Problem z kwadratem wpisanym
Czy każda krzywa Jordana ma wpisany kwadrat?
Problem kwadratów wpisanych , znany również jako problem kołków kwadratowych lub hipoteza Toeplitza , jest nierozwiązanym pytaniem w geometrii : czy każda płaska prosta krzywa domknięta zawiera wszystkie cztery wierzchołki jakiegoś kwadratu ? Dzieje się tak, jeśli krzywa jest wypukła lub częściowo gładka oraz w innych szczególnych przypadkach. Problem został zaproponowany przez Otto Toeplitza w 1911 roku. Niektóre wczesne pozytywne wyniki uzyskał Arnold Emch i Lew Schnirelmann . Od 2022 r. sprawa ogólna pozostaje otwarta.
Oświadczenie o problemie
Niech C będzie krzywą Jordana . Wielokąt P jest wpisany w C , jeśli wszystkie wierzchołki P należą do C. Problem z kwadratem wpisanym pyta:
- Czy każda krzywa Jordana dopuszcza wpisany kwadrat?
Nie jest wymagane, aby wierzchołki kwadratu pojawiały się wzdłuż krzywej w określonej kolejności.
Przykłady
Niektóre figury, takie jak koła i kwadraty , dopuszczają nieskończenie wiele wpisanych kwadratów. Jeśli C jest trójkątem rozwartokątnym , to dopuszcza dokładnie jeden wpisany kwadrat; trójkąty prostokątne dopuszczają dokładnie dwa, a trójkąty ostre przyjmują dokładnie trzy.
Rozwiązane sprawy
Kusząca jest próba rozwiązania problemu wpisanego kwadratu poprzez udowodnienie, że specjalna klasa dobrze zachowujących się krzywych zawsze zawiera wpisany kwadrat, a następnie przybliżenie dowolnej krzywej przez sekwencję dobrze zachowujących się krzywych i wywnioskowanie, że nadal istnieje kwadrat wpisany jako granica kwadratów wpisanych w krzywe ciągu. Jednym z powodów, dla których ten argument nie został doprowadzony do końca, jest to, że granicą ciągu kwadratów może być pojedynczy punkt, a nie sam kwadrat. Niemniej jednak obecnie wiadomo, że wiele szczególnych przypadków krzywych ma wpisany kwadrat.
Odcinkowe krzywe analityczne
Arnold Emch ( 1916 ) wykazał, że odcinkowe krzywe analityczne zawsze mają wpisane kwadraty. W szczególności dotyczy to wielokątów . Dowód Emcha uwzględnia krzywe wytyczone przez punkty środkowe odcinków siecznych do krzywej równoległej do danej prostej. Pokazuje, że kiedy te krzywe przecinają się z krzywymi wygenerowanymi w ten sam sposób dla prostopadłej rodziny siecznych, występuje nieparzysta liczba skrzyżowań. Dlatego zawsze istnieje co najmniej jedno skrzyżowanie, które tworzy środek rombu wpisany w daną krzywą. Obracając w sposób ciągły dwie prostopadłe linie o kąt prosty i stosując twierdzenie o wartości pośredniej , pokazuje, że przynajmniej jeden z tych rombów jest kwadratem.
Lokalnie krzywe monotoniczne
Stromquist udowodnił, że każda prosta krzywa lokalnej płaszczyzny monotonicznej ma wpisany kwadrat. Warunkiem dopuszczenia jest, aby dla dowolnego punktu p krzywa C była lokalnie reprezentowana jako wykres funkcji y = f ( x ) .
Mówiąc dokładniej, dla dowolnego punktu p na C istnieje sąsiedztwo U ( p ) i ustalony kierunek n ( p ) (kierunek „ osi y ”) taki, że żadna cięciwa C w tym sąsiedztwie - jest równoległa do n ( p ) .
Lokalnie monotoniczne krzywe obejmują wszystkie typy wielokątów , wszystkie zamknięte krzywe wypukłe i wszystkie krzywe odcinkowe C 1 bez żadnych wierzchołków .
Krzywe bez specjalnych trapezów
Jeszcze słabszym warunkiem na krzywej niż lokalna monotoniczność jest to, że dla pewnego ε > 0 krzywa nie ma wpisanych żadnych specjalnych trapezów o rozmiarze ε. Specjalny trapez to trapez równoramienny z trzema równymi bokami, z których każdy jest dłuższy niż czwarty bok, wpisany w krzywą z kolejnością wierzchołków zgodną z kolejnością samej krzywej zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Jego rozmiar to długość części krzywej, która rozciąga się wokół trzech równych boków. Tutaj ta długość jest mierzona w dziedzinie ustalonej parametryzacji C, ponieważ C może nie być naprawialne . Zamiast argumentu granicznego, dowód opiera się na teorii względnej przeszkody . Warunek ten jest otwarty i gęsty w przestrzeni wszystkich krzywych Jordana w odniesieniu do topologii zwarto-otwartej . W tym sensie problem kwadratu wpisanego jest rozwiązany dla krzywych ogólnych .
