Porządek kwantowy chroniony lokalizacją

Lokalizacja wielu ciał (MBL) jest zjawiskiem dynamicznym, które prowadzi do załamania mechaniki statystycznej równowagi w izolowanych układach wielu ciał. Takie układy nigdy nie osiągają lokalnej równowagi termicznej i zachowują lokalną pamięć swoich warunków początkowych przez nieskończony czas. Nadal można zdefiniować pojęcie struktury fazowej w tych nierównowagowych układach. Co uderzające, MBL może nawet umożliwić nowe rodzaje egzotycznych rzędów, które są niedozwolone w równowadze termicznej – zjawisko to nosi nazwę porządku kwantowego chronionego lokalizacją (LPQO) lub porządku stanu własnego

Tło

Badanie faz materii i przejść między nimi było centralnym przedsięwzięciem fizyki od ponad wieku. Jeden z najwcześniejszych paradygmatów wyjaśniania struktury fazowej, najbardziej kojarzony z Landauem, klasyfikuje fazy według spontanicznego łamania globalnych symetrii występujących w układzie fizycznym. Niedawno poczyniliśmy również wielkie postępy w zrozumieniu topologicznych faz materii, które leżą poza ramami Landaua: kolejność faz topologicznych nie może być scharakteryzowana przez lokalne wzorce łamania symetrii, a zamiast tego jest zakodowana w globalnych wzorcach splątanie kwantowe .

Cały ten niezwykły postęp opiera się na fundamencie mechaniki statystycznej równowagi. Fazy i przejścia fazowe są wyraźnie określone tylko dla układów makroskopowych w granicy termodynamicznej, a mechanika statystyczna pozwala nam na dokonywanie użytecznych przewidywań dotyczących takich układów makroskopowych z wieloma (~ 10 23 ) ^cząstkami składowymi. Podstawowym założeniem mechaniki statystycznej jest to, że systemy ogólnie osiągają stan równowagi termicznej (taki jak stan Gibbsa), który można scharakteryzować tylko kilkoma parametrami, takimi jak temperatura lub potencjał chemiczny. Tradycyjnie strukturę fazową bada się, badając zachowanie „parametrów porządku” w stanach równowagi. W temperaturze zerowej są one oceniane w stanie podstawowym układu, a różne fazy odpowiadają różnym rzędom kwantowym (topologicznym lub innym). równowaga silnie ogranicza dozwolone rzędy w skończonych temperaturach. Ogólnie rzecz biorąc, fluktuacje termiczne w skończonych temperaturach zmniejszają dalekosiężne korelacje kwantowe obecne w uporządkowanych fazach i, w niższych wymiarach, mogą całkowicie zniszczyć porządek. Na przykład Twierdzenia Peierlsa-Mermina-Wagnera dowodzą, że układ jednowymiarowy nie może spontanicznie przerwać ciągłej symetrii w dowolnej niezerowej temperaturze.

Niedawne postępy w zjawisku lokalizacji wielu ciał ujawniły klasy ogólnych (zwykle nieuporządkowanych) układów wielu ciał, które nigdy nie osiągają lokalnej równowagi termicznej, a zatem leżą poza ramami mechaniki statystycznej równowagi. Systemy MBL mogą przechodzić dynamiczne przejście fazowe do fazy termalizującej, gdy parametry, takie jak zaburzenie lub siła interakcji, są dostrojone, a natura przejścia fazowego MBL do termicznego jest aktywnym obszarem badań. Istnienie MBL rodzi interesujące pytanie, czy można mieć różne rodzaje faz MBL, tak jak istnieją różne rodzaje faz termalizujących. Co ciekawe, odpowiedź jest twierdząca, a systemy poza równowagą mogą również wykazywać bogatą strukturę fazową. Co więcej, tłumienie fluktuacji termicznych w układach zlokalizowanych może nawet pozwolić na nowe rodzaje porządku, które są zabronione w równowadze - co jest istotą porządku kwantowego chronionego lokalizacją. Niedawne odkrycie kryształów czasu w systemach MBL napędzanych okresowo jest godnym uwagi przykładem tego zjawiska.

