Transformacja Helmerta

Transformację z układu odniesienia 1 do układu odniesienia 2 można opisać za pomocą trzech translacji Δx, Δy, Δz, trzech obrotów Rx, Ry, Rz i parametru skali μ.

Transformacja Helmerta (nazwana na cześć Friedricha Roberta Helmerta , 1843–1917) to metoda transformacji geometrycznej w przestrzeni trójwymiarowej . Jest często używany w geodezji do tworzenia transformacji układu odniesienia między układami odniesienia . Transformacja Helmerta jest również nazywana transformacją siedmioparametrową i jest transformacją podobieństwa .

Definicja

Można to wyrazić jako:

{\ Displaystyle X_ {T} = C + \ mu RX \,}

Gdzie

$X T$ jest przekształconym wektorem
$X$ jest wektorem początkowym

Parametry to :

$C$ – wektor translacji . Zawiera trzy translacje wzdłuż osi współrzędnych
$μ$ – współczynnik skali , który nie ma jednostek; jeśli jest podany w ppm , należy go podzielić przez 1 000 000 i dodać do 1.
$R$ – macierz rotacji . Składa się z trzech osi (niewielkie $rz [$ ^{wymagane wyjaśnienie ]} obroty wokół każdej z trzech osi współrzędnych) $r x$ , $r y$ , . Macierz obrotu jest macierzą ortogonalną . Kąty podaje się w stopniach lub radianach .

Wariacje

Szczególnym przypadkiem jest dwuwymiarowa transformacja Helmerta. Tutaj potrzebne są tylko cztery parametry (dwie translacje, jedno skalowanie, jeden obrót). Można je określić na podstawie dwóch znanych punktów; jeśli dostępnych jest więcej punktów, można przeprowadzić kontrole.

Czasami wystarczy zastosować transformację pięcioparametrową , składającą się z trzech translacji, tylko jednego obrotu wokół osi Z i jednej zmiany skali.

Ograniczenia

Transformacja Helmerta wykorzystuje tylko jeden współczynnik skali, więc nie nadaje się do:

Manipulowanie zmierzonymi rysunkami i fotografiami
Porównanie deformacji papieru podczas skanowania starych planów i map.

korzystna jest bardziej ogólna transformacja afiniczna .

Aplikacja

Transformacja Helmerta jest wykorzystywana między innymi w geodezji do przekształcania współrzędnych punktu z jednego układu współrzędnych na inny. Dzięki niemu możliwa staje się konwersja regionalnych geodezyjnych na lokalizacje WGS84 używane przez GPS .

Na przykład zaczynając od współrzędnej Gaussa-Krügera , $x$ i $y$ , plus wysokość $h$ , są konwertowane na wartości 3D w krokach:

Cofnij odwzorowanie mapy : obliczenie elipsoidalnej szerokości, długości i wysokości ( $W$ , $L$ , $H$ )
Konwersja ze współrzędnych geodezyjnych na współrzędne geocentryczne : Obliczanie $x$ , $y$ i $z$ względem elipsoidy odniesienia geodezji
Transformacja 7-parametrowa (gdzie $x$ , $yiz$ prawie zawsze zmieniają się co najwyżej o kilkaset metrów, a odległości o kilka mm na km ) $.$
Z tego powodu pozycje zmierzone naziemnie można porównać z danymi GPS; można je następnie wprowadzić do geodezji jako nowe punkty – przekształcone w odwrotnej kolejności.

