Podgrupa podstawowa

W algebrze abstrakcyjnej podgrupa podstawowa to podgrupa grupy abelowej , która jest bezpośrednią sumą podgrup cyklicznych i spełnia dalsze warunki techniczne. Pojęcie to zostało wprowadzone przez L. Ya. Kulikova (dla grup p ) i László Fuchsa (ogólnie) w próbie sformułowania teorii klasyfikacji nieskończonych grup abelowych, która wykracza poza twierdzenia Prüfera . Pomaga sprowadzić problem klasyfikacji do klasyfikacji możliwych rozszerzeń między dwiema dobrze poznanymi klasami grup abelowych: bezpośrednimi sumami grup cyklicznych i grupami podzielnymi .

Definicja i właściwości

Podgrupa , $B$ , grupy abelowej , $A$ , jest nazywana p -podstawową dla ustalonej liczby pierwszej , $p$ , jeśli spełnione są następujące warunki:

$B$ jest bezpośrednią sumą grup cyklicznych rzędu $p n$ i nieskończonych grup cyklicznych;
$B$ jest p- czystą podgrupą $A$ ; _
Grupa ilorazowa $A / B$ jest grupą p - podzielną .

Warunki 1–3 implikują, że podgrupa $B$ jest Hausdorffem w p -adycznej topologii $B$ , która ponadto pokrywa się z topologią indukowaną z $A$ , oraz że $B$ jest gęsta w $A$ . Wybranie generatora w każdej cyklicznej bezpośredniej sumie B tworzy podstawę p B $,$ która jest analogiczna do bazy przestrzeni wektorowej lub wolnej grupy abelowej .

Każda grupa abelowa $A$ zawiera p -podstawowe podgrupy dla każdego $p$ , a dowolne 2 p -podstawowe podgrupy $A$ są izomorficzne. Grupy abelowe zawierające unikalną p -zasadową zostały w pełni scharakteryzowane. W przypadku grup p są one albo podzielne , albo ograniczone ; tj. mają ograniczony wykładnik. Ogólnie klasa izomorfizmu ilorazu $A / B$ przez podstawową podgrupę $B$ może zależeć od $B$ .

Uogólnienie na moduły

Pojęcie p -podstawowej podgrupy w abelowej grupie p dopuszcza bezpośrednie uogólnienie na moduły w głównej dziedzinie idealnej . Istnienie takiego podstawowego submodułu i wyjątkowość jego typu izomorfizmu nadal się utrzymują. ^{[ potrzebne źródło ]}

László Fuchs (1970), Nieskończone grupy abelowe, tom. ja . Matematyka czysta i stosowana, tom. 36. Nowy Jork – Londyn: Academic Press MR 0255673
L. Tak. Kulikov, O teorii grup abelowych o dowolnej liczności (po rosyjsku), Mat. Sb., 16 (1945), 129–162
Kurosh, AG (1960), Teoria grup , Nowy Jork: Chelsea, MR 0109842