Poprzeczny Mercator: seria Redfearn

Artykuł Projekcja poprzeczna Mercatora ogranicza się do ogólnych cech projekcji. Ten artykuł opisuje szczegółowo jedną z (dwóch) implementacji opracowanych przez Louisa Krügera w 1912 roku; wyrażone jako szereg potęgowy w różnicy długości geograficznej od południka środkowego. Szeregi te zostały ponownie obliczone przez Lee w 1946 r., przez Redfearna w 1948 r. i przez Thomasa w 1952 r. Są one często określane jako serie Redfearn lub serie Thomasa. Ta implementacja ma ogromne znaczenie, ponieważ jest szeroko stosowana w układzie współrzędnych płaszczyzny stanu USA, w krajowych (Wielka Brytania, Irlandia i wiele innych), a także międzynarodowych systemach mapowania, w tym w układzie współrzędnych Universal Transverse Mercator (UTM). Są one również włączone do konwertera współrzędnych Geotrans udostępnianego przez Narodową Agencję Wywiadu Geoprzestrzennego Stanów Zjednoczonych. W połączeniu z odpowiednim geodezyjnym układem odniesienia , seria zapewnia wysoką dokładność w strefach mniejszych niż kilka stopni w zakresie wschód-zachód.

Wstępy I: parametry odniesienia i elipsoidy

Serie muszą być używane z geodezyjnym układem odniesienia , który określa położenie, orientację i kształt elipsoidy odniesienia . Chociaż wzory projekcji zależą tylko od parametrów kształtu elipsoidy odniesienia, pełny zestaw parametrów odniesienia jest niezbędny do powiązania współrzędnych projekcji z rzeczywistymi pozycjami w przestrzeni trójwymiarowej. Układy odniesienia i elipsoidy odniesienia związane z poszczególnymi implementacjami formuł Redfearna są wymienione poniżej . Obszerna lista ważnych elipsoid jest podana w artykule na temat Figury Ziemi .

Przy określaniu $małą$ normalne jest podawanie półosi wielkiej $wraz$ oś równikowa ) z spłaszczeniem lub ( oś biegunowa), a czasem jedno i $drugie$$poniżej$ serie wykorzystują zamiast $.$ Ponadto używają parametrów $n}$ \ $trzecim$ , zwany spłaszczeniem i mimośrodem . Istnieją tylko dwa niezależne parametry kształtu i istnieje między nimi wiele relacji: w szczególności

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f & = {\ Frac {ab} {a}}, \ qquad e ^ {2} = 2f-f ^ {2}, \ qquad e' ^ {2} = {\ frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\\b&=a(1-f)=a(1-e^{2})^{1/2},\qquad n={ \frac {ab}{a+b}}.\end{wyrównane}}}$

Wzory projekcji obejmują również promień $krzywizny$ południka (na szerokości $Displaystyle$ i $( \phi )}$ \ , promień krzywizny w głównym pionie . (Główna pionowa to pionowa płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny południka w punkcie na elipsoidzie). Promienie krzywizny definiuje się w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ nu (\ phi) = {\ Frac {a} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi}}}, \ qquad \ rho (\ phi) = {\ frac {\nu ^{3}(1-e^{2})}{a^{2}}}.}$

$eta (\ phi)$ funkcje i są jako: $\$

${\ Displaystyle \ beta (\ fi) = {\ Frac {\ nu (\ fi)} {\ rho (\ fi)}}, \ qquad \ eta ^ {2} = \ beta -1 = {e' ^ { 2}\cos ^{2}\!\fi}.}$

Dla zwartości normalne jest wprowadzenie następujących skrótów:

${\ Displaystyle s = \ sin \ fi, \ qquad c = \ cos \ fi, \ qquad t = \ tan \ fi.}$

Eliminacje II: odległość południkowa

Odległość południkowa

Artykuł na temat $opisuje$ południka kilka metod obliczania $używane$ odległości od równika do punktu na szerokości geograficznej wyrażenia podane poniżej w faktycznej realizacji projekcji Transverse Mercator przez OSGB. Błąd obcięcia jest mniejszy niż 0,1 mm, więc seria jest z pewnością dokładna z dokładnością do 1 mm, czyli tolerancji projektowej implementacji OSGB.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} m (\ phi) & = B_ {0 }\phi +B_{2}\sin 2\phi +B_{4}\sin 4\phi +B_{6}\sin 6\phi +\cdots ,\end{wyrównane}}}$

