tożsamość Capellego

W matematyce tożsamość Capelli , nazwana na cześć Alfredo Capelli ( 1887 ), jest analogiem formuły det( AB ) = det( A )det( B ), dla pewnych macierzy z wpisami niekomutującymi, związanych z teorią reprezentacji algebry Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ . Można go użyć do powiązania niezmiennika ƒ z niezmiennikiem Ω ƒ , gdzie Ω jest procesem Ω Cayleya .

Oświadczenie

Załóżmy, że x _ij dla i , j = 1,..., n są zmiennymi komutującymi. Napisz E _ij dla operatora polaryzacji

${\ Displaystyle E_ {ij} = \ suma _ {a = 1} ^ {n} x_ {ia} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {ja}}}.}$

Tożsamość Capellego stwierdza, że ​​następujące operatory różniczkowe, wyrażone jako wyznaczniki, są równe:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {vmatrix} E_ {11} + n-1 & \ cdots & E_ {1, n-1} i E_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ E_ {n- 1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\ end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix }}{\begin{vmatrix}{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{11}}}&\cdots &{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{1n}}}\\\vdots &\ ddots &\vdots \\{\frac {\częściowy}{\częściowy x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

Obie strony są operatorami różniczkowymi. Wyznacznik po lewej stronie zawiera wpisy niekomutujące i jest rozszerzany o wszystkie wyrazy zachowujące kolejność „od lewej do prawej”. Taki wyznacznik jest często nazywany wyznacznikem kolumny , ponieważ można go uzyskać przez rozwinięcie wyznacznika w kolumnie, zaczynając od pierwszej kolumny. Można to formalnie zapisać jako

${\ Displaystyle \ det (A) = \ suma _ {\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n },}$

gdzie w produkcie najpierw pojawiają się elementy z pierwszej kolumny, potem z drugiej i tak dalej. Wyznacznik po prawej stronie to proces omega Cayleya , a ten po lewej to wyznacznik Capellego.

Operatory E _ij można zapisać w postaci macierzowej:

${\ Displaystyle E = XD ^ {t},}$

mi ${\ Displaystyle E, X, D} są macierzami$ elementami _mi ja , x _ij , ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {ij}}}}$ odpowiednio. Jeśli wszystkie elementy w tych macierzach byłyby przemienne, to oczywiście ${\ Displaystyle \ det (E) = \ det (X) \ det (D ^ {t})}$ . Tożsamość Capellego pokazuje, że pomimo nieprzemienności istnieje „kwantyzacja” powyższego wzoru. Jedyną ceną za nieprzemienność jest niewielka poprawka: ${\ Displaystyle (ni) \ delta _ {ij}}$ po lewej stronie. Dla ogólnych nieprzemiennych formuł macierzowych, takich jak

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ det (B)}$

nie istnieją, a samo pojęcie „wyznacznika” nie ma sensu w przypadku ogólnych nieprzemiennych macierzy. Dlatego tożsamość Capelli wciąż kryje w sobie pewną tajemnicę, pomimo wielu przedstawionych na nią dowodów. Wydaje się, że bardzo krótki dowód nie istnieje. Bezpośrednia weryfikacja twierdzenia może być podana jako ćwiczenie dla n = 2, ale jest już długa dla n = 3.

Związki z teorią reprezentacji

Rozważ następujący nieco bardziej ogólny kontekst. Załóżmy, $że$ i $Displaystyle$ dwiema dla $=$$,$ , będą zmiennymi komutującymi. Zdefiniuj na nowo za pomocą prawie tego samego wzoru: ${\ displaystyle E_ {ij}}$

${\ Displaystyle E_ {ij} = \ suma _ {a = 1} ^ {m} x_ {ia} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {ja}}}.}$

z tą tylko różnicą, że indeks sumowania $displaystyle$ się w zakresie od $1}$ do ${\ displaystyle m}$ . Łatwo zauważyć, że takie operatory spełniają relacje komutacyjne:

