Powierzchnia ogniskowa

paraboloidy hiperbolicznej (białej)

{\ Displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}, \; 0 \ równoważnik x,y\równik 0,5}

Powierzchnie ogniskowe (zielone i czerwone) siodła małpy (niebieskie). W środkowym punkcie siodła małpy krzywizna Gaussa wynosi 0, w przeciwnym razie jest ujemna.

W przypadku powierzchni trójwymiarowej powierzchnia ogniskowa , powierzchnia środków lub ewolucja jest tworzona przez wzięcie środków sfer krzywizny, które są sferami stycznymi , których promienie są odwrotnością jednej z głównych krzywizn w punkcie styczności. Równoważnie jest to powierzchnia utworzona przez środki okręgów, które zazębiają linie krzywizny .

Powierzchnia z eliptyczną pępowiną i jej powierzchnia ogniskowa.

Powierzchnia z hiperboliczną pępowiną i jej powierzchnią ogniskową.

Ponieważ główne krzywizny są wartościami własnymi drugiej postaci podstawowej, są dwie w każdym punkcie, a te dają początek dwóm punktom powierzchni ogniskowej w każdym normalnym kierunku do powierzchni. Z dala od punktów pępowinowych te dwa punkty powierzchni ogniskowej są różne; w punktach pępowinowych oba arkusze łączą się. Gdy powierzchnia ma grzbiet , powierzchnia ogniskowa ma krawędź kłową , trzy takie krawędzie przechodzą przez pępek eliptyczny i tylko jeden przez pępek hiperboliczny. W punktach, w których krzywizna Gaussa wynosi zero, jeden arkusz powierzchni ogniskowej będzie miał punkt w nieskończoności odpowiadający zerowej krzywiźnie głównej.

Jeśli ${\ Displaystyle {\ vec {p}}}$ $to$ danej powierzchni, jednostka normalna i ${\ Displaystyle k_ {1} }, k_ {2}}$ główne krzywizny w ${\ Displaystyle {\ vec {p}}}$ , a następnie

{\ Displaystyle {\ vec {b}} _ {1} ({\ vec {p}}) = {\ vec {p}} + {\ Frac {\ vec {n}} {k_ {1}}} \ quad}

i

{\ Displaystyle \ quad {\ vec {b}} _ {2} ( {\vec {p}})={\vec {p}}+{\frac {\vec {n}}{k_{2}}}\ }

są odpowiednimi dwoma punktami powierzchni ogniskowej.

Przypadki specjalne

Powierzchnia ogniskowa kuli składa się z jednego punktu, jej środka.
Jedna część powierzchni ogniskowej powierzchni obrotowej składa się z osi obrotu.
Powierzchnia ogniskowa torusa składa się z koła kierownicy i osi obrotu.
Powierzchnia ogniskowa cyklidu Dupina składa się z pary stożków ogniskowych . Cyklidy Dupina są jedynymi powierzchniami, których powierzchnie ogniskowe przechodzą w dwie krzywe.
Jedna część powierzchni ogniskowej powierzchni kanału degeneruje się do swojej kierownicy.
Dwie kwadryki konfokalne (na przykład elipsoida i hiperboloida jednego arkusza) można uznać za powierzchnie ogniskowe powierzchni.

Zobacz też

Notatki

Chandru, W.; Dutta, D.; Hoffmann, CM (1988), O geometrii cyklidów Dupina , Purdue University e-Pubs .