Fazy z równowagi: porządek stanu własnego

Badanie struktury fazowej w układach zlokalizowanych wymaga od nas sformułowania ostrego pojęcia fazy oddalonej od równowagi termicznej. Odbywa się to poprzez pojęcie porządku stanu własnego : można mierzyć parametry rzędu i funkcje korelacji indywidualnie stany własne energii układu wielociałowego, zamiast uśredniania kilku stanów własnych, jak w stanie Gibbsa. Kluczową kwestią jest to, że poszczególne stany własne mogą wykazywać wzorce uporządkowania, które mogą być niewidoczne dla średnich termodynamicznych w stanach własnych. Rzeczywiście, średnia zespołu termodynamicznego nie jest nawet odpowiednia w systemach MBL, ponieważ nigdy nie osiągają one równowagi termicznej. Co więcej, podczas gdy poszczególne stany własne same w sobie nie są dostępne eksperymentalnie, porządek w stanach własnych ma jednak wymierne podpisy dynamiczne. Właściwości widma własnego zmieniają się w szczególny sposób, gdy system przechodzi z jednego typu fazy MBL do drugiego lub z fazy MBL do fazy termicznej — ponownie z mierzalnymi sygnaturami dynamicznymi.

Rozważając kolejność stanów własnych w systemach MBL, ogólnie mówi się o wysoce wzbudzonych stanach własnych przy gęstościach energii, które odpowiadałyby wysokim lub nieskończonym temperaturom, gdyby system był w stanie termalizować. W systemie termalizującym temperaturę definiuje się za pomocą ${\ Displaystyle T = \ lewo ({\ Frac {dS} {dE}} \ prawej) ^ {- 1}$ } $zmaksymalizowany$ w pobliżu środka widma wielociałowego (odpowiadającego ${\ Displaystyle T = \ infty}$ ) i znika w pobliżu krawędzi widma (odpowiadając ${\ Displaystyle T = 0 ^ {\ pm}}$ ). Zatem „stany własne temperatury o nieskończonej wartości” to te, które są pobierane z okolic środka widma i bardziej poprawne jest odwoływanie się do gęstości energii, a nie do temperatur, ponieważ temperaturę definiuje się tylko w równowadze. W systemach MBL tłumienie fluktuacji termicznych oznacza, że właściwości wysoce wzbudzonych stanów własnych są pod wieloma względami podobne do właściwości stanów podstawowych lokalnych hamiltonianów z przerwami. Umożliwia to promowanie różnych form porządku stanu podstawowego do skończonych gęstości energii.

Zauważmy, że w termalizacji systemów MB pojęcie porządku stanu własnego jest zgodne ze zwykłą definicją faz. Dzieje się tak, ponieważ hipoteza termalizacji stanu własnego (ETH) implikuje, że lokalne obserwable (takie jak parametry rzędu) obliczone w poszczególnych stanach własnych zgadzają się z tymi obliczonymi w stanie Gibbsa w temperaturze odpowiedniej do gęstości energii stanu własnego. Z drugiej strony systemy MBL nie przestrzegają ETH, a pobliskie stany własne wielu ciał mają bardzo różne lokalne właściwości. To właśnie umożliwia poszczególnym stanom własnym MBL wyświetlanie porządku, nawet jeśli średnie termodynamiczne nie mogą tego robić.

Porządek łamiący symetrię chroniony lokalizacją

Lokalizacja umożliwia łamanie porządków symetrii przy skończonych gęstościach energii, zabronionych w równowadze przez twierdzenia Peierlsa-Mermina-Wagnera.

Zilustrujmy to konkretnym przykładem nieuporządkowanego łańcucha Isinga pola poprzecznego w jednym wymiarze:

{\ Displaystyle H = \ suma _ {i = 1} ^ {L} J_ {i} \ sigma _ {i} ^ {z} \ sigma _ {i + 1} ^ {z} + h_ {i} \ sigma _{i}^{x}+J_{\rm {int}}(\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+2}^{z}+\sigma _{i}^{z }\sigma _{i+1}^{z})}

gdzie $} ^ {x/y/z}}$ ${\ Displaystyle \ {J_ {i}, h_ {i} \}}$ i są operatorami Pauliego spin-1/2 w łańcuchu o długości ${\ displaystyle L}$ są dodatnimi liczbami losowymi wylosowanymi z rozkładów ze średnimi ${\ Displaystyle {\ overline {J}}, {\ overline {h}}}$ , a system ma symetrię Isinga ${\ Displaystyle P = \ prod _ {i} \ sigma _ {i} ^ {x}}$ odpowiadający odwróceniu wszystkich obrotów na podstawie ${\ displaystyle z}$ . J ${\ Displaystyle J _ {\ rm {int}}} wprowadza interakcje$ a system można odwzorować na model swobodnego fermionu (łańcuch Kitaeva), gdy ${\ Displaystyle J _ {\ rm { int}}=0}$ .

Nieoddziałujący łańcuch Isinga – brak nieładu

Ryc. 1. Fazy łańcucha Isinga (a) bez interakcji lub zaburzeń, (b) z zaburzeniami, ale bez interakcji oraz (c) z zaburzeniami i interakcjami.