${\ Displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = \ delta _ {jk} E_ {il} - \ delta _ {il} E_ {kj}. ~~~~~~~~}$

Tutaj ${\ Displaystyle [a, b]}$ oznacza komutator ${\ Displaystyle ab-ba}$ . Są to te same relacje komutacji $}}$ są spełnione przez macierze, które mają zera wszędzie z wyjątkiem pozycji, oznacza. mi ja jot $e_ {$ ( ${\ displaystyle e_ {ij}}$ są czasami nazywane jednostkami macierzowymi ). Stąd dochodzimy do wniosku, że zgodność definiuje reprezentację algebry Liego $e_ {ij} \ mapsto E_$$}} _ {n}}$${ \ Displaystyle \ pi$ w przestrzeni wektorowej wielomianów ${\ displaystyle x_ {ij}}$ .

Przypadek m = 1 i reprezentacja S ^k C ⁿ

Szczególnie pouczające jest rozważenie szczególnego przypadku m = 1; w tym przypadku mamy x _i1 , co oznacza się skrótem x _i :

${\ Displaystyle E_ {ij} = x_ {i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {j}}}.}$

W szczególności dla wielomianów pierwszego stopnia widać, że:

${\ Displaystyle E_ {ij} x_ {k} = \ delta _ {jk} x_ {i}. ~~~~~~~~~~~~~}$

$do$ działanie ograniczone przestrzeni wielomianów pierwszego rzędu jest dokładnie takie samo $jednostek$ na w ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ . Tak więc, z punktu widzenia teorii reprezentacji, podprzestrzeń wielomianów pierwszego stopnia jest podreprezentacją algebry Liego, którą utożsamiliśmy z reprezentacją standardową $\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ w do $\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ . Idąc dalej, widać, że operatory różniczkowe ${ \mathfrak {gl}}_{n}}$ stopień wielomianów, a zatem wielomiany każdego ustalonego stopnia tworzą podreprezentację $Liego$ sol l . Dalej widać, że przestrzeń jednorodnych wielomianów stopnia ${\ Displaystyle S ^ {k} \ mathbb {C}$ można utożsamiać z symetryczną potęgą tensorową standardowej reprezentacji do $} \displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ .

Można też łatwo zidentyfikować strukturę o największej wadze tych reprezentacji. Jednomian jest faktycznie wektorem o najwyższej wadze: ${1} ^ {k} =$ = $x_{1}^{k}$ for i < j. Its highest weight equals to (k, 0, ... ,0), indeed: $E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}$.

Taka reprezentacja jest czasami nazywana reprezentacją bozonową ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ . mi jot $\ częściowe} {\ częściowe \ psi _ {j}}}} definiują$ . reprezentacja fermionowa, tutaj $przeciwdziałającymi$ dojazdom do pracy. Ponownie wielomiany k -tego stopnia tworzą nieredukowalną podreprezentację, która jest izomorficzna z $Λ$ k $Displaystyle \ Lambda ^ {k} \ mathbb {C} ^ {n}}$$\mathbb {C} ^{n}}$ . Największa waga takiej reprezentacji to (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Te reprezentacje dla k = 1, ..., n są podstawowymi reprezentacjami sol ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}$ .

Tożsamość Capellego dla m = 1

Wróćmy do tożsamości Capellego. Można udowodnić, co następuje:

${\ Displaystyle \ det (E + (ni) \ delta _ {ij}) = 0, \ qquad n> 1}$

$}$ dla tej równości jest następująca: rozważ $\displaystyle x_{i}, p_{j}}$ dojeżdżające do pracy mi ja jot do $}$ . Macierz ma rząd jeden, a zatem jej wyznacznik jest $równy$ Elementy macierzy $.$ określone podobnymi wzorami, jednak jej elementy nie dojeżdżają do pracy Tożsamość Capellego pokazuje, że tożsamość przemienną: ${\ displaystyle \ det (E ^ {c}) = 0}$ można zachować za niewielką cenę $korygowania$ przez ${\ Displaystyle (ni) \ delta _ {ij}}$ .

