Prawo (procesy stochastyczne)

W matematyce prawo procesu stochastycznego jest miarą , jaką proces indukuje w zbiorze funkcji z indeksu ustawionego w przestrzeni stanów. Prawo koduje wiele informacji o procesie; w przypadku spaceru losowego prawem jest rozkład prawdopodobieństwa możliwych trajektorii spaceru.

Definicja

Niech (Ω, F , P ) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa , T pewnym zbiorem indeksów, a ( S , Σ) przestrzenią mierzalną . Niech X : T × Ω → S będzie procesem stochastycznym (więc map

${\ Displaystyle X_ {t}: \ Omega \ do S: \ omega \ mapsto X (t, \ omega)}$

jest ( S , Σ)- mierzalną funkcją dla każdego t ∈ T ). Niech S ^T oznacza zbiór wszystkich funkcji z T do S . Proces X (poprzez curry ) indukuje funkcję Φ _X : Ω → ST , ^gdzie

${\ Displaystyle \ lewo (\ Phi _ {X} (\ omega) \ prawo) (t): = X_ {t} (\ omega).}$

Prawo procesu X jest następnie definiowane jako miara pushforward

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}: = \ lewo (\ Phi _ {X} \ prawo )_{*}(\mathbf {P} )=\mathbf {P} (\Phi _{X}^{-1}[\cdot])}$

na S ^T. _

Przykład

• Prawo standardowego ruchu Browna jest klasyczną miarą Wienera . (Rzeczywiście, wielu autorów definiuje ruchy Browna jako przykładowy ciągły proces rozpoczynający się od początku, którego prawem jest miara Wienera, a następnie wyprowadza z tej definicji niezależność przyrostów i innych właściwości; inni autorzy wolą pracować w przeciwnym kierunku. )

Zobacz też

• Dystrybucja skończonych wymiarów