Równania Wasiliewa

Równania Wasiliewa są formalnie spójnymi równaniami nieliniowymi niezmiennymi z cechowania, których linearyzacja w określonym rozwiązaniu próżni opisuje swobodne bezmasowe pola o wyższym spinie w przestrzeni anty-de Sittera . Równania Wasiliewa są równaniami klasycznymi i nie zawierają Lagrange'a wiadomo, że zaczyna się od kanonicznego dwupochodnego Frønsdala Lagrange'a i jest uzupełniany terminami interakcji. Istnieje wiele odmian równań Wasiliewa, które działają w trzech, czterech i dowolnej liczbie wymiarów czasoprzestrzennych. Równania Wasiliewa dopuszczają supersymetryczne rozszerzenia z dowolną liczbą supersymetrii i dopuszczają Yanga-Millsa pomiary. Równania Wasiliewa są niezależne od tła, a najprostszym dokładnym rozwiązaniem jest przestrzeń anty-de Sittera. Należy zauważyć, że lokalność nie jest poprawnie zaimplementowana, a równania dają rozwiązanie pewnej formalnej procedury deformacji, którą trudno odwzorować na język teorii pola. AdS/CFT z wyższym spinem została omówiona w artykule Teoria wyższego spinu .

Równania Wasiliewa generują równania i dają równania różniczkowe w czasoprzestrzeni po rozwiązaniu ich kolejność po kolejności względem pewnych kierunków pomocniczych. Równania opierają się na kilku składnikach: nierozłożonych równaniach i algebrach o wyższym spinie.

Poniższa ekspozycja jest zorganizowana w taki sposób, aby rozbić równania Wasiliewa na bloki budulcowe, a następnie połączyć je w całość. Przykład czterowymiarowych równań bozonowych Wasiliewa jest szczegółowo omawiany, ponieważ wszystkie inne wymiary i supersymetryczne uogólnienia są prostymi modyfikacjami tego podstawowego przykładu.

• definicja algebry o wyższym spinie jest podana, ponieważ równania teorii o wyższym spinie okazują się równaniami dla dwóch ciał przyjmujących wartości w algebrze o wyższym spinie;
• zdefiniowany jest konkretny produkt gwiezdny, w którym pola wchodzące do równań Wasiliewa przyjmują wartości;
• część równań Wasiliewa jest związana z interesującą deformacją oscylatora harmonicznego, zwaną zdeformowanymi oscylatorami , która została omówiona;
• omówiono podejście rozwinięte, które jest nieco zaawansowaną formą zapisu równań różniczkowych w postaci pierwszego rzędu ;
• podane są równania Wasiliewa ;
• udowodniono, że linearyzacja równań Wasiliewa w przestrzeni anty-de Sittera opisuje swobodne bezmasowe pola o wyższym spinie.

Znane są trzy warianty równań Wasiliewa: czterowymiarowe, trójwymiarowe i d-wymiarowe. Różnią się drobnymi szczegółami, które omówiono poniżej.

Algebry o wyższym spinie

Algebry o wyższym spinie to globalne symetrie multipletu teorii o wyższym spinie. Jednocześnie można je zdefiniować jako globalne symetrie niektórych konforemnych teorii pola (CFT), które leżą u podstaw kinematycznej części korespondencji AdS/CFT o wyższym spinie , która jest szczególnym przypadkiem AdS/CFT . Inna definicja mówi, że algebry o wyższym spinie są ilorazami uniwersalnej algebry obwiedniowej algebry anty-de Sittera ${\ Displaystyle tak (d, 2)}$ przez pewne dwustronne ideały. Istnieje kilka bardziej skomplikowanych przykładów algebr o wyższym spinie, ale wszystkie można uzyskać przez tensorowanie najprostszych algebr o wyższym spinie za pomocą algebr macierzowych, a następnie nałożenie dalszych ograniczeń. Algebry o wyższym spinie powstają jako algebry asocjacyjne , a algebrę Liego można skonstruować za pomocą komutatora.

W przypadku czterowymiarowej bozonowej teorii wyższego wirowania odpowiednia algebra wyższego wirowania jest bardzo prosta dzięki ${\ textstyle so (3,2) \ sim sp(4,\mathbb {R} )}$ i może być zbudowany na dwuwymiarowym kwantowym oscylatorze harmonicznym . W tym drugim przypadku dwie pary operatorów kreacji/unicestwienia ${\textstyle a_ {1}, a_ {1} ^ {\ sztylet}, a_ {2}, a_ {2} ^ {\ sztylet}}$ są potrzebne. Można je upakować w kwartet $komutacji$ operatorów przestrzegających kanonicznych relacji

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {Y}} ^ {A}, {\ kapelusz {Y}} ^ {B}] = 2iC ^ {AB$

gdzie $,$ s $textstyle sp (4)$ . Jak dobrze wiadomo, dwuliniowe zapewniają realizację oscylatora ${\ textstyle sp (4)}$ :

${\ Displaystyle T ^ {AB} = - {\ Frac {i} {4}} \ {{\ kapelusz {Y}} ^ {A}, {\ kapelusz {Y}} ^ {B} \} \ ,, \qquad [T^{AB},T^{CD}]=T^{AD}C^{BC}+{\text{3 jeszcze}}\,.}$

Algebra o wyższym spinie jest zdefiniowana jako algebra wszystkich parzystych funkcji ${\ textstyle f ({\ hat {Y}}), f ({\ kapelusz {Y}}) = f (- {\ kapelusz {Y}})}$ w ${\ textstyle {\ kapelusz {Y}} ^ {A}}$ . To, że funkcje są parzyste, jest zgodne z zawartością bozonową teorii wyższych spinów jako ${\ textstyle {\ hat {Y}} ^ {A}}$$jest$ z czasoprzestrzennego punktu widzenia, a nawet potęgi odpowiadają tensorom. Jest to algebra asocjacyjna, a iloczyn jest wygodnie realizowany przez iloczyn gwiazdowy Moyala :

${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) (Y) = f (Y)\exp i\left({{\frac {\overleftarrow {\częściowe}}{\częściowe Y^{A}}}C^{AB}{\frac {\overrightarrow {\częściowe}}{\częściowe Y^{B}}}}\right)g(Y)\,,}$