Wspomnijmy też, że podobną tożsamość można podać dla wielomianu charakterystycznego:

${\ Displaystyle \ det (t + E + (ni) \ delta _ {ij })=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},~~~~}$

gdzie ${\ Displaystyle t ^ {[k]} = t (t + 1) \ cdots (t + k-1)}$ . Przemiennym odpowiednikiem tego jest prosty fakt, że dla macierzy rang = 1 wielomian charakterystyczny zawiera tylko pierwszy i drugi współczynnik.

Rozważmy przykład dla n = 2.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ rozpocząć {vmatrix} t + E_ {11} + 1 i E_ {12} \\ E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\częściowo _{1}+1&x_{1}\częściowo _{2}\\x_{ 2}\częściowa _{1}&t+x_{2}\częściowa _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\częściowa _{1}+1)( t+x_{2}\częściowe _{2})-x_{2}\częściowe _{1}x_{1}\częściowe _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t( x_{1}\częściowe _{1}+x_{2}\częściowe _{2})+x_{1}\częściowe _{1}x_{2}\częściowe _{2}+x_{2}\częściowe _{2}-x_{2}\częściowe _{1}x_{1}\częściowe _{2}\end{wyrównane}}}$

Za pomocą

${\ Displaystyle \ częściowe _ {1} x_ {1} = x_ {1} \ częściowe _{1}+1,\częściowe _{1}x_{2}=x_{2}\częściowe _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}}$

widzimy, że jest to równe:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {} \ quad t (t + 1) + t (x_ {1} \ częściowe _ {1} + x_ {2} \ częściowe _ {2}) + x_ {2} x_{1}\częściowy _{1}\częściowy _{2}+x_{2}\częściowy _{2}-x_{2}x_{1}\częściowy _{1}\częściowy _{2}-x_ {2}\częściowe _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\częściowe _{1}+x_{2}\częściowe _{2})=t^ {[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{wyrównane}}}$

Uniwersalna algebra obwiedni i jej środek ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {gl}} _ {n})}$

Interesującą właściwością wyznacznika Capellego jest to, że dojeżdża on ze wszystkimi operatorami mi _ij , czyli komutatorem ${\ Displaystyle [E_ {ij} ,\det(E+(ni)\delta _{ij})]=0}$ jest równe zeru. Można to uogólnić:

Rozważ dowolne elementy E _ij w dowolnym pierścieniu, tak aby spełniały relację komutacji ${\ Displaystyle [E_ {ij}, E_ { kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$ , (więc mogą to być operatory różniczkowe powyżej, jednostki macierzowe e _ij lub dowolne inne elementy) zdefiniuj elementy C _k jako co następuje:

${\ Displaystyle \ det (t + E + (ni) \ delta _{ij})=t^{[n]}+\suma _{k=n-1,\kropki ,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~}$

gdzie ${\ Displaystyle t ^ {[k]} = t (t + 1) \ cdots (t + k-1)}$

Następnie:

• elementy C _k dojazd ze wszystkimi elementami E _ij
• elementy C _k można podać wzorami podobnymi do przypadku przemiennego:

${\ Displaystyle C_ {k} = \ suma _ {I = (i_ {1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(ki)\delta _{ij})_{II},}$

tj. są sumami głównych mniejszych macierzy E , modulo poprawki Capellego ${\ Displaystyle + (ki) \ delta _ {ij}}$ . W szczególności element C ₀ jest rozważanym powyżej wyznacznikiem Capellego.

Twierdzenia te są powiązane z tożsamością Capellego, co zostanie omówione poniżej, i podobnie jak w przypadku prostego, krótkiego dowodu kilku linijek, wydaje się, że nie istnieje, pomimo prostoty sformułowania.