$1)$ na zastosowaniu macierzy rotacji , pomnożeniu przez współczynnik skali dodaniu trzech tłumaczeń $c x$ , $c y$ , $cz .$ _

Współrzędne układu odniesienia B wyprowadza się z układu odniesienia A według następującego wzoru (konwencja transformacji wektora pozycji i uproszczenie bardzo małych kątów obrotu):

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} X \\ Y \\ Z \ koniec {bmatrix}} ^ {B} = {\ rozpocząć {bmatrix} c_ {x} \\ c_ {y} \\ c_ {z} \ end{bmatrix}}+(1+s\times 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\ \-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}^{A}}

lub dla każdego pojedynczego parametru współrzędnej:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X_ {B} & = c_ {x} + (1 + s \ razy 10 ^ {-6}) \ cdot (X_ {A} -r_ {z} \ cdot Y_ {A }+r_{y}\cdot Z_{A})\\Y_{B}&=c_{y}+(1+s\razy 10^{-6})\cdot (r_{z}\cdot X_{ A}+Y_{A}-r_{x}\cdot Z_{A})\\Z_{B}&=c_{z}+(1+s\razy 10^{-6})\cdot (-r_ {y}\cdot X_{A}+r_{x}\cdot Y_{A}+Z_{A}).\end{wyrównane}}}

W przypadku transformacji odwrotnej każdy element jest mnożony przez −1.

Siedem parametrów określa się dla każdego regionu z trzema lub więcej „identycznymi punktami” obu systemów. Aby je uzgodnić, drobne niespójności (zwykle kilkucentymetrowe) koryguje się metodą najmniejszych kwadratów – czyli eliminuje w statystycznie prawdopodobny sposób.

Standardowe parametry

Uwaga: kąty obrotu podane w tabeli podane są w sekundach kątowych i przed użyciem w obliczeniach należy je przeliczyć na radiany .

Kod EPSG	Region	Dane źródłowe	Docelowy punkt odniesienia	Dokładność ( metr )	$c x$ (metr)	$c y$ (metr)	$c z$ (metr)	$s$ ( ppm )	$r x$ ( sekunda kątowa )	$r y$ ( sekunda kątowa )	$r z$ ( sekunda kątowa )
8048	Australia	GDA94 ( EPSG:4283 )	GDA2020 ( EPSG:7844 )	0,01	0,06155	-0,01087	-0,04019	-0,009994	-0,0394924	-0,0327221	-0,0328979
9690	Australia	WGS84 ( EPSG:4326 )	GDA2020 ( EPSG:7844 )	3	0,06155	-0,01087	-0,04019	-0,009994	-0,0394924	-0,0327221	-0,0328979
1618	Austria	MGI ( EPSG:4312 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1.5	577.326	90.129	463.919	2.4232	5.137	1.474	5.297
1776	Niemcy (Zachód)	DHDN ( EPSG:4314 )	ETRS89 ( EPSG:4258 )	3	598.1	73,7	418,2	6.7	0,202	0,045	-2.455
1777	Niemcy (Zachód)	DHDN ( EPSG:4314 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	3	598.1	73,7	418,2	6.7	0,202	0,045	-2.455
15869	Niemcy (Wschód)	DHDN ( EPSG:4314 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	2	612,4	77	440,2	2,55	-0,054	0,057	-2,797
1641	Irlandia	TM65 ( EPSG:4299 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1	482,5	-130,6	564,6	8.15	-1.042	-0,214	-0,631
1953	Irlandia	TM75 ( EPSG:4300 )	ETRS89 ( EPSG:4258 )	1	482,5	-130,6	564,6	8.15	-1.042	-0,214	-0,631
1954	Irlandia	TM75 ( EPSG:4300 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1	482,5	-130,6	564,6	8.15	-1.042	-0,214	-0,631
8689	Słowenia	MGI 1901 ( EPSG:3906 )	Słowenia 1996 ( EPSG:4765 )	1	476.08	125.947	417,81	9.896638	-4,610862	-2,388137	11.942335
1314	Zjednoczone Królestwo	OSGB36 ( EPSG:4247 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	2	446.448	-125.157	542.06	-20.489	0,15	0,247	0,842
1315	Zjednoczone Królestwo	OSGB36 ( EPSG:4247 )	ED50 ( EPSG:4230 )	2	535.948	-31.357	665.16	-21.689	0,15	0,247	0,998
1901	Stany Zjednoczone	NAD83(HARN) ( EPSG:4152 )	WGS84 ( EPSG:4326 )	1	-0,991	1.9072	0,5129	0	1,250 33 × 10-7 ^_	4,6785 × 10-8 ^_	5,6529 × 10-8 ^_