$f (Y)$ że algebrę operatorów można zastąpić algebrą funkcji ${$ zwykłych dojazdach zmienne ${\textstyle {Y}^{A}}$ (czapki z głów), a iloczyn należy zastąpić nieprzemiennym iloczynem gwiazdowym. Znajduje się na przykład

${\ Displaystyle (Y ^ {A} \ gwiazda g) (Y) = (Y ^ {A} + iC ^ {AB} \ częściowe _ {B}) g (Y) \ ,, \ qquad (f \ gwiazda Y ^{B})(Y)=(Y^{B}-iC^{BA}\częściowa _{B})f(Y)\,,}$

a zatem $\ textstyle Y ^ {A} \ gwiazda Y ^ {B} -Y ^ {B} \ star Y^{A}=[Y^{A},Y^{B}]_{\star }=2iC^{AB}}, tak jak w$ przypadku operatorów. W praktyce bardziej przydatna jest inna reprezentacja tego samego produktu gwiezdnego:

${\ Displaystyle (f \ gwiazda g) (Y) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int dUdVf (Y + U) g (Y + V) e ^ {iU_ { A}V_{B}C^{AB}}\,.}$

Formułę wykładniczą można wyprowadzić, całkując przez części i usuwając wyrazy brzegowe. Prefaktor jest tak dobrany, aby zapewnić ${\ Displaystyle 1 \ star 1 = 1}$ . W kowariantnej bazie Lorentza możemy podzielić ${\ textstyle A = \ alfa , {\ kropka {\ alfa}}; \ alfa = 1,2; {\ kropka {\ alfa}} = 1,2}$ i podzieliliśmy również ${\ Displaystyle Y ^ {A} = y ^ {\ alfa}, y ^ {\ kropka {\ alfa}}}$ . Wtedy generatory Lorentza to ${\ textstyle L ^ {\ alfa \ beta} = T ^ {\ alfa \ beta}}$ , ${\ textstyle { \bar {L}}^{{\dot {\alpha}}{\dot {\beta}}}=T^{{\dot {\alpha}}{\dot {\beta}}}} i$ tłumaczenie generatory to ${\ textstyle P ^ {\ alfa {\ kropka {\ beta}}} = T ^ {{\ alfa} {\ kropka {\ beta}}}}$ . π ${\ textstyle \ pi}$ -automorfizm można zrealizować na dwa równoważne sposoby: albo jako $\ textstyle \ pi (y ^ {\ alpha })=-y^{\alpha},\pi (y^{\dot {\alpha}})=y^{\dot {\alpha}}} lub$ jako ${\ textstyle \ pi (y ^ {\ alfa}) = Y ^ {\ alfa}, \ pi (y ^ {\ kropka { \alpha}})=-y^{\dot {\alpha}}}$ . W obu przypadkach pozostawia generatory Lorentza nietknięte i odwraca znak translacji.

Można pokazać, że skonstruowana powyżej algebra o wyższym spinie jest algebrą symetrii trójwymiarowego równania Kleina – Gordona . ${\ Displaystyle \ kwadrat _ {3} \ phi (x) = 0$ } Biorąc pod uwagę bardziej ogólne wolne CFT, np. liczbę skalarów plus liczbę fermionów, pole Maxwella i inne, można skonstruować więcej przykładów algebr o wyższym spinie.

Produkt gwiazdorski Wasiliewa

Równania Wasiliewa są równaniami w pewnej większej przestrzeni wyposażonej w kierunki pomocnicze do rozwiązania. Dodatkowe kierunki są podane przez podwójne ${\textstyle {Y}^{A}}$ , zwane ${\textstyle {Z}^{A}}$ , które są ponadto splątane z Y . Iloczyn gwiezdny na algebra funkcji w in $\ textstyle {Y}, Z} - zmienne to fa ( Y , Z )$$, Z)$ \ textstyle

${\ Displaystyle F (Y, Z) \ gwiazda G (Y, Z) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {4}}} \ int dU \, dV \, F (Y + U, Z+U)G(Y+V,ZV)\exp {[iU_{A}V_{B}C^{AB}]}\,.}$

Powyższy wzór całkowy jest szczególnym iloczynem gwiezdnym, który odpowiada uporządkowaniu Weyla między Y i Z, z przeciwnymi znakami dla komutatora:

${\ Displaystyle [Y ^ {A}, Y ^ {B}] = 2iC ^ {AB} \ ,, \ qquad \ qquad [Z ^ {A}, Z ^ {B}] = -2iC ^ {AB} \ ,.}$

Co więcej, iloczyn gwiazdowy YZ jest uporządkowany normalnie względem YZ i Y+Z, jak widać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F (a, a ^ {\ sztylet}) \ gwiazda G (a, a ^ {\ sztylet })&={\frac {1}{(2\pi)^{4}}}\int dU\,dV\,F(a+2U,a^{\sztylet})G(a,a^{ \sztylet }+2V)\exp {[iU_{A}V_{B}C^{AB}]}\,,&\quad a=Y+Z\,,a^{\sztylet }=YZ\end{ wyrównany}}}$

Algebra o wyższym spinie jest podalgebrą asocjacyjną w algebrze rozszerzonej. Zgodnie z projekcją bozonową jest dana przez ${\ Displaystyle f (Y, Z) = f (-Y, - Z)}$ .

Zdeformowane oscylatory

Zasadnicza część równań Wasiliewa opiera się na interesującej deformacji kwantowego oscylatora harmonicznego , znanego jako zdeformowane oscylatory. Przede wszystkim spakujmy zwykłe operatory tworzenia i anihilacji $α$$,\alfa =1,2}$ = $alfa} \$ . Kanoniczne relacje komutacji (the ${\ textstyle 2i}$ -wprowadzono współczynniki ułatwiające porównanie z równaniami Wasiliewa)

${\ Displaystyle \ lewo [q_ {\ alfa}, q_ {\ beta} \ prawo] = -2i \ epsilon _{\alpha \beta}\,,\qquad \epsilon _{\alpha \beta}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,,}$

