Pochodna malliawiny

W matematyce pochodna Malliavina jest pojęciem pochodnej w rachunku Malliavina . Intuicyjnie jest to pojęcie pochodnej właściwe dla ścieżek w klasycznej przestrzeni Wienera , które „zwykle” nie są różniczkowalne w zwykłym sensie.

Definicja

Niech będzie przestrzenią Camerona-Martina i oznacza klasyczną przestrzeń Wienera $\ displaystyle H$ H. $}$

${\ Displaystyle H: = \ {f \ w W ^ {1,2} ([0, T]; \ mathbb {R} ^ {n})\;|\;f(0)=0\}:=\{{\text{ścieżki zaczynające się od 0 z pierwszą pochodną w }}L^{2}\}}$ ;

${\ Displaystyle C_ {0}: = C_ {0} ([0, T]; \ mathbb {R} ^ {n}): = \ {{\ tekst {ciągłe ścieżki zaczynające się od 0}} \};}$

Zgodnie z twierdzeniem Sobolewa o osadzeniu , ${\ Displaystyle H \ podzbiór C_ {0}}$ . Pozwalać

${\ Displaystyle i: H \ do C_ {0}}$

oznaczyć mapę inkluzji .

Załóżmy $_$ że _ _ Wtedy pochodna Frécheta jest mapą

${\ Displaystyle \ operatorname {D} F: C_ {0} \ do \ operatorname {Lin} (C_ {0}; \ mathbb {R});}$

tj. dla ścieżek $C_ {0} ^ {*}}$$\ sigma) \;$ ) $\$$Displaystyle$ { , podwójna przestrzeń do ${\ displaystyle C_ {0} \;}$ . Oznacz przez ciągłą mapę liniową ${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {H} F (\ sigma$ ${\ Displaystyle H \ do \ mathbb {R}}$ zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {H} F (\ sigma): = \ operatorname {D} fa (\ sigma) \ circ i:H\to \mathbb {R} ,}$

czasami nazywana pochodną H. Teraz zdefiniuj ${\ Displaystyle \ nabla _ {H} F: C_ {0} \ do H}$ jako sprzężone z ${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {H} F \ ;}$ w tym sensie

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ lewo (\ częściowe _ {t} \ nabla _ {H} F (\ sigma) \ prawej) \ cdot \ częściowe _ {t} h: = \ langle \ nabla _{H}F(\sigma ),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(\sigma )(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(\sigma + ti(h))-F(\sigma)}{t}}.}$

Następnie pochodna Malliavina jest zdefiniowana przez ${\ displaystyle \ operatorname {D} _ {t}}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ operatorname {D} _ {t} F \ prawej) (\ sigma): = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo (\ lewo (\ nabla _ {H} F\prawo)(\sigma )\prawo).}$

Dziedziną jest zbiór $displaystyle$$funkcji$ rzeczywistych Frécheta na do $C_ {0} \; }$ \ ; koddomena to ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0, T]; \ mathbb {R} ^ {n})$ } .

Całka Skorochoda jest zdefiniowana jako sprzężenie pochodnej Malliavina: ${\ displaystyle \ delta \;}$

${\ Displaystyle \ delta: = \ lewo (\ operatorname {D} _ {t} \ prawo) ^ {*}: \ operatorname {obraz} \ lewo (\ operatorname {D} _ {t} \ prawej) \ subseteq L ^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\do \mathbf {F} ^{*}=\mathrm {Lin} (\mathbf {F} ;\mathbb {R} ).}$

Zobacz też

• H-pochodna