Proces Cayleya Ω

Ten artykuł dotyczy procesu matematycznego. Aby zapoznać się z przemysłowym procesem OMEGA, zobacz proces OMEGA .

W matematyce proces Ω Cayleya , wprowadzony przez Arthura Cayleya ( 1846 ), jest względnie niezmiennym operatorem różniczkowym na ogólnej grupie liniowej , który jest używany do konstruowania niezmienników działania grupowego .

Jako operator różniczkowy cząstkowy działający na funkcjach n ² zmiennych x _ij , operator omega jest dany przez wyznacznik

${\ Displaystyle \ Omega = {\ rozpocząć {vmatrix} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {11}}} & \ cdots & {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {1n}}} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\częściowe }{\częściowe x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\częściowe }{\częściowe x_{nn}}}\end{vmatrix }}.}$

Dla form binarnych f w x ₁ , y ₁ i g w x ₂ , y ₂ operatorem Ω jest ${\ Displaystyle {\ Frac { \częściowy ^{2}fg}{\częściowy x_{1}\częściowy y_{2}}}-{\frac {\częściowy ^{2}fg}{\częściowy x_{2}\częściowy y_{1}} }}$ . R - krotny proces Ω Ω ^r ( f , g ) na dwóch postaciach f i g w zmiennych x i y jest wtedy

1. Zamień f na postać w x ₁ , y ₁ i g na postać w x ₂ , y ₂
2. Zastosuj operator Ω r razy do funkcji fg , to znaczy f razy g w tych czterech zmiennych
3. Zamień x na x ₁ i x ₂ , y na y ₁ i y ₂ w wyniku

Wynik r -krotnego procesu Ω Ω ^r ( f , g ) na dwóch formach f i g jest również nazywany r - tym transwektantem i jest powszechnie zapisywany ( f , g ) ^r .

Aplikacje

Proces Ω Cayleya pojawia się w tożsamości Capellego , której Weyl (1946) użył do znalezienia generatorów dla niezmienników różnych klasycznych grup działających na naturalnych algebrach wielomianów.

Hilbert (1890) wykorzystał proces Ω Cayleya w swoim dowodzie skończonej generacji pierścieni niezmienników ogólnej grupy liniowej. Jego użycie procesu Ω daje wyraźny wzór na operatora Reynoldsa specjalnej grupy liniowej.

Proces Ω Cayleya jest używany do definiowania transwektantów .

• Cayley, Arthur (1846), „O przekształceniach liniowych” , Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 1 : 104–122 Przedruk w Cayley (1889), Zebrane artykuły matematyczne , tom. 1, Cambridge: Cambridge University Press, s. 95–112
•    Hilbert, David (1890), „Ueber die Theorie der algebraischen Formen”, Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503 , ISSN 0025-5831 , S2CID 179177713
•     Howe, Roger (1989), „Uwagi na temat klasycznej teorii niezmienników”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 313 (2): 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001418 , MR 0986027
•   Olver, Peter J. (1999), Klasyczna teoria niezmienników , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
•    Sturmfels, Bernd (1993), Algorytmy w teorii niezmienniczej , Teksty i monografie w obliczeniach symbolicznych , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0 , MR 1255980
•    Weyl, Hermann (1946), Klasyczne grupy: ich niezmienniki i reprezentacje , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , MR 0000255 , dostęp 26 marca 2007