${\ Displaystyle q _ {\ alfa}}$ tworzą $)}$ { 2

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T _ {\ alfa \ beta} & = {\ Frac {i} {4}} \ {q_ {\ alfa}, q_ {\ beta} \} \ ,, \\\ lewo [T_{\alpha \beta },q_{\gamma }\right]&=q_{\alpha }\epsilon _{\beta \gamma }+q_{\beta }\epsilon _{\alpha \gamma }\, ,\\\left[T_{\alpha \beta },T_{\gamma \delta }\right]&=T_{\alpha \delta }\epsilon _{\beta \gamma }+T_{\beta \delta } \epsilon _{\alpha \gamma }+T_{\alpha \gamma }\epsilon _{\beta \delta }+T_{\beta \gamma }\epsilon _{\alpha \delta }\,.\end{wyrównane }}}$

$\$ szczególności obraca się jako z $Displaystyle T _ {$$alfa \$${\ Displaystyle \ epsilon _ {\ alfa \ beta}}$ w roli s $\ Displaystyle sp (2)}$ -niezmienna metryka. Zdeformowane oscylatory są definiowane przez dodanie zestawu generatorów z dodatkowym elementem generującym i postulowanie ${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle \ {q_ {\ alfa}, Q \} = 0 \,, \ qquad \ lewo [q_ {\ alfa}, q_ {\ beta} \ prawej] = -2i \ epsilon _ {\ alfa \ beta} (1+Q)\,.}$

${\ Displaystyle$ widać, że , jak zdefiniowano powyżej, tworzą ${\alfa}}$ się odpowiednio $alfa \ beta}$$_ {$ . W ${\ displaystyle Q = 0}$ wracamy do niezdeformowanych oscylatorów. W rzeczywistości ${\ Displaystyle q_ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle T _ {\ alfa \ beta}}$ tworzą generatory superalgebry Lie ${\ Displaystyle osp (1 | 2)}$$,$ gdzie postrzegać jako generatory nieparzyste Wtedy ${\ Displaystyle \ {q_ {\ alfa}, q_ {\ beta} \} = - 4iT_ {\ alfa \ beta}} jest częścią$ definiującą relacje ${\ Displaystyle osp (1 | 2)}$ . Jedna (lub dwie) kopie zdeformowanych relacji oscylatorów stanowią część równań Wasiliewa, w których generatory są zastępowane polami, a relacje komutacji są narzucane jako równania pól.

Rozłożone równania

Równania pól o wyższym spinie wywodzą się z równań Wasiliewa w postaci rozłożonej. Dowolny zestaw równań różniczkowych można zapisać w postaci pierwszego rzędu, wprowadzając pola pomocnicze do oznaczenia pochodnych. Podejście rozłożone jest zaawansowanym przeformułowaniem tej idei, które uwzględnia symetrie cechowania i dyfeomorfizmy. ∂ ${\ textstyle \ częściowe _ {\ mu} \ phi ^ {i} (x) = f_ {\ mu} ^ {i} (\ phi$ rozłożone równania są zapisane w języku form różniczkowych jako

${\ Displaystyle dW ^ {A} = F ^ {A} (W) \,,}$

gdzie zmienne są postaciami różniczkowymi ${\ textstyle W ^ {A} = W _ {\ mu _ {1} ... \ mu _ {q}} ^ {A} (x) \, dx ^ {\ mu _ {1} }\klin ...\klin dx^{\mu _{q}}}$ różnych stopni, wyliczane przez indeks abstrakcyjny ${\textstyle A}$ ; ${\ textstyle d}$ jest pochodną zewnętrzną ${\ textstyle d = dx ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu}}$ . Zakłada się ${\ textstyle F ^ {A} (W)}$ funkcja struktury jest rozszerzalna w szeregu Taylora iloczynu zewnętrznego jako fa

${\ Displaystyle F ^ {A} (W) = \ suma _ {q_ {1} +... + q_ {n} = q + 1} F_ {B_ {1}... B_ { n}}^{A}W^{B_{1}}\klin ...\klin W^{B_{n}}\,,}$

gdzie $textstyle W ^ {A}}$$,$ ma stopień formy a suma dotyczy wszystkich form, których stopnie formy sumują się do ${\ textstyle q+1}$ . Najprostszym $_$ _ tworzą połączenie dowolnej algebry Liego ${\ textstyle \ omega}$${\ textstyle {\ mathfrak {g}}}$ . Tutaj ${\ textstyle A}$ przebiega przez podstawę algebry Liego, a funkcja strukturalna ${\ textstyle F ^ {A} (\ omega) = f_ { BC}^{A}\,\omega ^{A}\wedge \omega ^{B}}$ koduje stałe strukturalne algebry Liego.

Ponieważ spójność rozwiniętych równań wymaga ${\ textstyle dd \ równoważnik 0}$

${\ Displaystyle 0 \ równoważnik ddW ^ {A} = dF ^ {A} (W) = dW ^ {B} {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy W ^ {B}}} F ^ {A} (W )=F^{B}{\frac {\częściowy }{\częściowy W^{B}}}F^{A}(W)\qquad \longleftrightarrow \qquad F^{B}{\frac {\częściowy} {\częściowe W^{B}}}F^{A}(W)=0\,,}$

co jest warunkiem całkowalności Frobeniusa . W przypadku równania krzywizny zerowej jest to po prostu tożsamość Jacobiego. Gdy system jest całkowalny, można wykazać, że ma pewne symetrie cechowania. Każde pole $ma$ niezerowego stopnia, parametr miernika $W$ który jest formą stopnia. $textstyle W ^ {A}}$${\ textstyle q-1}$ i przekształcenia cechowania są