Rozważmy najpierw czysty, niewchodzący w interakcje system: ${\ Displaystyle J_ {i} = J, \; h_ {i} = h, \; J_ { \rm {int}}=0}$ . $h}$ stan podstawowy jest uporządkowany ferromagnetycznie ze spinami ustawionymi wzdłuż $dla$ ale jest paramagnesem dla $<$ \ displaystyle J iw dowolnej skończonej temperaturze (ryc. 1a). Głęboko w uporządkowanej fazie system ma dwa zdegenerowane symetryczne stany podstawowe Isinga, które wyglądają jak „kot Schrödingera” lub stany superpozycji: $|\psi _{0}^{\pm}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \rangle \pm |\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \rangle )$ Wyświetlają kolejność dalekiego zasięgu:

{\ Displaystyle \ lim _ {| ij | \ rightarrow \ infty} \ lim _ {L \ rightarrow \ infty} \ langle \ psi _ {0} ^ {\ pm} | \ sigma _ {i} ^ {z} \ sigma _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle -\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}|\ psi _{0}^{\pm }\rangle \langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle >0.}

W dowolnej skończonej temperaturze fluktuacje termiczne prowadzą do skończonej gęstości zdelokalizowanych ścian domen, ponieważ entropiczny zysk z tworzenia tych ścian domen wygrywa z kosztem energii w jednym wymiarze. Te fluktuacje niszczą porządek dalekiego zasięgu, ponieważ obecność fluktuujących ścian domen niszczy korelację między odległymi spinami.

Nieuporządkowany niewchodzący w interakcje łańcuch Isinga

$nieporządku$ wzbudzenia w modelu niewchodzącym w interakcje ( ) powodu . Innymi $przez zaburzenie, tak$ ogólny wysoce wzbudzony stan własny dla jak ${\ Displaystyle | \ psi _ {\ rm {SG}} ^ {n, \ pm} \ rangle = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (|\ uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \cdots \rangle \pm |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \cdots \rangle} , gdzie n {\ displaystyle n$ } $się$ do ${\ Displaystyle n ^ {\ tekst {th}}}$ stan własny, a wzór jest zależny od stanu własnego. Należy zauważyć, że funkcja korelacji spin-spin oceniana w tym stanie jest różna od zera dla dowolnie odległych spinów, ale ma zmienny znak w zależności od tego, czy między dwoma miejscami krzyżuje się parzysta/nieparzysta liczba ścian domen. Stąd mówimy, że system ma szkieł spinowych dalekiego zasięgu (SG). Rzeczywiście, dla $}}$ , lokalizacja promuje porządek ferromagnetyczny stanu podstawowego do uporządkowania szkła spinowego w stanach silnie wzbudzonych przy wszystkich gęstościach energii (ryc. 1b). Jeśli uśrednia się stany własne, jak w termicznym stanie Gibbsa, fluktuacje znaków powodują uśrednienie korelacji zgodnie z twierdzeniem Peierlsa zabraniającym łamania symetrii dyskretnych symetrii w skończonych temperaturach w 1D. Dla , $jak$ jest paramagnetyczny (PM), a stany własne głęboko w PM wyglądają $\ styl wyświetlania x}$ podstawie i nie pokazują dalekiego zasięgu Kolejność Isinga: ${\ Displaystyle | \ psi _ {\ rm {PM}} ^ {n} \ rangle = | \ strzałka w prawo \ strzałka w prawo \ strzałka w lewo \ strzałka w lewo \ strzałka w lewo \ strzałka w prawo \ cdots \ rangle}$ . Przejście między zlokalizowanym PM a zlokalizowanym SG w $klasy$ uniwersalności

Nieuporządkowany interakcyjny łańcuch Isinga

Po włączeniu słabych interakcji izolator Andersona pozostaje $/$ wielu ciałach, a porządek utrzymuje się głęboko w fazach Wystarczająco silne oddziaływania niszczą MBL i system przechodzi w fazę termalizacji. Los przejścia MBL PM do MBL SG w obecności interakcji jest obecnie niepewny i jest prawdopodobne, że przejście to przebiega przez interweniującą fazę termiczną (ryc. 1c).

Wykrywanie kolejności stanów własnych – mierzalne sygnatury

Chociaż powyższa dyskusja dotyczy ostrej diagnostyki LPQO uzyskanej przez ocenę parametrów rzędu i funkcji korelacji w poszczególnych wysoko wzbudzonych wielociałowych stanach własnych, takie wielkości są prawie niemożliwe do zmierzenia eksperymentalnie. Niemniej jednak, mimo że poszczególne stany własne same w sobie nie są dostępne eksperymentalnie, porządek w stanach własnych ma mierzalne sygnatury dynamiczne. Innymi słowy, pomiar lokalnego fizycznie dostępnego obserwowalnego w czasie, począwszy od fizycznie możliwego do przygotowania stanu początkowego, nadal zawiera wyraźne sygnatury porządku stanu własnego.