Krzywe w pierścieniach
Jeśli krzywa Jordana jest wpisana w pierścień , którego promień zewnętrzny jest co najwyżej 1 + √ 2 razy większy niż jego wewnętrzny promień i jest narysowana w taki sposób, że oddziela wewnętrzny okrąg pierścienia od zewnętrznego, to zawiera wpisany kwadrat. W tym przypadku, jeśli dana krzywa jest aproksymowana przez jakąś dobrze zachowującą się krzywą, wówczas wszelkie duże kwadraty zawierające środek pierścienia i wpisane w przybliżenie są topologicznie oddzielone od mniejszych wpisanych kwadratów, które nie zawierają środka. Granica sekwencji dużych kwadratów musi ponownie być dużym kwadratem, a nie zdegenerowanym punktem, więc można użyć argumentu ograniczającego.
Krzywe symetryczne
Odpowiedź twierdząca jest również znana z centralnie symetrycznych krzywych, a nawet fraktali , takich jak płatek śniegu Kocha , oraz krzywych o symetrii odbijającej w poprzek linii.
Grafy Lipschitza
W 2017 roku Terence Tao opublikował dowód istnienia kwadratu na krzywych utworzonych przez połączenie wykresów dwóch funkcji , z których obie mają tę samą wartość w punktach końcowych krzywych i obie spełniają warunek ciągłości Lipschitza z Stała Lipschitza mniejsza niż jeden. Tao sformułował również kilka powiązanych przypuszczeń.
Krzywe Jordana zbliżone do krzywej C2 Jordana
W marcu 2022 r. Gregory R. Chambers wykazał, że jeśli γ jest krzywą Jordana, która jest zbliżona do krzywej C 2 Jordan β w R 2 , to γ zawiera wpisany kwadrat. Pokazał, że jeśli κ>0 jest maksymalną krzywizną bez znaku β i istnieje odwzorowanie f od obrazu γ do obrazu β z ||f(x)−x|| < 1/10κ i f∘γ mając uzwojenie numer 1, to γ ma wpisany kwadrat o dodatniej długości boku.
Warianty i uogólnienia
Można zapytać, czy w dowolną krzywą Jordana można wpisać inne kształty. Wiadomo, że dla każdego trójkąta T i krzywej Jordana C istnieje trójkąt podobny do T i wpisany w C. Ponadto zbiór wierzchołków takich trójkątów jest gęsty w C . W szczególności zawsze istnieje wpisany trójkąt równoboczny .
Wiadomo również, że każda krzywa Jordana dopuszcza wpisany prostokąt . Vaughan udowodnił to, sprowadzając problem do nieosadzalności płaszczyzny rzutowej w R 3 ; jego dowód został opublikowany w Meyerson. W 2020 roku Morales i Villanueva scharakteryzowali kontinua płaszczyznowe połączone lokalnie, które dopuszczają co najmniej jeden wpisany prostokąt. W 2020 roku Joshua Evan Greene i Andrew Lobb udowodnili, że dla każdej gładkiej krzywej Jordana C i prostokąta R na płaszczyźnie euklidesowej istnieje prostokąt podobny do R , którego wierzchołki leżą na C. _ Uogólnia to zarówno istnienie prostokątów (o dowolnym kształcie), jak i istnienie kwadratów na gładkich krzywych, co jest znane od prac Šnirel'mana (1944) .
Niektóre uogólnienia problemu wpisanych kwadratów uwzględniają wpisane wielokąty dla krzywych, a nawet bardziej ogólne continua w wyższych wymiarach przestrzeni euklidesowych . Na przykład Stromquist udowodnił, że każda ciągła zamknięta krzywa C w Rn spełniająca „Warunek A”, że żadne dwie cięciwy C w odpowiednim sąsiedztwie dowolnego punktu nie są prostopadłe, dopuszcza wpisany czworobok o równych bokach i równych przekątnych . Ta klasa krzywych obejmuje wszystkie C 2 Krzywe. Nielsen i Wright udowodnili, że dowolne kontinuum symetryczne K w Rn zawiera wiele wpisanych prostokątów.
Dalsza lektura
- Klee, Wiktor ; Wagon, Stan (1991), „Wpisane kwadraty”, Stare i nowe nierozwiązane problemy w geometrii płaszczyzny i teorii liczb , The Dolciani Mathematical Expositions, tom. 11, Cambridge University Press, s. 58–65, 137–144, ISBN 978-0-88385-315-3
Linki zewnętrzne
- Mark J. Nielsen, Liczby wpisane w krzywe. Krótka podróż po starym problemie
- Wpisane kwadraty: Denne przemawia na blogu Jordana Ellenberga
- Grant Sanderson, Kogo obchodzi topologia? (Problem z wpisanym prostokątem) , 3Blue1Brown , YouTube a – film przedstawiający topologiczne rozwiązanie uproszczonej wersji problemu.