${\ Displaystyle \ delta W ^ {A} = d \ xi ^ {A} + \ xi ^ {B} {\ Frac {\ częściowe }{\częściowe W^{B}}}F^{A}(W)}$

która składa się z postaci jednopostaciowej $przy$$postaci$ zerowej , czym oba przyjmują wartości w algebrze wyższego wirowania Dlatego ${\ Displaystyle W ^ {A} = (\ omega, C)}$ i ${\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {\ mu} (Y | x) dx ^ {\ mu}, \ omega (Y | x) = \ omega (-Y | x )}$ , ${\ Displaystyle C = C (Y | x), C (Y | x) = C (-Y | X)}$ . Rozwinięte równania opisujące interakcje pól o wyższym spinie to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d \ omega & = \ omega \ gwiazda \ omega + {\ mathcal {V}} (\ omega, \ omega, C) + {\ mathcal {V}} (\ omega, \omega ,C,C)+...\,,\\dC&=\omega \star CC\star \pi (\omega)+{\mathcal {V}}(\omega,C,C)+.. .\,,\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ textstyle {\ mathcal {V}} (\ omega, ..., C)}$ to wierzchołki interakcji, które są coraz wyższego rzędu w do $\ textstyle C }$ -pole. Iloczyn w algebrze o wyższym spinie jest oznaczony przez ${\ displaystyle \ star}$ . Wyraźną postać wierzchołków można wyprowadzić z równań Wasiliewa. Wierzchołki, które są dwuliniowe w polach, są określane przez algebrę o wyższym spinie. automorfizm ${\ textstyle \ pi}$ jest indukowany przez automorfizm algebry anty-de Sittera , która odwraca znak tłumaczeń, patrz poniżej. Jeśli odetniemy wyższe rzędy w $,$ równania są po prostu warunkiem zerowej krzywizny dla połączenia algebry o wyższym spinie i kowariantnym równaniem stałości dla zera ${\ textstyle \ omega}$ -forma , która przyjmuje wartości w reprezentacji skręcone-sprzężone (skręt jest $przez$ automorfizm $textstyle \ pi}$ ).

Zawartość pola

Zawartość pola w równaniach Wasiliewa jest określona przez trzy pola, z których wszystkie przyjmują wartości w rozszerzonej algebrze funkcji w Y i Z:

• W $\ Displaystyle W = W_ {\ mu} (Y, Z | x) \, dx ^ {\ mu}}$ , którego wartość przy Z = 0 daje $} (Y | x) \, dx ^ {\ mu}}$ mu . Projekcja bozonowa implikuje ${\ Displaystyle W (Y, Z | x) = W (-Y, -Z | x)}$ ;
• b ${\ Displaystyle B = B (Y, Z | x)} , którego wartość przy$ = 0 daje postać zerową algebry o wyższym spinie ${\ Displaystyle C = C (Y | x)}$ . Projekcja bozonowa implikuje ${\ Displaystyle B (Y, Z | x) = B (-Y, -Z | x)}$ ;
• pole pomocnicze ${\ Displaystyle S = S_ {A} (Y, Z | x) \, dZ ^ {A}}$ , gdzie czasami warto je zobaczyć jako jednoformę w pomocniczej przestrzeni Z, stąd różniczki: ${\ Displaystyle dZ ^ {A} \ klin dZ ^ {B} = - dZ ^ {B} \ klin dZ ^ {A} \,.}$

To pole można wyeliminować podczas rozwiązywania zależności Z. Projekcja bozonowa dla $S_ {A} (- Y, - Z | x)}$$-polowego$ to ${\ Displaystyle S_ {A} (Y, Z | x) =$$przenoszony$ ze względu na dodatkowy indeks , który ostatecznie jest przez Y, Z.

Aby uniknąć nieporozumień spowodowanych formami różniczkowymi w pomocniczej przestrzeni Z i ujawnić związek ze zdeformowanymi oscylatorami, równania Wasiliewa są zapisane poniżej w postaci składowej. Równania Wasiliewa można podzielić na dwie części. Pierwsza część zawiera tylko równania krzywizny zerowej lub kowariantnej stałości:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dW & = W \ gwiazda W \,,\\dB&=W\star BB\star \pi (W)\,,\\dS_{A}&=W\star S_{A}-S_{A}\star W\,,\end{ wyrównany}}}$

gdzie automorfizm algebry o wyższym spinie jest rozszerzony na pełną algebrę jako ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ pi (W) (y _ {\ alfa}, y _ {\ kropka {\ alfa}}, z _ {\ alfa}, z _ {\ kropka {\ alfa$

dwie ostatnie formy są równoważne ze względu na projekcję bozonową nałożoną na ${\ Displaystyle W (Y, Z | X)}$ ​​.

Dlatego pierwsza część równań sugeruje, że w przestrzeni x nie ma nietrywialnej krzywizny, ponieważ $jest$ . Druga część sprawia, że ​​​​system jest nietrywialny i określa krzywiznę połączenia pomocniczego: ${\ displaystyle S}: S {\ displaystyle S$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo [S_ {A}, S_ {B} \ prawej] _ {\ gwiazda} i = - 2i {\ rozpocząć {bmatrix} \ epsilon _{\alpha \beta }(1+B\star \varkappa )&0\\0&\epsilon _{{\dot {\alpha}}{\dot {\beta }}}(1+B\star {\bar {\varkappa }})\end{bmatrix}}\,,\\\{B\star \varkappa ,S_{\alpha}\}_{\star }&=0\,,\\\{B\star {\bar {\varkappa}},S_{\kropka {\alpha}}\}_{\gwiazda}&=0\,,\end{wyrównane}}}$

gdzie wprowadzono dwa operatory Kleina

${\ Displaystyle \ varkappa = \ exp {iy_ {\ alfa} z ^ {\ alfa}} \ ,, \ qquad {\ bar {\varkappa}}=\exp {iy_ {\kropka {\alfa}}z ^{\kropka {\alfa}}}}$

Istnienie operatorów Kleina ma ogromne znaczenie dla systemu. Zdają sobie sprawę z $wewnętrznego$ jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varkappa \ gwiazda f (y _ {\ alfa}, y _ {\ kropka {\ alfa}}, z _ {\ alfa}, z _ {\ kropka {\ alfa}}) \ gwiazda \ varkappa &=f(-y_{\alpha},y_{\dot {\alpha}},-z_{\alpha},z_{\dot {\alpha}})\,,\qquad &&\varkappa \star \ varkappa =1\,,\\{\bar {\varkappa}}\star f(y_{\alpha},y_{\kropka {\alpha}},z_{\alpha},z_{\dot {\alpha} })\star {\bar {\varkappa}}&=f(y_{\alfa},-y_{\kropka {\alfa}},z_{\alfa},-z_{\kropka {\alfa}}) \,,\qquad &&{\bar {\varkappa }}\star {\bar {\varkappa}}=1\,.\end{wyrównane}}}$

Innymi słowy, operator Kleina ${$ się jak $N_ {y} + N_ {z}}}$ , czyli anty- komutuje do funkcji nieparzystych i komutuje do funkcji parzystych w y, z.