gdzie współczynniki są podane na zamówienie (kolejność mi $\ displaystyle e ^ {6}}$ ) przez ${\ displaystyle n ^ {3}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} B_ {0} & = b {\ bigg (} 1 + n + {\ Frac {5} {4}} n ^ {2} + {\ Frac {5} {4}} n^{3}{\bigg )},\qquad B_{4}=b{\bigg (}{\frac {15}{16}}n^{2}+{\frac {15}{16}} n^{3}{\bigg )},\\B_{2}&=-b{\bigg (}{\frac {3}{2}}n+{\frac {3}{2}}n^{ 2}+{\frac {21}{16}}n^{3}{\bigg )},\qquad B_{6}=-b{\bigg (}{\frac {35}{48}}n^ {3}{\bigg )}.\end{wyrównane}}}$

Odległość południka od równika do bieguna wynosi

${\ Displaystyle m_ {p} = m (\ pi / 2) = \ pi B_ {0}/2 \,.}$

Postać szeregu określona dla UTM jest wariantem powyższych, wykazującym wyrazy wyższego rzędu z błędem obcięcia 0,03 mm.

Odwrotna odległość południka

Ani implementacje OSGB, ani UTM nie definiują szeregów odwrotnych dla odległości południka; zamiast tego używają schematu iteracyjnego. Dla danej odległości południka najpierw ustaw, $\$ następnie wykonaj iterację za $}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ phi _ {n} = \ phi _ {n- 1}+{\frac {Mm(\phi _{n-1})}{B_{0}}},\qquad n=1,2,3,\ldots \end{wyrównane}}}$

do ${\ Displaystyle | Mm (\ fi _ {n-1}) | <0,01}$ mm.

Inwersję można przeprowadzić za pomocą szeregu, przedstawionego tutaj do późniejszego wykorzystania. Dla danej odległości południka określ szerokość geograficzną prostowania przez ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {\ pi M} {2m_ {p}}}.}$

Geodezyjna szerokość geograficzna odpowiadająca to (Snyder strona 17): ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ phi & = \ mu + D_{2}\sin 2\mu +D_{4}\sin 4\mu +D_{6}\sin 6\mu +D_{8}\sin 8\mu +\cdots ,\\\end{wyrównane} }}$

gdzie do ${\ Displaystyle O (n ^ {4})}$ ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} D_ {2} & = {\ Frac {3} {2}} n - {\ Frac {27} {32}} n ^ {3}, & D_ {4} & = { \frac {21}{16}}n^{2}-{\frac {55}{32}}n^{4},\\[8pt]D_{6}&={\frac {151}{96 }}n^{3},&D_{8}&={\frac {1097}{512}}n^{4}.\end{wyrównane}}}$

Zarys metody

Normalny aspekt rzutu Mercatora na kulę o promieniu jest opisany równaniami ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle x = R \ lambda, \ qquad \ qquad y = R \ psi,}$

gdzie izometryczna szerokość geograficzna jest dana przez ${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi & = \ ln \ lewo [\ tan \ lewo ({\ Frac {\ pi} {4}} + {\ Frac {\ fi} {2}} \ prawo) \ w prawo].\end{wyrównane}}}$

Na elipsoidzie staje się izometryczna szerokość geograficzna

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi & = \ ln \ lewo [\ tan \ lewo ({\ Frac {\ pi} {4}} + {\ Frac {\ fi} {2}} \ prawo) \ w prawo]-{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1+e\sin \phi }{1-e\sin \phi }}\right].\end{wyrównane}} }$

Z $)$ rzut ze współrzędnych geodezyjnych ( $na$$jest$ współrzędne ( $,$ zgodny Jeśli współrzędne ( $są$ używane do zdefiniowania punktu $Displaystyle \ zeta = \ psi + i \ lambda$$\$ na płaszczyźnie zespolonej, to każda funkcja analityczna zdefiniuje inną konforemną projekcję ${\ displaystyle f (\ zeta)} .$ Metoda Krugera polega na poszukiwaniu określonego $f ($ który generuje jednolitą skalę wzdłuż centralnego południka, $zeta)}$ . Osiągnął to, badając przybliżenie szeregu Taylora ze współrzędnymi projekcji podanymi przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y + ix & = f (\ zeta) = f (\ psi + i \ lambda) \\& = f (\ psi + i.0) + A_ {1} \ lambda + A_ {2}\lambda ^{2}+A_{3}\lambda ^{3}+\ldots ,\end{wyrównane}}}$