Są to standardowe zestawy parametrów dla transformacji 7-parametrowej (lub transformacji danych) pomiędzy dwoma punktami odniesienia. W przypadku transformacji w przeciwnym kierunku należy obliczyć parametry transformacji odwrotnej lub zastosować transformację odwrotną (jak opisano w artykule „O przekształceniach geodezyjnych”). Tłumaczenia $c x$ , $c y$ , $cz,$ $są$ czasami opisywane jako $t x$ , $t y$ , $tz,$ lub $dx$ $dy$ dz . Obroty r _x , r _y i r _z są czasami opisywane jako , $\ displaystyle$ \ $phi}$ i ${\ displaystyle \ kappa}$ ^{[ kto? ]} W Wielkiej Brytanii głównym przedmiotem zainteresowania jest transformacja między układem odniesienia OSGB36 używanym przez badanie Ordnance dla odniesień do sieci na mapach Landranger i Explorer do implementacji WGS84 używanej w technologii GPS. Układ współrzędnych Gaussa -Krügera używany w Niemczech zwykle odnosi się do elipsoidy Bessela . Kolejnym interesującym punktem odniesienia był ED50 (europejski punkt odniesienia 1950) oparty na elipsoidzie Hayforda . ED50 był częścią podstaw NATO do lat 80. XX wieku, a wiele krajowych układów współrzędnych Gaussa-Krügera jest zdefiniowanych przez ED50.

Ziemia nie ma idealnego kształtu elipsoidalnego, ale jest opisywana jako geoida . Zamiast tego geoidę Ziemi opisuje wiele elipsoid. W zależności od rzeczywistej lokalizacji, do celów geodezyjnych i mapowania wykorzystano „najlepiej wyrównaną lokalnie elipsoidę”. Standardowy zestaw parametrów daje dokładność około 7 m dla transformacji OSGB36/WGS84. Nie jest to wystarczająco dokładne do pomiarów geodezyjnych, a Ordnance Survey uzupełnia te wyniki za pomocą tabeli wyszukiwania dalszych tłumaczeń w celu osiągnięcia do 1 cm .

Szacowanie parametrów

Jeśli parametry transformacji są nieznane, można je obliczyć z punktów odniesienia (czyli punktów, których współrzędne są znane przed i po transformacji. Ponieważ w sumie należy określić siedem parametrów (trzy przesunięcia, jedna skala, trzy obroty), muszą być znane co najmniej dwa punkty i jedna współrzędna trzeciego punktu (na przykład współrzędna Z). Daje to układ z siedmioma równaniami i siedmioma niewiadomymi, które można rozwiązać.

W przypadku transformacji między projekcjami mapy konforemnej w pobliżu dowolnego punktu parametry transformacji Helmerta można dokładnie obliczyć z jakobianowej macierzy funkcji transformacji.

W praktyce najlepiej jest wykorzystać więcej punktów. Dzięki tej korespondencji uzyskuje się większą dokładność i możliwa jest statystyczna ocena wyników. W takim przypadku obliczenia są korygowane metodą najmniejszych kwadratów Gaussa .

Liczbową wartość dokładności parametrów transformacji uzyskuje się przez obliczenie wartości w punktach odniesienia i ważenie wyników względem środka ciężkości punktów.

Chociaż metoda jest matematycznie rygorystyczna, jest całkowicie zależna od dokładności używanych parametrów. W praktyce parametry te są obliczane na podstawie uwzględnienia co najmniej trzech znanych punktów w sieciach. Jednak ich dokładność wpłynie na następujące parametry transformacji, ponieważ punkty te będą zawierały błędy obserwacji. Dlatego transformacja „w świecie rzeczywistym” będzie jedynie najlepszym oszacowaniem i powinna zawierać statystyczną miarę jej jakości.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Transformacja Helmerta w oprogramowaniu do transformacji współrzędnych PROJ
Obliczanie transformacji Helmerta