Te równania 3+2 są równaniami Wasiliewa dla czterowymiarowej bozonowej teorii wyższego spinu. Kilka komentarzy jest w porządku.

• Algebraiczna część systemu po rozbiciu na składowe ${\ Displaystyle A = \ alfa, {\ kropka {\ alfa}}; \ alfa = 1,2; {\ kropka {\ alfa}} = 1,2}$ zgodnie z wyborem ${\ Displaystyle sp (4)}$ -metryczny

${\ Displaystyle C_ {AB} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ epsilon _ {\ alfa \ beta} i 0 \\ 0 i \ epsilon _ {{\ kropka {\ alfa}} {\ kropka {\ beta }}}\end{bmacierz}}}$

staje się równoważne dwóm kopiom zdeformowanych oscylatorów wzajemnie komutujących się:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {lll} \ lewo [S _ {\ alfa}, S _ {\ beta} \ prawej] = -2i \ epsilon _ {\ alfa \ beta} (1 + B \ star \varkappa )&\left[S_{\alpha },S_{\dot {\beta }}\right]=0&\{B\star \varkappa ,S_{\alpha}\}_{\star }=0 \\\left[S_{\dot {\alpha}},S_{\beta}\right]=0&\left[S_{\dot {\alpha}},S_{\dot {\beta}}\right] =-2i\epsilon _{{\dot {\alpha}}{\dot {\beta}}}(1+B\star {\bar {\varkappa}})&\{B\star {\bar {\ varkappa }},S_{\dot {\alpha }}\}_{\star }=0\end{array}}}$

Zatem dwa ostatnie równania są równoważne relacjom definicyjnym dwóch kopii ${\ Displaystyle osp (1 | 2)}$ z ${\ Displaystyle S _ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle S _ {\ kropka {\ alfa}}}$ w roli generatorów nieparzystych i z ${\ Displaystyle B \ gwiazda \ varkappa}$ i ${\ Displaystyle B \ gwiazda {\ bar {\ varkappa}}}$ w roli deformacji. ponieważ ${\ Displaystyle B}$ jest taki sam dla obu egzemplarzy, nie są one niezależne, co nie psuje spójności.

• System jest spójny. Spójność pierwszych trzech równań jest oczywista, ponieważ są to równania o zerowej krzywiźnie / kowariantnej stałości. Spójność dwóch ostatnich równań wynika ze zdeformowanych oscylatorów. Wzajemna spójność dwóch części równań wynika z faktu, że skręcona kowariantna stałość pola - $jest$ równoważna zwykłej kowariantnej stałości albo $Displaystyle B \ star \ varkappa}$ lub ${\ Displaystyle B \ gwiazda {\ bar {\ varkappa}}}$ . Rzeczywiście,

${\ Displaystyle d (B \ gwiazda \ varkappa) - [W, (B \ gwiazda \ varkappa)] = (dB-W \ gwiazda B + B \ gwiazda \ varkappa \ gwiazda W$

Displaystyle $varkappa =1}$ i jego związek $z$ . Następnie $;$ anulować, ponieważ jest odwracalny

• re Równania są niezmienne względem cechowania. ${\ Displaystyle \ xi = \ xi (Y, Z | x)}$ to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ delta W & = d \ xi - [W, \ xi] _ {\ gwiazda} \\\ delta B & = \ xi \ gwiazda BB \ gwiazda \pi (\xi)\\\delta S_{A}&=\xi \star S_{A}-S_{A}\star \pi (\xi)\end{wyrównane}}}$

• Równania są niezależne od tła i należy określić pewną próżnię, aby dać interpretację zlinearyzowanego rozwiązania
• Najprostszym dokładnym rozwiązaniem jest pusta przestrzeń anty-de Sittera:

${\ Displaystyle W = \ Omega = {\ Frac {1} {2}} \ varpi ^ {\ alfa \ alfa} L _ {\ alfa \ alfa} + h ^ {\ alfa {\ kropka {\ alfa}}} P_ {\alpha {\dot {\alpha}}}+{\frac {1}{2}}\varpi ^{{\dot {\alpha}}{\dot {\alpha}}}{\bar {L} }_ {{\dot {\alpha}}{\dot {\alpha}}}\,,\qquad B=0\,,\qquad S_{A}=Z_{A}\,,} gdzie$

Ω $}$$\ displaystyle \$$tłumaczeń$ płaskie połączenie algebry anty-de Sittera, a składowe wzdłuż generatorów Lorentza $} {\ kropka {\ alfa}}}} i vierbein h$ α $Displaystyle h ^ {{\ alfa }{\ kropka {\ alfa }}}}$ odpowiednio. Ważne jest, aby $- miało nietrywialną wartość próżni,$${\ Displaystyle [Z_ {A}, Z_ {B}] _ {\ gwiazda} = -2iC_ {AB}}$ jest rozwiązaniem ze względu na i fakt, że ${\ displaystyle B = 0}$ .

• Równania Wasiliewa zlinearyzowane względem próżni anty-de Sittera opisują wszystkie swobodne bezmasowe pola spinowe s=0,1,2,3,..., co wymaga pewnych obliczeń i jest pokazane poniżej.

Linearyzacja

Aby udowodnić, że linearyzowane równania Wasiliewa rzeczywiście opisują swobodne, bezmasowe pola o wyższym spinie, musimy wziąć pod uwagę zlinearyzowane fluktuacje w próżni anty-de Sittera. Przede wszystkim bierzemy dokładne rozwiązanie, w którym jest $S_{A}=Z_{A}}$ anty-de Sittera i $Omega}$$Ω$$W$ i dodaj fluktuacje

${\ Displaystyle W = \ Omega + w \,, \ qquad B = 0 + 2ib \,, \ qquad S_ {A} = Z_ {A} + 2is_ {A} \,.}$