$Displaystyle m (\ phi$ część rzeczywista ${$ do funkcji odległości południka m (Złożone) współczynniki $}$ od pochodnych , $)}$ można sprowadzić do pochodnych ${\ Displaystyle m (\ phi) ZA n$$A_ {n$ w odniesieniu do , (nie $)$$\ displaystyle \ phi}$ . Pochodne są $\ psi}$ zasadzie łatwe do oszacowania, ale wyrażenia stają się bardzo skomplikowane przy wyższych rzędach z powodu skomplikowanej relacji między i ψ $displaystyle$ . Rozdzielenie części rzeczywistych i urojonych daje szereg dla i $displaystyle$$y}$ , a dalsze pochodne dają skalę i współczynniki zbieżności.

Seria w szczegółach

Ta sekcja przedstawia serię ósmego rzędu opublikowaną przez Redfearn (ale z $} styl wyświetlania \omega }$ i $displaystyle$$y}$ i różnicą długości geograficznej od południka środkowego oznaczoną zamiast $lambda$ ). Równoważne serie ósmego rzędu, z różnymi zapisami, można znaleźć w Snyder (strony 60–64) oraz na wielu stronach internetowych, takich jak Ordnance Survey of Great Britain.

środkowego , wyrażonej w radianach: $.$ są opracowywane na podstawie Projekcja jest zwykle ograniczona do wąskich stref (w długości geograficznej), tak że oba parametry rozszerzania są zwykle mniejsze niż około 0,1, co gwarantuje szybką zbieżność . Na przykład w każdej UTM te parametry ekspansji są mniejsze niż 0,053, a dla brytyjskiej sieci krajowej ( NGGB ) są mniejsze niż 0,09. Wszystkie bezpośrednie serie dawania ${\ Displaystyle x}$ , ${\ Displaystyle y}$ , skala $k}$$Displaystyle$ , zbieżność funkcje zarówno szerokości, jak i długości geograficznej oraz parametry elipsoidy: wszystkie szeregi odwrotne dają ${ \ Displaystyle \ phi}$ , ${\ Displaystyle \ lambda}$ , ${\ Displaystyle k}$ , ${\ Displaystyle \ gamma}$ są funkcjami zarówno ${\ Displaystyle x},$ jak i ${\ displaystyle y}$ i parametry elipsoidy.

Seria bezpośrednia

W następującym szeregu $jest$ różnica długości geograficznej dowolnego punktu i długości geograficznej wybranego południka środkowego: $w$ i jest dodatnia na wschód od południka środkowego. Współczynniki W $poniżej$ funkcjami wymienionymi . Szereg dla $λ$ się do wyskalowanej odległości południka, gdy $\ displaystyle \ lambda = 0}$ .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x (\ lambda, \ phi) & = k_ {0} \ nu \ lewo [\ lambda c + {\ Frac {\ lambda ^ {3} c ^ {3} W_ {3} }{3!}}+{\frac {\lambda ^{5}c^{5}W_{5}}{5!}}+{\frac {\lambda ^{7}c^{7}W_{ 7}}{7!}}\right],\\[1ex]y(\lambda ,\phi )&=k_{0}\left[m(\phi )+{\frac {\lambda ^{2} \nu c^{2}t}{2}}+{\frac {\lambda ^{4}\nu c^{4}tW_{4}}{4!}}+{\frac {\lambda ^{ 6}\nu c^{6}tW_{6}}{6!}}+{\frac {\lambda ^{8}\nu c^{8}tW_{8}}{8!}}\right] ,\koniec {wyrównane}}}$

Szeregi odwrotne

Szeregi odwrotne obejmują kolejną konstrukcję: szerokość geograficzną punktu stopy . Biorąc pod uwagę punkt na rzucie, punkt stopy $0, y$$)$ , . Ponieważ skala na środkowym południku wynosi ${\ displaystyle k_ {0}}$ odległość południka od równika do stopy jest równa ${\ displaystyle m = y / k_ {0}}$ . Odpowiednia szerokość geograficzna punktu stopy $iterację$ lub odwrotny szereg odległości południka, jak opisano

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mu & = {\ Frac {\ pi y} {2m_ {p} k_ {0}}}, \\\ phi _ {1} & = \ mu + D_ {2} \sin 2\mu +D_{4}\sin 4\mu +D_{6}\sin 6\mu +D_{8}\sin 8\mu +\cdots ,\\\end{wyrównane}}}$

