Powierzchnia PDE

Powierzchnie PDE są wykorzystywane w modelowaniu geometrycznym i grafice komputerowej do tworzenia gładkich powierzchni zgodnych z zadaną konfiguracją granic. Powierzchnie PDE wykorzystują równania różniczkowe cząstkowe do generowania powierzchni, która zazwyczaj spełnia matematyczne zadanie brzegowe .

Powierzchnie PDE zostały po raz pierwszy wprowadzone do modelowania geometrycznego i grafiki komputerowej przez dwóch brytyjskich matematyków, Malcolma Bloora i Michaela Wilsona.

Szczegóły techniczne

Metoda PDE polega na wygenerowaniu powierzchni dla pewnej granicy za pomocą rozwiązania eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego postaci

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe u ^ {2} }}+a^{2}{\frac {\częściowo ^{2}}{\częściowo v^{2}}}\right)^{2}X(u,v)=0.}$

Tutaj $}$ funkcją sparametryzowaną $v$ i v $displaystyle$ tak ${\ Displaystyle X (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)}} gdzie x {\$ Displaystyle $}$$\ Displaystyle y}$ { i ${\ displaystyle z}$ to zwykła kartezjańska przestrzeń współrzędnych. Warunki brzegowe funkcji i jej pochodnych normalnych $v)}$$\ Displaystyle X$ , krawędzie łaty powierzchniowej.

W powyższym sformułowaniu należy zauważyć, że eliptyczny operator różniczkowy cząstkowy w powyższym PDE reprezentuje proces wygładzania, w którym wartość funkcji w dowolnym punkcie na powierzchni jest w pewnym sensie średnią ważoną otaczających wartości. W ten sposób uzyskuje się powierzchnię jako płynne przejście między wybranym zestawem warunków brzegowych . Parametr jest specjalnym parametrem projektowym, który kontroluje względne wygładzenie powierzchni w $displaystyle$ i $v$$v}$ .

Gdy za $\ Displaystyle a = 1}$ , PDE jest równaniem biharmonicznym : ${\ Displaystyle X_ {uuuu} + 2X_ {uuvv} +X_{vvvv}=0}$ . Równanie biharmoniczne to równanie utworzone przez zastosowanie równania Eulera-Lagrange'a do uproszczonego funkcjonału energetycznego cienkiej płyty ${\ Displaystyle X_ {uu} ^ {2} + 2X_ {uv} ^ {2} + X_ {vv} ^ {2}}$ . Tak więc rozwiązanie PDE za pomocą $zminimalizowaniu$ energii cienkiej płyty z zastrzeżeniem tych samych warunków brzegowych.

Aplikacje

Powierzchnie PDE mogą być stosowane w wielu obszarach zastosowań. Obejmują one projektowanie wspomagane komputerowo , projektowanie interaktywne, projektowanie parametryczne, animację komputerową , wspomaganą komputerowo analizę fizyczną i optymalizację projektu.

1. MIG Bloor i MJ Wilson, Generowanie mieszanych powierzchni przy użyciu równań różniczkowych cząstkowych , Computer Aided Design, 21(3), 165-171, (1989).
2. H. Ugail , MIG Bloor i MJ Wilson, Techniki projektowania interaktywnego przy użyciu metody PDE , ACM Transactions on Graphics , 18(2), 195-212, (1999).
3. J. Huband, W. Li i R. Smith, An Explicit Representation of Bloor-Wilson PDE Surface Model by using Canonical Basis for Hermite Interpolation , Mathematical Engineering in Industry, 7(4), 421-33 (1999).
4. H. Du i H. Qin, Bezpośrednia manipulacja i interaktywne rzeźbienie powierzchni PDE , Computer Graphics Forum, 19 (3), C261-C270, (2000).
5. H. Ugail, Parametryzacja kształtu oparta na kręgosłupie dla powierzchni PDE , Computing, 72, 195--204, (2004).
6. L. You, P. Comninos, JJ Zhang, PDE Blending Surfaces with C2 Continuity , Computers and Graphics, 28 (6), 895-906, (2004).

Linki zewnętrzne

• Projektowanie oparte na symulacji, badania DVE (Uniwersytet w Bradford, Wielka Brytania) . (Aplet Java demonstrujący właściwości powierzchni PDE)
• Dept Applied Mathematics, University of Leeds, szczegóły pracy Bloora i Wilsona.