Uniwersalna algebra obwiedni

${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {gl}} _ {n})}$

można zdefiniować jako algebrę generowaną przez

E _ij

podlegają stosunkom

${\ Displaystyle [E_ {ij}, E_ {kl}] = \ delta _ {jk} E_ {il} - \ delta _{il}E_{kj}}$

sam. Powyższe twierdzenie pokazuje, że elementy do _k należą do środka U ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {gl}} _ {n})$ . Można wykazać, że w rzeczywistości są one darmowymi generatorami środka ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {gl}} _ {n})}$ . Nazywa się je czasami generatorami Capellego . Tożsamości Capelli dla nich zostaną omówione poniżej.

Rozważmy przykład dla n = 2.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {} \ quad {\ rozpocząć {vmatrix} t + E_ {11} + 1 i E_ {12} \\ E_ {21} i t + E_ {22} \ koniec {vmatrix}} & = (t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22}) +E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{wyrównane}}}$

Natychmiast można sprawdzić, czy ten element $}$ pracy z $\ Displaystyle (E_ {11} + E_ {22}$ . (Odpowiada to oczywistemu faktowi, że macierz jednostkowa komutuje się ze wszystkimi innymi macierzami). ${\ displaystyle E_ {ij}}$ jest sprawdzenie przemienności drugiego elementu za pomocą mi . Zróbmy to dla mi ${\ displaystyle E_ {12}$ :

${\ Displaystyle [E_ {12}, E_ {11} E_ {22} -E_ {21} E_ {12} + E_ {22}]}$

${\ styl wyświetlania =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}- E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]}$

${\ Displaystyle = -E_ {12} E_ {22} + E_ {11} E_ {12} - (E_ {11} -E_ {22}) E_ {12} -0 + E_ {12}}$

${\ Displaystyle = -E_ {12} E_ {22} + E_ {22} E_ {12} + E_ {12} =-E_{12}+E_{12}=0.}$

Widzimy, że naiwny wyznacznik nie będzie dojeżdżał z ${11} E_ {22} -E_ {21} E_$$} a$$jest niezbędna$ Capellego centralności.

Ogólne m i podwójne pary

Wróćmy do przypadku ogólnego:

${\ Displaystyle E_ {ij} = \ suma _ {a = 1} ^ {m} x_ {ia} {\ Frac {\ częściowy}} \częściowe x_{ja}}},}$

dla dowolnych n i m . $E$ operatorów E _ij można zapisać w postaci macierzowej: gdzie X $t}}$$=$ { z elementami ${\ displaystyle E_ {ij}}$ ; ${\ Displaystyle X}$ to macierz z elementami ${\ Displaystyle n \ razy m}$${\ Displaystyle x_ {ij}}$ ; ${\ Displaystyle D}$ to macierz z elementami ${\ Displaystyle n \ razy m} z elementami$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {ij}}}}$ .

Tożsamości Capellego-Cauchy'ego-Bineta

Dla ogólnego m macierz E jest dana jako iloczyn dwóch macierzy prostokątnych: X i transponowanej do D . Gdyby wszystkie elementy tych macierzy komutowały się , to wiadomo, że wyznacznik E można wyrazić tak zwaną formułą Cauchy'ego – Bineta poprzez drugorzędne X i D . Analog tego wzoru istnieje również dla macierzy E ponownie za tę samą łagodną cenę korekty ${\ Displaystyle E \ rightarrow (E + (ni) \ delta _ {ij} )}$ :

${\ Displaystyle \ det ( E+(ni)\delta _{ij})=\suma _{I=(1\równoważnik i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\równoważnik m)}\det(X_{I })\det(D_{I}^{t})}$ ,

W szczególności (podobnie jak w przypadku przemiennym): jeśli m < n , to ${\ Displaystyle \ det (E + (ni) \ delta _ {ij}) = 0}$ ; jeśli m = n wracamy do powyższej tożsamości.