Następnie linearyzujemy równania Wasiliewa

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dw- \ Omega \ gwiazda ww \ gwiazda \ Omega & = 0 \,, \\ db- \ Omega \ gwiazda b + b \ gwiazda \ pi (\ Omega) i = 0 \, ,\\ds_{A}-\Omega \star s_{A}+s_{A}\star \Omega &=\częściowa _{A}w\,,\\\częściowa _{A}b&=0\, ,\\\częściowe _{\alpha }s_{\beta}-\częściowe _{\beta }s_{\alpha}&=\epsilon _{\alpha \beta}b\star \varkappa \,,\\\ częściowe _{\kropka {\alpha}}s_{\kropka {\beta}}-\częściowe _{\kropka {\beta}}s_{\kropka {\alpha}}&=\epsilon _{{\kropka { \alpha }}{\dot {\beta}}}b\star {\bar {\varkappa}}\,,\\\częściowe _{\alpha}s_{\kropka {\beta}}-\częściowe _{ \dot {\beta }}s_{\alpha}&=0\,,\end{wyrównane}}}$

Powyżej użyto kilka razy, że ${\ textstyle [Z ^ {A}, f (Z)] _{\gwiazda}=-2i\częściowe _{A}f(Z),\częściowe _{A}\equiv {\frac {\częściowe}}{\częściowe Z^{A}}}}$ , tj. wartość próżni pola S działa jako pochodna pod komutatorem. Wygodnie jest podzielić czteroskładnikowe Y, Z na zmienne dwuskładnikowe jako $Displaystyle Y ^ {A} = (y^{\alfa},y^{\kropka {\alfa}}),Z^{A}=(z^{\alfa},z^{\kropka {\alfa}})}$ . Inną sztuczką zastosowaną w czwartym równaniu jest odwracalność operatorów Kleina:

${\ Displaystyle \ {b \ gwiazda \ varkappa, z _ {\ alfa} \} = b \ gwiazda \ varkappa \ gwiazda z _ {\ alfa} + z _ {\ alfa} \ gwiazda b \ gwiazda \ varkappa = (b \ gwiazda \ varkappa \star z_{\alpha }\star \varkappa +z_{\alpha }\star b)\star \varkappa =[z_{\alpha },b]\star \varkappa \,.}$

Piąte równanie Wasiliewa jest teraz podzielone na trzy ostatnie równania powyżej.

Analiza zlinearyzowanych fluktuacji polega na rozwiązywaniu kolejno równań we właściwej kolejności. Przypomnijmy, że oczekuje się znalezienia rozwiniętych równań dla dwóch pól: jednopostaciowych ${\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {\ mu} (Y | x) dx ^ {\ mu }} i$$\ Displaystyle C = C (Y | x)$ zerowej do = do . Z czwartego równania wynika, że ${\ displaystyle b}$ nie zależy od pomocniczego kierunku Z. Dlatego można zidentyfikować ${\ Displaystyle b = C (Y | x)}$ . Drugie równanie natychmiast prowadzi do

${\ Displaystyle \ nabla C + ih ^ {\ alfa {\ kropka {\ alfa}}} \ left(y_{\alpha}y_{\kropka {\alpha}}-{\frac {\częściowe ^{2}}{\częściowe y^{\alpha}\częściowe y^{\dot {\alpha}}} }\right)C=0\,,}$

gdzie $kowariantną$ pochodną Lorentza

${\ Displaystyle \ nabla = d- \ varpi ^ {\ alfa \ beta} \ lewo (y _ {\ alfa} {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy y ^ {\ beta}}} + y_ {\ beta}} \frac {\częściowy }{\częściowy y^{\alpha}}}\right)-...}$

$gdzie$ ... oznacza termin podobny pierwszego. Kowariantna pochodna Lorentza pochodzi ze zwykłego działania komutatora części spinowo-połączeniowej ${\ displaystyle \ Omega}$ . Termin z vierbein wynika z $wytwarza$ antykomutator ${\ Displaystyle h ^ {\ alfa {\ kropka {\ alfa}}} \ lewo \ {P _ {\ alfa {\ kropka {\ alfa}}}, \ punktor \ prawo \} _ {\ gwiazda} }$ .

Aby odczytać treść równania C należy je rozwinąć w Y i przeanalizować składowe równania C

${\ Displaystyle C = \ suma _ {k + m = {\ tekst {parzysty}}} C _ {\ alfa _ {1} ... \ alfa _ {k}, {\ kropka {\ alfa}} _ {1 }...{\kropka {\alpha}}_{m}}(X)\,y^{\alpha_{1}}...y^{\alpha _{k}}\,y^{ {\kropka {\alfa}}_{1}}...y^{{\kropka {\alfa}}_{m}}}$

Następnie można zobaczyć, że różne komponenty mają następującą interpretację:

• Pierwszym składnikiem $_$ Ten obok niego jest $wyrażony na$ skalara. Jedno z równań składowych narzuca równanie Kleina – Gordona ${\ Displaystyle (\ kwadrat -2) C (x) = 0}$ , gdzie stała kosmologiczna jest równa jeden. Składowe z równą liczbą indeksów kropkowanych i niekropkowanych są wyrażone jako pochodne na powłoce skalarnej

${\ Displaystyle C _ {\ alfa _ {1} ... \ alfa _ {k}, {\ kropka {\ alfa}} _ {1}... {\ kropka {\ alfa} }_{k}}(x)\,h_{\mu _{1}}^{\alpha _{1}{\dot {\alpha}}_{1}}...h_{\mu _{ k}} ^ {\alpha _{k}{\dot {\alpha}}_{k}}\sim \nabla _{\mu _{1}}...\nabla _{\mu _{k} }C(x)}$

• ${\ Displaystyle C _ {\ alfa \ beta}, C _ {{\ kropka {\ alfa}} {\ kropka {\ beta}}}} są samodualne i anty-$ dualne składowe tensora Maxwella ${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$ . Równanie C nakłada równania Maxwella. Składowe o k+2=m i k=m+2 są pochodnymi na powłoce tensora Maxwella;
• ${\ Displaystyle C _ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta}, C _ {{\ kropka {\ alfa}} {\ kropka {\ beta}}} {$ to samodualne i antysamodualne składowe tensora Weyla do $\ nu, \ lambda \ rho }}$ . Równanie C narzuca tożsamości Bianchiego dla tensora Weyla. Składowe o k+4=m i k=m+4 są pochodnymi na powłoce tensora Weyla;
• ${\ Displaystyle C _ {\ alfa _ {1}... \ alfa _ {2s}}, C _ {{\ kropka {\ alfa}} _ {1}... {\ kropka {\ alfa} }_{2s}}}$ to samodualne i antysamodualne składowe uogólnienia tensora Weyla o wyższym spinie. Równanie C narzuca tożsamości Bianchiego, a składowe o k+2s=m i k=m+2s są pochodnymi na powłoce tensora Weyla o wyższym spinie;