Oznaczając funkcje oceniane w indeksie dolnym „1”, szeregi odwrotne to: ${\ displaystyle \ phi _ {1}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lambda (x, y) & = {\ Frac {x} {c_ {1} (k_ {0} \ nu _ {1})}} - {\ Frac {x ^ {3}V_{3}}{3!c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{3}}}-{\frac {x^{5}V_{5}}{5 !c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{5}}}-{\frac {x^{7}V_{7}}{7!c_{1}(k_{0} \nu _{1})^{7}}},\\\phi (x,y)&=\phi _{1}-{\frac {x^{2}\beta _{1}t_{1 }}{2(k_{0}\nu _{1})^{2}}}-{\frac {x^{4}\beta _{1}t_{1}U_{4}}{4! (k_{0}\nu _{1})^{4}}}-{\frac {x^{6}\beta _{1}t_{1}U_{6}}{6!(k_{0 }\nu _{1})^{6}}}-{\frac {x^{8}\beta _{1}t_{1}U_{8}}{8!(k_{0}\nu _ {1})^{8}}}.\end{wyrównane}}}$

Skala punktowa i zbieżność

Skala punktowa $kierunku$ dla transformacji konforemnej. Można go obliczyć pod względem współrzędnych geograficznych lub projekcji. Zauważ, że szereg dla zmniejsza się do ${\ displaystyle$$k_ {0}}$ , gdy albo ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ x $\ displaystyle x = 0}$ . Zbieżność można również obliczyć (w radianach) na podstawie współrzędnych geograficznych lub projekcji: ${\ displaystyle \ gamma }$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} k (\ lambda, \ phi) & = k_ {0} \ lewo [1 + {\ Frac {\ lambda ^ {2} c ^ {2} H_ {2}} {2} }}+{\frac {\lambda ^{4}c^{4}H_{4}}{24}}+{\frac {\lambda ^{6}c^{6}H_{6}}{720 }}\right],\\\gamma (\lambda ,\phi )&=\lambda s+{\frac {\lambda ^{3}c^{3}tH_{3}}{3}}+{\frac {\lambda ^{5}c^{5}tH_{5}}{15}}+{\frac {\lambda ^{7}c^{7}tH_{7}}{315}},\\k (x,y)&=k_{0}\left[1+{\frac {x^{2}K_{2}}{2(k_{0}\nu _{1})^{2}}} +{\frac {x^{4}K_{4}}{24(k_{0}\nu _{1})^{4}}}+{\frac {x^{6}K_{6}} {720(k_{0}\nu _{1})^{6}}}\right]\\\gamma (x,y)&={\frac {xt_{1}}{k_{0}\nu _{1}}}+{\frac {x^{3}t_{1}K_{3}}{3(k_{0}\nu _{1})^{3}}}+{\frac { x^{5}t_{1}K_{5}}{15(k_{0}\nu _{1})^{5}}}+{\frac {x^{7}t_{1}K_{ 7}}{315(k_{0}\nu _{1})^{7}}}.\end{wyrównane}}}$

Współczynniki dla wszystkich szeregów

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} W_ {3} & = \ beta -t ^ {2} \\ W_ {5} i = 4 \ beta ^ {3} (1-6t ^ {2}) + \ beta ^{2}(1+8t^{2})-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{7}&=61-479t^{2}+179t^{4}- t^{6}+O(e^{2})\\W_{4}&=4\beta ^{2}+\beta -t^{2}\\W_{6}&=8\beta ^ {4}(11{-}24t^{2})-28\beta ^{3}(1{-}6t^{2})+\beta ^{2}(1{-}32t^{2} )-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{8}&=1385-3111t^{2}+543t^{4}-t^{6}+O(e^{2 })\\V_{3}&=\beta_{1}+2t_{1}^{2}\\V_{5}&=4\beta_{1}^{3}(1-6t_{1 }^{2})-\beta_{1}^{2}(9-68t_{1}^{2})-72\beta_{1}t_{1}^{2}-24t_{1} ^{4}\\V_{7}&=61+662t_{1}^{2}+1320t_{1}^{4}+720t_{1}^{6}\\U_{4}&=4\ beta _{1}^{2}-9\beta_{1}(1-t_{1}^{2})-12t_{1}^{2}\\U_{6}&=8\beta _ {1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-12\beta_{1}^{3}(21-71t_{1}^{2})+15\beta_{1 }^{2}(15-98t_{1}^{2}+15t_{1}^{4})\\&\qquad \qquad +180\beta_{1}(5t_{1}^{2} -3t_{1}^{4})+360t_{1}^{4}\\U_{8}&=-1385-3633t_{1}^{2}-4095t_{1}^{4}-1575t_{ 1}^{6}\\H_{2}&=\beta \\H_{4}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+ 24t^{2})-4\beta t^{2}\\H_{6}&=61-148t^{2}+16t^{4}\\H_{3}&=2\beta^{2 }-\beta \\H_{5}&=\beta ^{4}(11-24t^{2})-\beta ^{3}(11-36t^{2})+\beta ^{2} (2-14t^{2})+\beta t^{2}\\H_{7}&=17-26t^{2}+2t^{4}\\K_{2}&=\beta _{ 1}\\K_{4}&=4\beta_{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-3\beta_{1}^{2}(1-16t_{ 1}^{2})-24\beta _{1}t_{1}^{2}\\K_{6}&=1\\K_{3}&=2\beta _{1}^{2 }-3\beta_{1}-t_{1}^{2}\\K_{5}&=\beta_{1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-3 \beta _{1}^{3}(8-23t_{1}^{2})+5\beta_{1}^{2}(3-14t_{1}^{2})+30\beta _{1}t_{1}^{2}+3t_{1}^{4}\\K_{7}&=-17-77t_{1}^{2}-105t_{1}^{4}- 45t_{1}^{6}\end{wyrównane}}}$