Wspomnijmy również, że podobnie jak w przypadku przemienności (patrz Cauchy-Binet dla minorów ), można wyrazić nie tylko wyznacznik E , ale także jego minory przez minory X i D :

${\ styl wyświetlania \det(E+(si)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\równik i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\równoważnik m )}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})}$ ,

Tutaj K = ( k ₁ < k ₂ < ... < k _s ), L = ( l ₁ < l ₂ < ... < l _s ), są dowolnymi wielokrotnymi indeksami; jak zwykle $oznacza$ podmacierz M k _{za l b utworzoną} elementy Zwróć uwagę, że poprawka Capellego zawiera teraz s , a nie n jak w poprzednim wzorze. Zauważmy, że dla s=1 poprawka ( s − i ) znika i otrzymujemy tylko definicję E jako iloczynu X i transpozycji do D . Wspomnijmy również, że dla generycznych K,L odpowiednie drugorzędne nie komutują ze wszystkimi elementami E _ij , więc tożsamość Capellego istnieje nie tylko dla elementów centralnych.

Jako następstwo tego wzoru i wzoru na wielomian charakterystyczny z poprzedniego podrozdziału przypomnijmy, co następuje:

$\ Displaystyle \ det (t + E + (ni) \ delta _ {ij}) = t ^ {[n]} + \ suma _ {k = n-1, \ kropki, 0} t ^ {[k ]}\suma _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),}$

gdzie ${\ Displaystyle I = (1 \ równoważnik i_ {1}<\ cdots <i_ {k} \ równoważnik n),}$${\ Displaystyle J = (1 \ równoważnik j_ {1}<\ cdots <j_ {k} \ równoważnik n)}$ . Ten wzór jest podobny do przypadku przemiennego, modula ${\ Displaystyle + (ni) \ delta _ {ij}}$ po lewej stronie i t ^[n] zamiast t ⁿ po prawej stronie strona dłoni.

Stosunek do podwójnych par

Współczesne zainteresowanie tymi tożsamościami zostało znacznie pobudzone przez Rogera Howe'a , który uwzględnił je w swojej teorii redukcyjnych par podwójnych (znanej również jako dwoistość Howe'a). Aby nawiązać pierwszy kontakt z tymi pomysłami, przyjrzyjmy się dokładniej operatorom ${\ displaystyle E_ {ij}}$ . Takie operatory zachowują stopień wielomianów. Spójrzmy na wielomiany stopnia 1: ${\ Displaystyle E_ {ij} x_ {kl} = x_ {il} \ delta _ {jk}}$ , widzimy, zachowany jest indeks l . Widać, że z punktu widzenia teorii reprezentacji wielomiany pierwszego stopnia można utożsamiać z bezpośrednią sumą reprezentacji. do $\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ oplus \ cdots \ oplus \mathbb {C} ^{n}}$ , tutaj l -ta podprzestrzeń ( l = 1 ... m ) jest rozpięta przez ${\ Displaystyle x_ {il}}$ , ja = 1, ..., n . Spójrzmy jeszcze raz na tę przestrzeń wektorową:

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {C} ^ {n} \ otimes \ mathbb {C} ^ {m}.}$

Taki punkt widzenia daje pierwszy ślad symetrii między m i n . Aby pogłębić tę ideę, rozważ:

${\ Displaystyle E_ {ij} ^ {\ tekst {podwójny}} = \ suma _ {a = 1} ^ {n} x_ {ai} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {aj}}}.}$

${\ Displaystyle i \ leftrightarrow j} , stąd na podstawie tych$ podane przez te same formuły co modula renumeration $jot$ argumentów możemy wywnioskować, że ${dual}}}$$displaystyle E_$${ ij} ^ {\$ tworzą reprezentację algebry Liego w przestrzeni x _ij . Zanim przejdziemy dalej, możemy wspomnieć o następującej właściwości: operatory różniczkowe ${\ displaystyle E_ {ij} ^ {\ tekst {podwójny}}}$ dojeżdżają z operatorami różniczkowymi ${\ displaystyle E_ {kl}}$ .

