Polaryzacja trójliniowa

W geometrii euklidesowej biegunowość trójliniowa to pewna zgodność między punktami na płaszczyźnie trójkąta nieleżącymi na bokach trójkąta a liniami na płaszczyźnie trójkąta nieprzechodzącymi przez wierzchołki trójkąta . „Chociaż nazywa się to biegunowością, tak naprawdę wcale nie jest to biegunowość, ponieważ bieguny współbieżnych linii nie są punktami współliniowymi ”. Był to Jean-Victor Poncelet (1788-1867), francuski inżynier i matematyk, który w 1865 roku przedstawił ideę bieguna trójliniowego punktu.

Definicje

Konstrukcja bieguna trójliniowego punktu P

  Dany trójkąt △ ABC

   Trójkąt Cewiański △ DEF z △ ABC z P

   Linie Cevian , które przecinają się w P

  Skonstruowana trójliniowa biegunowa (linia XYZ )

Niech △ ABC będzie trójkątem płaskim i niech P będzie dowolnym punktem płaszczyzny trójkąta, który nie leży na bokach trójkąta. Krótko mówiąc, trójliniowy biegun P jest osią perspektywy trójkąta Cewiusza P i trójkąta △ ABC .

Szczegółowo, niech proste AP, BP, CP przecinają się z liniami bocznymi BC, CA, AB odpowiednio w punktach D, E, F. Trójkąt △ DEF jest trójkątem cewiuszowym P w odniesieniu do trójkąta △ ABC . Niech pary linii ( BC, EF ), ( CA, FD ), ( DE, AB ) przecinają się odpowiednio w punktach X, Y, Z. Zgodnie z twierdzeniem Desarguesa punkty X, Y, Z są współliniowe . Linia współliniowości jest osią perspektywy trójkąta △ ABC i trójkąta △ DEF . Linia XYZ jest trójliniową biegunową punktu P .

Punkty X, Y, Z można również otrzymać jako koniugaty harmoniczne D, E, F w odniesieniu do par punktów odpowiednio ( B, C ), ( C, A ), ( A, B ) . Poncelet wykorzystał ten pomysł do zdefiniowania pojęcia biegunów trójliniowych.

Jeśli prosta L jest trójliniową biegunową punktu P względem trójkąta odniesienia △ ABC , to P nazywa się trójliniowym biegunem prostej L względem trójkąta odniesienia △ ABC .

Równanie trójliniowe

Niech trójliniowe współrzędne punktu P będą p : q : r . Wtedy trójliniowe równanie trójliniowego bieguna P jest

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {p}} + {\ Frac {y} {q}} + {\ Frac {z} {r}} = 0.}$

Budowa bieguna trójliniowego

Konstrukcja trójliniowego bieguna prostej XYZ

  Biorąc pod uwagę biegunową trójliniową (linia XYZ )

  Dany trójkąt △ ABC

   Trójkąt Ceviana △ UVW z △ ABC z XYZ

   Ceviana , które przecinają się na trójliniowym biegunie P

Niech prosta L przecina boki BC, CA, AB trójkąta △ ABC odpowiednio w punktach X, Y, Z. Niech pary linii ( BY, CZ ), ( CZ, AX ), ( AX, BY ) spotkają się w punktach U, V, W . Trójkąty △ ABC i △ UVW są w perspektywie i niech P będzie środkiem perspektywy . P jest trójliniowym biegunem linii L .

Niektóre bieguny trójliniowe

Niektóre z trójliniowych biegunów są dobrze znane.

• Trójliniowy biegun środka ciężkości trójkąta △ ABC jest linią w nieskończoności .
• Biegun trójliniowy punktu symmediany to oś Lemoine'a trójkąta △ ABC .
• Trójliniowy biegun ortocentrum jest osią ortogonalną .
• Bieguny trójliniowe nie są zdefiniowane dla punktów pokrywających się z wierzchołkami trójkąta △ ABC .

Słupy ołówków linii

Animacja ilustrująca fakt, że miejsce geometryczne trójliniowych biegunów ołówka linii przechodzących przez stały punkt K jest okręgiem okręgu trójkąta odniesienia.

Niech P o współrzędnych trójliniowych X : Y : Z będzie biegunem prostej przechodzącej przez stały punkt K o współrzędnych trójliniowych ₀₀ x : y : z ₀ . Równanie linii jest

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {X}} + {\ Frac {y} {Y}} + {\ Frac {z} {Z}} = 0.}$

Ponieważ to przechodzi przez K ,

${\ Displaystyle {\ Frac {x_ {0}} {X}} + {\ Frac {y_ {0}} {Y}} + {\ Frac {z_ {0} }{Z}}=0.}$

Zatem locus P jest

${\ Displaystyle {\ Frac {x_ {0}} {x}} + {\ Frac {y_ {0}} {y}} + {\ Frac {z_ {0} }{z}}=0.}$

To jest obwódka trójkąta odniesienia △ ABC . Tak więc miejscem biegunów ołówka linii przechodzących przez stały punkt K jest okołostożkowy E trójkąta odniesienia.

Można pokazać, że K jest perspektywą E , a mianowicie, gdzie △ ABC i trójkąt biegunowy względem E są perspektywami. Trójkąt biegunowy jest ograniczony stycznymi do E w wierzchołkach △ ABC . Na przykład biegun trójliniowy punktu na okręgu opisanym musi przechodzić przez jego perspektywę, punkt symmediański X (6).

Linki zewnętrzne

• Strona Geometrikon: Bieguny trójliniowe
• Strona Geometrikon: Koniugat izotomiczny linii