Dokładność serii

Dokładne rozwiązanie Lee-Thompsona, zaimplementowane przez Karneya (2011), ma dużą wartość w ocenie dokładności okrojonego szeregu Redfearna. Potwierdza to, że błąd obcięcia serii Redfearn (ósmego rzędu) jest mniejszy niż 1 mm na zewnątrz do różnicy długości geograficznej wynoszącej 3 stopnie, co odpowiada odległości 334 km od środkowego południka na równiku, ale zaledwie 35 km na północy granica strefy UTM.

Seria Redfearn staje się znacznie gorsza w miarę rozszerzania się strefy. Karney omawia Grenlandię jako pouczający przykład. Środek tego długiego i cienkiego lądu znajduje się na 42 W, aw najszerszym miejscu znajduje się nie dalej niż 750 km od tego południka, podczas gdy rozpiętość długości geograficznej sięga prawie 50 stopni. Seria Redfearn osiąga maksymalny błąd 1 kilometra .

Implementacje

Implementacje podane poniżej są przykładami wykorzystania serii Redfearn. Dokumenty definiujące w różnych krajach różnią się nieco zapisem i, co ważniejsze, zaniedbaniem niektórych małych terminów. Analiza małych terminów zależy od zakresów szerokości i długości geograficznej w różnych siatkach. Istnieją również niewielkie różnice we wzorach stosowanych na odległość południka: czasami do powyższego wzoru dodaje się jeden dodatkowy składnik, ale taki składnik jest mniejszy niż 0,1 mm.

OSGB

Implementacja poprzecznego odwzorowania Mercatora w Wielkiej Brytanii jest w pełni opisana w dokumencie OSGB Przewodnik po układach współrzędnych w Wielkiej Brytanii , Załączniki A.1, A.2 i C.

układ odniesienia: OSGB36

elipsoida: Airy 1830

oś główna: 6 377 563,396

oś pomocnicza: 6 356 256,909

długość geograficzna południka środkowego: 2°W

współczynnik skali południka środkowego: 0,9996012717

początek odwzorowania: 2°W i 0°N

początek siatki rzeczywistej: 2°W i 49°N

fałszywa współrzędna wschodnia rzeczywistego początku siatki, E0 (metry): 400 000

fałszywa współrzędna północna rzeczywistego początku siatki, N0 (metry): -100 000

E = E0 + x = 400000 + x

N = N0 + y -k0*m(49 °)= y - 5527063

Zasięg siatki wynosi 300 km na wschód i 400 km na zachód od południka środkowego i 1300 km na północ od fałszywego pochodzenia (OSGB sekcja 7.1), ale z wyłączeniem części Irlandii Północnej, Irlandii i Francji. Odniesienie do siatki jest oznaczone parą (E,N), gdzie E mieści się w zakresie od nieco powyżej zera do 800000m, a N w zakresie od zera do 1300000m. Aby zmniejszyć liczbę cyfr potrzebnych do podania odniesienia do siatki, siatka jest podzielona na 100-kilometrowe kwadraty, z których każdy ma dwuliterowy kod. Pozycje National Grid mogą być podane za pomocą tego kodu, po którym następuje współrzędna wschodnia i północna zarówno w zakresie 0, jak i 99999m.