Grupa Liego $\$ w przestrzeni wektorowej $^ {n}$ w naturalny sposób. Można pokazać, $że$ przez odpowiednio mi ${\ Displaystyle E_ {ij} ~~~~}$$ij} ^ {\ tekst {podwójny}}} .$ { To wyjaśnia przemienność tych operatorów.

Następujące głębsze właściwości faktycznie są prawdziwe:

• Jedynymi operatorami różniczkowymi, które dojeżdżają do pracy z $,$ są wielomiany w $}}$ i odwrotnie.
• $GL_ {n}}$ wielomianów na bezpośrednią sumę iloczynów tensorowych nieredukowalnych reprezentacji i można przedstawić następująco: $\$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {ij}] = S (\ mathbb {C} ^ {n} \ czasami \ mathbb {C} ^ {m}) = \ suma _ {D} \ rho _ {n }^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.}$

Sumy są indeksowane przez $diagramy$ re , a reprezentacje są wzajemnie nieizomorficzne. I diagram $D$ re $'}}$ i odwrotnie.

• $szczególności$ reprezentacja dużej grupy tylko raz

Łatwo zauważyć silne podobieństwo do dualizmu Schura – Weyla .

Uogólnienia

Wykonano wiele pracy nad tożsamością i jej uogólnieniami. Około dwóch tuzinów matematyków i fizyków przyczyniło się do tego tematu, by wymienić tylko kilku: R. Howe , B. Kostant Fields, medalista A. Okounkov , A. Sokal , D. Zeilberger .

Wydaje się, że historycznie pierwsze uogólnienia uzyskał Herbert Westren Turnbull w 1948 r., Który znalazł uogólnienie dla przypadku macierzy symetrycznych (patrz współczesne zabiegi).

Pozostałe uogólnienia można podzielić na kilka wzorców. Większość z nich opiera się na punkcie widzenia algebry Liego. Takie uogólnienia polegają na zmianie algebry Liego $.$ proste algebry Liego i ich ( q) oraz aktualne Jak również identyczność może być uogólniona dla różnych podwójnych par redukcyjnych . I wreszcie można rozważyć nie tylko wyznacznik macierzy E, ale jej permanent, ślad jej potęg i immanantów. Wspomnijmy jeszcze o kilku artykułach; wciąż lista referencji jest niepełna. Przez długi czas uważano, że tożsamość jest ściśle związana z półprostymi algebrami Liego. Co zaskakujące, nowe czysto algebraiczne uogólnienie tożsamości zostało znalezione w 2008 roku przez S. Caracciolo, A. Sportiello, AD Sokala, które nie ma nic wspólnego z algebrami Liego.

Tożsamość Turnbulla dla macierzy symetrycznych

Rozważ macierze symetryczne

${\ Displaystyle X = {\ rozpocząć {vmatrix} x_ {11}&x_ {12}&x_ {13}&\ cdots & x_ {1n}\\x_ {12}&x_ {22}&x_ {23}&\ cdots & x_ {2n }\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{ 3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{11}}}&{\frac {\częściowy}}{ \częściowe x_{12}}}&{\frac {\częściowe}}{\częściowe x_{13}}}&\cdots &{\frac {\częściowe}}{\częściowe x_{1n}}}\\[6pt] {\frac {\częściowy }{\częściowy x_{12}}}&2{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{22}}}&{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{23}}} &\cdots &{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{13}}}&{\frac {\częściowy}}{ \częściowe x_{23}}}&2{\frac {\częściowe}}{\częściowe x_{33}}}&\cdots &{\frac {\częściowe}}{\częściowe x_{3n}}}\\[6pt] \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{1n}}}&{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{2n}}}& {\frac {\częściowy }{\częściowy x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$

Herbert Westren Turnbull w 1948 roku odkrył następującą tożsamość:

${\ Displaystyle \ det (XD + (ni) \ delta _ {ij}) = \ det (X) \ det (D )}$

Dowód kombinatoryczny można znaleźć w artykule, inny dowód i zabawne uogólnienia w artykule, patrz także dyskusja poniżej.

