Problem Kadisona-Singera

W matematyce problem Kadisona -Singera , postawiony w 1959 r., Był problemem w analizie funkcjonalnej dotyczącym tego, czy pewne rozszerzenia pewnych funkcjonałów liniowych w niektórych algebrach C * są unikalne. Wyjątkowość została udowodniona w 2013 roku.

Paula Diraca nad podstawami mechaniki kwantowej w latach czterdziestych XX wieku i zostało sformalizowane w 1959 roku przez Richarda Kadisona i Isadore'a Singera . Następnie wykazano, że problem jest równoważny z wieloma otwartymi problemami z matematyki czystej, matematyki stosowanej, inżynierii i informatyki. Kadison, Singer i większość późniejszych autorów uważali to stwierdzenie za fałszywe, ale w 2013 roku udowodnili to Adam Marcus , Daniel Spielman i Nikhil Srivastava , którzy otrzymali w 2014 roku Nagroda Pólya za osiągnięcie.

Rozwiązanie było możliwe dzięki przeformułowaniu dostarczonemu przez Joela Andersona, który wykazał w 1979 r., Że jego „przypuszczenie brukowe”, które obejmuje tylko operatorów w skończonych przestrzeniach Hilberta, jest równoważne problemowi Kadisona-Singera. Nik Weaver przedstawił kolejne przeformułowanie w układzie skończonych wymiarów, a ta wersja została udowodniona przy użyciu losowych wielomianów.

Oryginalna receptura

Rozważmy rozdzielną przestrzeń Hilberta ℓ ^{2 i} $dwie$ C * -algebry: algebrę wszystkich ciągłych operatorów liniowych od ℓ ² do ℓ ² i algebrę wszystkich ukośnych ciągłych operatorów $.$ od ℓ ² do ℓ ² .

Stan na C $jest$$\$$)$ funkcjonałem φ { ${\ Displaystyle \ varphi (T) \ geq 0}$ gdzie $T$ multiplikatywną tożsamość algebry ) i dla każdego ${\ Displaystyle T \ geq 0}$ . Taki stan nazywamy czystym , jeśli jest to punkt ekstremalny w zbiorze wszystkich stanów na $tj$ . jeśli nie można go zapisać jako wypukłej kombinacji innych stanów na ${\ displaystyle A}$ ).

Zgodnie z twierdzeniem Hahna – Banacha każdą funkcjonał na można rozszerzyć do $displaystyle$$B}$ . Kadison i Singer przypuszczali, że w przypadku stanów czystych to rozszerzenie jest wyjątkowe. Oznacza to, że problem Kadisona-Singera polegał na udowodnieniu lub obaleniu następującego stwierdzenia:

do każdego czystego stanu $na$ istnieje unikalny stan na B $displaystyle$$B}$ , który rozciąga się $displaystyle \ varphi}$

To twierdzenie jest w rzeczywistości prawdziwe.

Przeformułowanie przypuszczeń brukarskich

Problem Kadisona-Singera ma pozytywne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest następujące „przypuszczenie brukowe”:

Dla każdego $\varepsilon >0$ liczba naturalna $tak$ że zachodzi: dla każdego $n$ każdego operatora liniowego na $\ displaystyle \ varepsilon >$$n$-dimensional Hilbert space $\mathbb {C} ^{n}$ with zeros on the diagonal there exists a partition of $A_ {1}, \ kropki, A_ {k}}$$kropki, n \}}$ na zestawy $Displaystyle$ takie, że

${\ Displaystyle \| P_ {A_ {j}} TP_ {A_ {j}} \ | \ równoważnik \ varepsilon \| T \ | {\ tekst {dla}} j = 1, \ ldots, k.}$

Tutaj oznacza rzut ortogonalny na przestrzeń rozpiętą przez standardowe wektory jednostkowe odpowiadające elementom ${$$\ Displaystyle A_ {j}}}$ że macierz P ZA ${\ Displaystyle P_ {A_ {j}} TP_ {A_ {j}}}$ jest uzyskiwany z macierzy ${\ displaystyle T}$ przez zastąpienie wszystkich wierszy i kolumn, które nie odpowiadają indeksom w ${\ Displaystyle A_ {j}}$ o 0. Norma macierzowa $jest$ normą widmową , tj. na $\ mathbb {C} ^{n}}$ . operatora w odniesieniu do normy euklidesowej

$,$ że w tym stwierdzeniu może zależeć tylko od $displaystyle$ a nie od $n}$ .

Równoważne stwierdzenie rozbieżności

Następujące stwierdzenie „ rozbieżności ”, ponownie równoważne problemowi Kadisona – Singera z powodu wcześniejszej pracy Nika Weavera, zostało udowodnione przez Marcusa / Spielmana / Srivastavę przy użyciu techniki losowych wielomianów:

Załóżmy, że wektory $\ Displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {m} \ in \ mathbb {C} ^ {d}} są$ dane z ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {m} u_ {i} u_ {i} ^ {*} = I} (macierz tożsamości re × re {\ Displaystyle$ d \ $)$ ja ${\ Displaystyle \|u_ {i} \|_ {2} ^ {2} \ równoważnik \ delta}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i}$ . Wtedy istnieje podział na dwa zestawy i $}$$Displaystyle S_$${2} }$ i takie, że

${\ Displaystyle \ lewo \ | \ suma _ {i \ w S_ {j}} u_ {i} u_ {i} ^ {*} \ prawo \ |\ leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta}}\right)^{2}}{2}}{\text{dla}}j=1,2.}$

To stwierdzenie implikuje, co następuje:

Załóżmy, że wektory ${\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {m} \ in \ mathbb {R} ^ {d}} są dane$ z ${\ Displaystyle \| v_ {i} \|_ {2} ^ {2} \ równoważnik \ alfa}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i}$ i

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ langle v_ {i}, x \ rangle ^ {2} = 1 \ {\ tekst {dla wszystkie }} x \ in \ mathbb {R} ^ {d} {\ tekst {z}} \ | x \ | = 1.} Wtedy istnieje partycja {$

1 ${$$Displaystyle \ {1$$takie$$}$ \ Displaystyle , że dla ${\ displaystyle j = 1,2}$ :

${\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {i \ w S_ {j}} \ langle v_ {i}, x \ rangle ^ {2} - { \frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}\ {\text{dla wszystkich}}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ z } }\|x\|=1.}$

Tutaj „rozbieżność” staje się widoczna, gdy α jest wystarczająco mała: forma kwadratowa na sferze jednostkowej może zostać podzielona na dwie z grubsza równe części, tj. części, których wartości niewiele różnią się od 1/2 na sferze jednostkowej. W tej postaci twierdzenie można wykorzystać do wyprowadzenia stwierdzeń dotyczących pewnych podziałów grafów.

Linki zewnętrzne

• Nicholas JA Harvey (11 lipca 2013). „Wprowadzenie do problemu Kadisona-Singera i hipotezy nawierzchni” (PDF) .