Formuły projekcji różnią się nieco od przedstawionych tutaj formuł Redfearn. Zostały $jedynym$ uproszczone przez zaniedbanie większości wyrazów siódmego i ósmego rzędu w $wyraz$ : siódmego rzędu w szeregu dla $\ displaystyle \ lambda} lambda}$ pod względem ${\ displaystyle x/a$ . To uproszczenie opiera się na badaniu terminów Redfearn na podstawie rzeczywistych zasięg siatki. Jedyne inne $,$ to (a) absorpcja centralnego współczynnika skali w promieniach krzywizny i odległości południka (b) zastąpienie $($ parametrem zdefiniowane powyżej ).

Podręcznik OSGB zawiera omówienie przekształceń Helmerta , które są wymagane do połączenia współrzędnych geodezyjnych na elipsoidzie Airy 1830 i na WGS84.

UTM

Artykuł na temat projekcji Universal Transverse Mercator zawiera ogólny przegląd, ale pełna specyfikacja jest zdefiniowana w instrukcjach technicznych US Defense Mapping Agency TM8358.1 i TM8358.2. Ta sekcja zawiera szczegółowe informacje dotyczące strefy 30 jako kolejnego przykładu formuł Redfearn (zwykle nazywanych formułami Thomasa w Stanach Zjednoczonych).

elipsoida: International 1924 (aka Hayford 1909)

oś główna: 6 378 388,000

oś podrzędna: 6 356 911,946

długość geograficzna południka środkowego: 3°W

początek rzutu: 3°W i 0°N

współczynnik skali południka środkowego: 0,9996

prawdziwy początek siatki: 3° W i 0°N

fałszywa współrzędna wschodnia rzeczywistego początku siatki, E0: 500 000

E = E0 + x = 500000 + x

półkula północna fałszywa współrzędna północna rzeczywistego początku siatki N0: 0

półkula północna: N = N0 + y = y

półkula południowa fałszywa północ prawdziwy początek siatki N0: 10 000 000

półkula południowa: N = N0 + y = 10 000 000 + y

Szeregi przyjęte dla odległości południka obejmują wyrażenia piątego rzędu w, $instrukcja$ podaje, że są one mniejsze niż 0,03 mm (TM8358.2 Rozdział 2). Wzory projekcji wykorzystują $)$ mimośrodowość (zdefiniowaną powyżej zamiast $n}$ . Schematy odniesienia siatki są zdefiniowane w artykule Układ współrzędnych Universal Transverse Mercator . Deklarowana dokładność odwzorowań UTM wynosi 10 cm we współrzędnych siatki i 0,001 sekundy kątowej dla współrzędnych geodezyjnych.

Irlandia

Poprzeczna projekcja Mercatora w Irlandii i Irlandii Północnej (międzynarodowa implementacja obejmująca jeden kraj i część drugiego) jest obecnie wdrażana na dwa sposoby:

Irlandzki system odniesienia do siatki

punkt odniesienia: Irlandia 1965

elipsoida: zmodyfikowana Airy 1830

oś główna: 6 377 340,189

oś podrzędna: 6 356 034,447

współczynnik skali południka środkowego: 1,000035

początek rzeczywisty: 8° W i 53,5° N

fałszywa współrzędna wschodnia rzeczywistego początku siatki, E0: 200 000

fałszywa północ od prawdziwy początek siatki, N0: 250 000

Irlandzka siatka wykorzystuje formuły projekcji OSGB.

Irlandzki Merkator poprzeczny

punkt odniesienia: Irlandia 1965

elipsoida: GRS80

oś główna: 6 378 137

oś podrzędna: 6 356 752,314140

współczynnik skali południka środkowego: 0,999820

początek rzeczywisty: 8°W i 53,5°N

fałszywa współrzędna wschodnia rzeczywistego początku siatki, E0: 600 000

fałszywa północ względem prawdziwej siatki pochodzenie, N0: 750 000

Jest to interesujący przykład przejścia między użyciem tradycyjnej elipsoidy a nowoczesną globalną elipsoidą. Przyjęcie radykalnie różnych fałszywych początków pomaga uniknąć pomyłki między tymi dwoma systemami.

Zobacz też

• Projekcja mapy
• Projekcja Mercatora
• Skala (mapa)
• Uniwersalny układ współrzędnych poprzecznego Mercatora