Tożsamość Howe-Umeda-Kostant-Sahi dla macierzy antysymetrycznych

Rozważ macierze antysymetryczne

${\ Displaystyle X = {\ rozpocząć {vmatrix} 0&x_ {12}&x_ {13}&\ cdots & x_ {1n}\\-x_ {12}&0&x_ {23}&\ cdots & x_ {2n}\\-x_ {13 }&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}& \cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{12}}}}&{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{13} }}&\cdots &{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{12}}}&0&{\frac {\ częściowy }{\częściowy x_{23}}}&\cdots &{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{13 }}}&-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{1n}}}&-{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{2n}}} &-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.}$

Następnie

${\ Displaystyle \ det (XD + (ni) \ delta _ {ij}) = \ det (X) \ det (D).}$

Tożsamość Caracciolo – Sportiello – Sokala dla macierzy Manina

Rozważmy dwie macierze M i Y nad pewnym pierścieniem asocjacyjnym, które spełniają następujący warunek

${\ Displaystyle [M_ {ij}, Y_ {kl}] = - \ delta _ {jk} Q_ {il} ~~~~~}$

dla niektórych elementów Q _il . Albo „słownie”: elementy w j -tej kolumnie M komutują się z elementami w k -tym wierszu Y chyba że j = k , aw tym przypadku komutator elementów M _ik i Y _kl zależy tylko od i , l , ale nie zależy od k .

Załóżmy, że M jest macierzą Manina (najprostszym przykładem jest macierz z elementami komutującymi).

Następnie dla przypadku macierzy kwadratowej

${\ Displaystyle \ det (MY + Q \, \ operatorname {diag} (n-1, n-2, \ kropki, 1,0)) = \ det (M) \ det (Y). ~~~~~ ~~}$

Tutaj Q jest macierzą z elementami Q _il , a diag( n − 1, n − 2, ..., 1, 0) oznacza macierz diagonalną z elementami n − 1, n − 2, ..., 1, 0 na przekątnej.

Zobacz twierdzenie 1.2' wzór (1.15) strona 4, nasze Y jest transponowane do ich B .

Oczywiście tożsamość oryginalnego Cappeliego jest szczególnym przypadkiem tej tożsamości. Ponadto z tej tożsamości widać, że w oryginalnej tożsamości Capellego można uwzględnić elementy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy x_ {ij}}} + f_ {ij} (x_ {11} ,\kropki ,x_{kl},\kropki )}$

dla dowolnych funkcji f _ij i tożsamość nadal będzie prawdziwa.

Tożsamość Muchina – Tarasowa – Warchenko i model Gaudina

Oświadczenie

Rozważ macierze X i D jak w $ij$ Capellego, tj . $)$ elementami (

Niech z będzie kolejną zmienną formalną (dojazd z x ). Niech A i B będą pewnymi macierzami, których elementami są liczby zespolone.

${\ Displaystyle \ det \ lewo ({\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy _ {z}}} -AX {\ Frac {1} {zB }} D ^ {t} \ right)}$

${\ Displaystyle = {\ det} _ {{\ tekst {Umieść wszystko} }x{\text{ i }}z{\text{ po lewej stronie, podczas gdy wszystkie wyprowadzenia po prawej}}}^{\text{oblicz tak, jakby wszyscy dojeżdżali do pracy}}}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe}} {\ częściowe _ {z}}} -AX {\ Frac {1} {zB}} D ^ {t} \ prawej)}$

Tutaj pierwszy wyznacznik jest rozumiany (jak zawsze) jako wyznacznik kolumnowy macierzy z nieprzemiennymi wpisami. Wyznacznik po prawej stronie obliczamy tak, jakby wszystkie elementy dojeżdżały do ​​pracy, a wszystkie x i z umieszczamy po lewej stronie, a pochodne po prawej. (Taki przepis nazywa się w mechanice kwantowej uporządkowaniem knota ).

