx , jest operatorem na wielomianach. Na podstawie prostych obliczeń jego pochodna Pincherle'a wynosi

{\ Displaystyle D' = \ lewo ({d \ ponad {dx}} \ prawej) '= \ operatorname {Id} _ {\ mathbb { K} [x]}=1.}

Ta formuła uogólnia do

{\ Displaystyle (D ^ {n}) '= \ lewo ({{d ^ {n}} \ ponad {dx ^ { n}}}\right)'=nD^{n-1},}

przez indukcję . Dowodzi to, że pochodna Pincherle'a operatora różniczkowego

{\ Displaystyle \ częściowe = \ suma a_ {n} {{d ^ {n}} \ ponad {dx ^ {n}}} = \ suma a_ {n}D^{n}}

jest również operatorem różniczkowym, tak że pochodna Pincherle'a jest pochodną ${\ Displaystyle \ operatorname { Diff} (\ mathbb {K} [x])}$ .

Gdy ma charakterystyczne $zero$ operator przesunięcia

{\ Displaystyle S_ {h} (f) (x) = f (x + h) \,}

można zapisać jako

{\ Displaystyle S_ {h} = \ suma _ {n \ geq 0} {{h ^ {n}} \ ponad {n!}} D ^ {n}}

według wzoru Taylora . Jego pochodna Pincherle'a jest wtedy

{\ Displaystyle S_ {h} '= \ suma _ {n \ geq 1} {{h ^ {n}} \ ponad {(n-1)!}} D ^ {n-1} = h \ cdot S_ { H}.}

Innymi słowy, operatory przesunięcia są $skalarów$ własnymi pochodnej Pincherle'a, której widmo jest całą przestrzenią .

Jeśli T jest odpowiednikiem przesunięcia , to znaczy, jeśli T dojeżdża z S _h lub ${\ Displaystyle [T, S_ {h}] = 0}$ , to mamy również $}] = 0}$ $' ,$ $h$ , tak że jest również równoważny z przesunięciem i dla tego .