Ostatnie trzy równania można uznać za równania postaci ${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ mu = \ nu, \ operatorname {d} \ nu = 0}$ gdzie ${\ displaystyle \mathrm {d} }$ jest pochodną zewnętrzną w przestrzeni form różniczkowych w przestrzeni Z. Takie równania można rozwiązać za pomocą lematu Poincarego . Ponadto trzeba wiedzieć, jak pomnożyć przez operatora Kleina z prawej strony, co łatwo wyprowadzić ze wzoru całkowego na iloczyn gwiezdny:

${\ Displaystyle f (y_ {\ alfa}, z _ {\ beta}) \ gwiazda \ varkappa = f (-z _ {\ alfa}, -y _ {\ beta}) \ varkappa \,.}$

Oznacza to, że wynikiem jest zamiana połowy zmiennych Y i Z oraz odwrócenie znaku. Rozwiązanie ostatnich trzech równań można zapisać jako

${\ Displaystyle s_ {\ alfa} = z _ {\ alfa} \ int _ {0 }^{1}t\,dt\,C(-zt,{\bar {y}})e^{ity^{\alpha }z_{\alpha }}+\partial _{\alpha }\epsilon \ ,,}$

gdzie istnieje podobny wzór dla ${\ Displaystyle s _ {\ kropka {\ alfa}}}$ . Tutaj ostatnim terminem jest niejednoznaczność cechowania, tj. swoboda dodawania dokładnych form w przestrzeni Z i ${\ Displaystyle \ epsilon = \ epsilon (Y, Z | x)}$ . Można to ocenić tak, aby mieć ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ alfa} \ epsilon = 0}$ . Następnie podstawiamy rozwiązanie do trzeciego równania, które jest tego samego typu, czyli równania różniczkowego pierwszego rzędu w przestrzeni Z. Jego ogólne rozwiązanie jest ponownie podane przez lemat Poincarego

${\ Displaystyle w = \ omega + Z ^ {A} \ int _ {0 }^{1}dt\,f_{A}(zt)\,,\qquad f_{A}=dS_{A}-[\Omega,S_{A}]_{\star }\,,}$

gdzie $całkowania$ w przestrzeni Z, - To właśnie ta stała całkowania ma być utożsamiana z jednoformą, jak sama nazwa wskazuje. ${\ Displaystyle \ omega (Y | x)}$ Po pewnej algebrze można znaleźć

${\ Displaystyle w = \ omega + \ int _ {0} ^ {1} dt (1-t) \ lewo (t \ varpi ^ {\ alfa \ beta} z _ {\ alfa} z_ {\ beta} -ih ^ {\alpha {\dot {\alpha}}}z_{\alpha}}z_{\alpha}{\frac {\częściowy}}{\częściowy y^{\kropka {\alpha}}}}\right)C(-z_{\gamma} t,y_{\kropka {\gamma}})e^{ity^{\delta}z_{\delta}}+...}$

gdzie ponownie porzuciliśmy termin z wymienionymi indeksami z kropkami i bez kropek. Ostatnim krokiem jest podstawienie rozwiązania do pierwszego równania do znalezienia

${\ Displaystyle \ nabla \ omega -h ^ {\ alfa {\ kropka {\ alfa}}} \ lewo (y _ {\ alfa} {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy y ^ {\ kropka {\ alfa}} }}+y_{\kropka {\alpha}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy y^{\alfa}}}\right)\omega =-{\frac {1}{2}}h_{\ gamma }{} ^ {\dot {\alpha}}\klin h^{\gamma {\dot {\beta}}}{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy y^{\dot {\ alpha }}\częściowe y^{\kropka {\beta}}}}C(0,y_{\kropka {\delta}})+...}$

i ponownie pominięto drugi wyraz po prawej stronie. Ważne jest, aby $nie$$połączenie$ to połączenie płaskie, podczas gdy płaskie. Aby przeanalizować ${\ displaystyle \ omega}$$-$ przydatne jest rozwinięcie w Y

${\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {k + m = {\ tekst {parzysty}}} \ omega _ {\ alfa _ {1}... \ alfa _ {k}, {\ kropka {\ alfa}} _{1}...{\kropka {\alfa}}_{m}}(X)\,y^{\alfa_{1}}...y^{\alfa _{k}}\, y ^ {{\ kropka {\ alfa }}_ {1}}... y ^ {{\ kropka {\ alfa }}_ {m}}}$

Treść równania jest następująca: ${\ displaystyle \ omega}$

• Składowe diagonalne o k=m to vierbeiny o wyższym spinie, których składową całkowicie symetryczną można utożsamić z polem Fronsdala jako

${\ Displaystyle h _ {\ mu _ {1}} ^ {\ alfa _ {1} {\ kropka {\ alfa}} _ {1}} ... h _ {\ mu _ {s-1}} ^ {\alpha _{s-1}{\dot {\alpha}}_{s-1}}\,\omega _{\mu _{s}|\alpha _{1}...\alpha _{ s-1},{\dot {\alpha}}_{1}...{\dot {\alpha}}_{s-1}}\sim \Phi _{\mu _{1}... \mu _{s}}}$

gdzie implikowana jest symetria po lewej stronie;

• Można pokazać, że równanie narzuca równania Fronsdala dla s = 2,3,4,... ω $\ displaystyle \ omega}$ Równania Maxwella i równania Kleina – Gordona dla składowych s = 1 i s = 0 multipletu znajdują się w równaniu C;
• Inne składowe wyrażono jako pochodne na powłoce pola Fronsdala;
• $równania$ wyższym spinie określa odpowiednią składową pola C poprzez prawą stronę .

Podsumowując, przestrzeń anty-de Sittera jest dokładnym rozwiązaniem równań Wasiliewa i po jej linearyzacji można znaleźć rozłożone równania, które są równoważne równaniom Fronsdala dla ciał o s=0,1,2,3,... .