Całkowalny układ kwantowy Gaudina i twierdzenie Talalajewa

Macierz

${\ Displaystyle L (z) = A + X {\ Frac {1} {zB}} D ^ {t}}$

jest macierzą Laxa dla kwantowo całkowalnego systemu łańcuchów spinowych Gaudina. D. Talalaev rozwiązał istniejący od dawna problem jawnego rozwiązania pełnego zestawu kwantowych praw zachowania komutacji dla modelu Gaudina, odkrywając następujące twierdzenie.

Rozważać

${\ Displaystyle \ det \ lewo ({\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe _ {z}}} -L (z) \ prawej) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} H_ {i} ( z)\lewo({\frac {\częściowo}}{\częściowo _{z}}}\prawo)^{i}.}$

Wtedy dla wszystkich i, j, z, w

${\ Displaystyle [H_ {i} (z), H_ {j} (w)] = 0, ~~~~~~~~}$

tj. H _i ( z ) generują funkcje w z dla operatorów różniczkowych w x , z których wszyscy dojeżdżają do pracy. Zapewniają więc prawa zachowania kwantowych dojazdów do modelu Gaudina.

Permanenty, immananty, ślady – „wyższe tożsamości Capelli”

Oryginalna tożsamość Capellego jest stwierdzeniem o determinantach. Później znaleziono analogiczne tożsamości dla permanentów , immanantów i śladów. Oparta na metodzie kombinatorycznej praca SG Williamsona była jednym z pierwszych wyników w tym kierunku.

Tożsamość Turnbulla dla permanentów macierzy antysymetrycznych

Rozważmy macierze antysymetryczne X i D z elementami x _ij i odpowiadającymi im wyprowadzeniami, jak w przypadku tożsamości HUKS powyżej.

Następnie

${\ Displaystyle \ operatorname {perm} (X ^ {t} D- (ni) \ delta _ {ij}) = \ operatorname {perm} _ {{\ text {Umieść wszystko}} x {\ text {po lewej stronie , ze wszystkimi wyprowadzeniami po prawej stronie}}}^{\text{Oblicz tak, jakby wszyscy dojeżdżali do pracy}}(X^{t}D).}$

Zacytujmy: „… jest powiedziane bez dowodu na końcu artykułu Turnbulla”. Za Turnbullem podążają sami autorzy – na samym końcu artykułu piszą:

„Ponieważ dowód tej ostatniej tożsamości jest bardzo podobny do dowodu symetrycznego analogu Turnbulla (z lekkim przekręceniem), pozostawiamy go jako pouczające i przyjemne ćwiczenie dla czytelnika”.

Tożsamość jest głęboko analizowana w artykule.

Dalsza lektura

•   Capelli, Alfredo (1887), "Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen", Mathematische Annalen , Springer, 29 (3): 331–8, doi : 10.1007/BF01447728 , S2CID 120260817
•    Howe, Roger (1989), „Uwagi na temat klasycznej teorii niezmienników”, Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2): 539–570, doi : 10.2307/2001418 , JSTOR 2001418 , MR 0986027
•   Howe, Roger ; Umeda, Toruń (1991), „Tożsamość Capellego, twierdzenie o podwójnej komutacji i działania wolne od krotności”, Mathematische Annalen , 290 (1): 565–619, doi : 10.1007 / BF01459261 , S2CID 120894514
•    Umeda, Tôru (1998), „Tożsamości Capelli, sto lat później”, Wybrane artykuły dotyczące analizy harmonicznej, grup i niezmienników , Amer. Matematyka soc. Tłumacz. Ser. 2, tom. 183, Am. Matematyka Soc., s. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5 , MR 1615137
•    Weyl, Hermann (1946), Grupy klasyczne: ich niezmienniki i reprezentacje , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9 , MR 0000255