Dystrybucja skończonych wymiarów

W matematyce rozkłady skończenie wymiarowe są narzędziem do badania miar i procesów stochastycznych . Wiele informacji można uzyskać, badając „rzutowanie” miary (lub procesu) na skończoną wymiarową przestrzeń wektorową (lub skończony zbiór czasów).

Skończenie wymiarowe rozkłady miary

Niech $_$ _ _ _ Rozkłady skończonych wymiarów $są$ miarami $gdzie$ , fa $\mathbb {R} ^{k}}$$:$ X , ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ , jest dowolną mierzalną funkcją.

Skończenie wymiarowe rozkłady procesu stochastycznego

Niech $będzie$ przestrzenią i $I$ : będzie procesem stochastycznym . Rozkłady skończonych wymiarów są miarami przesuwania do przodu $^ {X}}$$\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ kropki i_$ } w przestrzeni produktu ${\ Displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$ zdefiniowane przez k $\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ kropki i_ {k}} ^ {X} (S): = \ mathbb {P} \ lewo \ {\ omega \ w \ Omega \ lewo | \ lewo (X_{i_{1}}(\omega),\kropki,X_{i_{k}}(\omega)\right)\in S\right.\right\}.}$

Bardzo często warunek ten jest określany w kategoriach mierzalnych prostokątów :

${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ kropki i_ {k}} ^ {X} (A_ {1} \ razy \ cdots \ razy A_ {k}): = \ mathbb {P} \ lewo \{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\równik j\równik k\prawo.\prawo\ }.}$

Definicja skończenie wymiarowych rozkładów procesu jest powiązana z definicją miary $displaystyle$ następujący sposób: pamiętaj, że $prawo$ L $\ mathcal {} L}} _ {X}}$ z $X}$${\$ jest miarą zbioru wszystkich funkcji od do $displaystyle \ mathbb {X} ^ {I$$} styl wyświetlania \mathbb {X} }$ . Ogólnie rzecz biorąc, jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa. Skończone rozkłady wymiarowe są miarami przesuwania do przodu na skończonym ${\ Displaystyle f_ {*} \ lewo ({\ mathcal {L}} _ {X} \ prawej$$)$ -wymiarowa przestrzeń iloczynu ${\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$ gdzie

${\ Displaystyle f: \ mathbb {X} ^ {I} \ do \ mathbb {X} ^ {k} :\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)}$

$_$ naturalną _

Stosunek do szczelności

Można $pokazać$ jeśli sekwencja prawdopodobieństwa skończenie rozkłady zbiegają się słabo do odpowiednich rozkładów skończonych $n}}$ pewnej miary prawdopodobieństwa ${ \$ a następnie zbiegają się $displaystyle \ mu _$ słabo do ${\ displaystyle \ mu}$ .

Zobacz też

• Prawo (procesy stochastyczne)