$łańcucha$ Isinga można przygotować losowe stany początkowe z zerwaną symetrią, które są stanami produktu na podstawie : ${\ Displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle = | \ uparrow \ downarrow \ downarrow \ uparrow \ cdots \ uparrow \ uparrow \ downarrow \ rangle}$ . Te losowo wybrane stany mają nieskończoną temperaturę. Wtedy można zmierzyć lokalne namagnesowanie ${\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} ^ {z} \ rangle}$ w czasie, który działa jako parametr porządkujący łamanie symetrii. Łatwo jest pokazać, że ${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {0} (t) | \ sigma _ {i} ^ {z} | \ psi _ {0} (t) \ rangle}$ nasyca się do wartości niezerowej nawet dla nieskończenie późnych czasów w fazie szkła spinowego z pękniętą symetrią, podczas gdy zanika do zera w paramagnetyku. Osobliwość właściwości widma własnego przy przejściu między zlokalizowanymi fazami SG i PM przekłada się na ostre dynamiczne przejście fazowe, które jest mierzalne. Rzeczywiście, ładnym tego przykładem są ostatnie eksperymenty wykrywające kryształy czasu w systemach Floquet MBL, w których faza kryształu czasu spontanicznie łamie zarówno symetrię translacji czasu, jak i przestrzenną symetrię Isinga, pokazując skorelowany czasoprzestrzenny porządek stanu własnego.

Porządek topologiczny chroniony lokalizacją

Podobnie jak w przypadku łamania porządku symetrii, fluktuacje termiczne w skończonych temperaturach mogą zmniejszać lub niszczyć korelacje kwantowe niezbędne dla porządku topologicznego. Po raz kolejny lokalizacja może umożliwić takie porządki w reżimach zabronionych przez równowagę. Dzieje się tak zarówno dla tak zwanych splątanych faz topologicznych dalekiego zasięgu, jak i dla topologicznych chronionych przed symetrią lub splątanych faz topologicznych krótkiego zasięgu. Teoria $cechowania$ kodu torycznego w jest przykładem tego pierwszego, a porządek topologiczny w tej fazie można zdiagnozować za pomocą Wilsona operatorzy. Porządek topologiczny jest niszczony w równowadze w dowolnej skończonej temperaturze z powodu fluktuujących wirów - jednak mogą one zostać zlokalizowane przez nieład, umożliwiając szklisty porządek topologiczny chroniony lokalizacją przy skończonych gęstościach energii. Z drugiej strony fazy topologiczne chronione symetrią (SPT). mają dowolne masowe uporządkowanie dalekiego zasięgu i różnią się od trywialnych paramagnesów ze względu na obecność spójnych trybów krawędzi bez przerw, o ile obecna jest symetria ochronna. W równowadze te tryby krawędziowe są zwykle niszczone w skończonych temperaturach, gdy ulegają dekoherencji w wyniku interakcji ze zdelokalizowanymi wzbudzeniami masowymi. Po raz kolejny lokalizacja chroni spójność tych modów nawet przy skończonych gęstościach energii! Obecność porządku topologicznego chronionego lokalizacją może potencjalnie mieć daleko idące konsekwencje dla rozwoju nowych technologii kwantowych, umożliwiając kwantowe spójne zjawiska przy wysokich energiach.

Systemy Floquet

Wykazano, że układy napędzane okresowo lub Floquet mogą być również zlokalizowane w wielu ciałach w odpowiednich warunkach napędu. Jest to niezwykłe, ponieważ ogólnie oczekuje się, że napędzany układ wielociałowy po prostu nagrzeje się do trywialnego stanu nieskończonej temperatury (stan maksymalnej entropii bez zachowania energii). Jednak w przypadku MBL można uniknąć tego ogrzewania i ponownie uzyskać nietrywialne rzędy kwantowe w stanach własnych unitarnego Floqueta, który jest operatorem ewolucji w czasie dla jednego okresu. Najbardziej uderzającym tego przykładem jest kryształ czasu, faza z dalekosiężnym porządkiem czasoprzestrzennym i spontanicznym złamaniem symetrii translacji czasu. Ta faza jest niedozwolona w równowadze termicznej, ale może być realizowana w ustawieniu Floquet MBL.