Różniczka kwadratowa

W matematyce różniczka kwadratowa na powierzchni Riemanna jest wycinkiem kwadratu symetrycznego holomorficznej wiązki kotangensów . Jeżeli przekrój jest holomorficzny , to różniczka kwadratowa nazywana jest holomorficzną. Przestrzeń wektorowa holomorficznych różniczków kwadratowych na powierzchni Riemanna ma naturalną interpretację jako przestrzeń cotangens do przestrzeni modułów Riemanna lub przestrzeni Teichmüllera .

Forma lokalna

$U$ kwadratową $gdzie$ dziedzinie w zespolonej można $}$$jako$ jest zmienną zespoloną i $funkcją$ o wartościach $na$ . Taka „lokalna” różniczka kwadratowa jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle f}$ jest holomorficzny . Biorąc $}$$definiuje różnicę kwadratową$ wykres $,$ powierzchni Riemanna i różnicę kwadratową na $displaystyle$ { \ $R$ odciągnięcie w płaszczyźnie zespolonej.

Związek z różniczkami abelowymi

Jeśli jest różniczką abelową $na$$.$ Riemanna, kwadratową

Pojedyncza struktura euklidesowa

Holomorficzna różniczka $określa$ metrykę Riemanna ${\ displaystyle | q |}$ na uzupełnieniu zer. Jeśli $_$$dziedzinie$ płaszczyźnie _ metryka to ${\ Displaystyle | f (z) | (dx ^ {2} + dy ^ {2})}$ , gdzie ${\ displaystyle z = x + iy}$ . Ponieważ jest holomorficzny, $krzywizna$ metryki wynosi zero. holomorficzna różniczka kwadratowa definiuje płaską metrykę na dopełnieniu zbioru $z$ , że ${\ displaystyle f (z) = 0}$ .

•   Kurt Strebel, Różniczki kwadratowe . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 5. Springer-Verlag, Berlin, 1984. xii + 184 s. ISBN 3-540-13035-7 .
•   Y. Imayoshi i M. Taniguchi, M. Wprowadzenie do przestrzeni Teichmüllera . Przetłumaczone i poprawione z wersji japońskiej przez autorów. Springer-Verlag, Tokio, 1992. xiv + 279 s. ISBN 4-431-70088-9 .
•   Frederick P. Gardiner, Teoria Teichmüllera i różniczki kwadratowe . Wiley-Interscience, Nowy Jork, 1987. xvii + 236 s. ISBN 0-471-84539-6 .