Inne wymiary, rozszerzenia i uogólnienia

• istnieje ważna możliwość wprowadzenia swobodnego parametru w równaniach czterowymiarowych, co jest związane z łamaniem parzystości. Jedyne potrzebne modyfikacje to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ll} \ lewo [S _ {\ alfa}, S_ {\ beta} \ prawej] = - 2i \ epsilon _ { \alpha \beta }(1+e^{i\theta }B\star \varkappa )&\left[S_{\dot {\alpha }},S_{\kropka {\beta }}\right]=-2i \epsilon _{{\dot {\alpha}}{\dot {\beta}}}(1+e^{-i\theta}B\star {\bar {\varkappa}})\end{array}} }$

Ten wolny parametr odgrywa ważną rolę w korespondencji AdS/CFT o wyższym wirowaniu . Teoria przy ${\ Displaystyle \ theta = 0, \ pi / 2}$ jest niezmiennikiem parzystości;

Można $_$ dowolną $theta$ _ $_ \ gwiazda \ varkappa}$ w pierwszym równaniu powyżej i ${\ Displaystyle B \ gwiazda {\ bar {\ varkappa}}}$ w drugim, co nie burzy spójności równań.

• można wprowadzić grupy Yanga-Millsa, pozwalając, aby pola przyjmowały wartości w iloczynie tensorowym algebry YZ z algebrą macierzową, a następnie nakładając obcięcia, aby uzyskać o $\ styl wyświetlania o(N),u(N),usp(N)}$ ;
• omówione powyżej czterowymiarowe równania można rozszerzyć o supersymetrie. Trzeba rozszerzyć algebrę YZ o dodatkowe elementy typu Clifforda

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ xi _ {i}, \ xi _ {j} \ prawo \} = 2 \ delta _ {ij}}$

tak, że pola są teraz funkcją współrzędnych czasoprzestrzennych ${\ Displaystyle Y, Z, \ xi} .$ Składowe pól muszą mieć odpowiednią statystykę spinową. Równania należy nieco zmodyfikować.

Istnieją również równania Wasiliewa w innych wymiarach:

• w trzech wymiarach istnieje minimalna teoria wyższych spinów i jej rozwój, znany jako teoria Prokuszkina-Wasiliewa, która opiera się na jednoparametrowej rodzinie algebr wyższych spinów (zwykle rodzina jest oznaczana jako h $\ displaystyle hs(\lambda )}$ ), a także pozwala na supersymetryczne rozszerzenia;
• istnieją równania Wasiliewa, które działają w dowolnym wymiarze czasoprzestrzennym. Widmo teorii składa się ze wszystkich pól o spinach całkowitych (a nawet tylko).

Równania są bardzo podobne do równań czterowymiarowych, ale istnieją pewne ważne modyfikacje w definicji algebry, w której pola przyjmują wartości, aw przypadku d-wymiarowym istnieją dalsze ograniczenia.

Rozbieżności między równaniami Wasiliewa a teoriami wyższych spinów

Istnieje wiele wad/cech równań Wasiliewa, które zostały ujawnione w ciągu ostatnich lat. Po pierwsze, klasyczne równania ruchu, np. równania Wasiliewa, nie pozwalają na rozwiązywanie problemów wymagających działania, z których najbardziej podstawowym jest kwantyzacja. Po drugie, istnieją rozbieżności między wynikami uzyskanymi z równań Wasiliewa a wynikami innych sformułowań teorii wyższych spinów, z korespondencji AdS/CFT lub z perspektywy ogólnej teorii pola. Większość rozbieżności można przypisać założeniom zastosowanym przy wyprowadzaniu równań: niezmienność cechowania jest oczywista, ale lokalność nie została odpowiednio narzucona, a równania Wasiliewa są rozwiązaniem pewnego problemu formalnej deformacji. Praktycznie rzecz biorąc, ogólnie nie wiadomo, jak wydobyć z równań wierzchołki interakcji teorii wyższego spinu.

Większość badań dotyczy czterowymiarowych równań Wasiliewa. Poprawka do równań swobodnego spinu-2 spowodowana tensorem naprężenia pola skalarnego została wyodrębniona z czterowymiarowych równań Wasiliewa i okazała się być

${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = Re (b_ {1} ^ {2}) \ lewo [\ suma _ {k} \ lewo (\ xi _ {k} g_{\mu \nu }\nabla _{\rho (k+1)}\phi \nabla ^{\rho (k+1)}\phi +\eta _{k}\nabla _{\mu \rho (k)}\phi \nabla ^{\rho (k)}{}_{\nu }\phi +\zeta _{k}\nabla _{\mu \nu \rho (k)}\phi \nabla ^{\rho (k)}\phi \right)-{\frac {4}{9}}g_{\mu \nu }\phi ^{2}\right]}$

gdzie ${\ textstyle \ nabla _ {\ rho (k)} \ phi = '\ nabla _ {\ rho _ {1}} ... \ nabla _ {\ rho _ {k} }\phi +{\text{symetryzacja}}-{\text{ślady}}'}$ to pochodne symetryczne z odjętymi śladami. Najważniejsza informacja zawarta jest we współczynnikach ${\ textstyle \ xi _ {k}, \ eta _ {k}, \ zeta _ {k}}$ iw prefaktorze ${\ textstyle Re (b_ {1} ^ {2}) }$ , gdzie ${\ textstyle b_ {1} = \ exp [i \ theta ]}$ jest wolnym parametrem równań, patrz Inne wymiary, rozszerzenia i uogólnienia . Należy zauważyć, że zwykły tensor naprężeń ma nie więcej niż dwie pochodne i wyrazy ${\ displaystyle k> 0}$ nie są niezależne (na przykład przyczyniają się do tego samego $\ textstyle \ langle T_ {ab} j_ {0} j_ {0} \ rangle}$ AdS / CFT trzy -funkcja punktowa). Jest to ogólna właściwość teorii pola polegająca na tym, że można dokonywać nieliniowych (a także wyższych pochodnych) redefinicji pola, a zatem istnieje nieskończenie wiele sposobów zapisania tego samego wierzchołka interakcji na poziomie klasycznym. Kanoniczny tensor naprężeń ma dwie pochodne, a terminy z pochodnymi zakontraktowanymi można z nim powiązać za pomocą takich redefinicji.

Zaskakującym faktem, który zauważono, zanim zdano sobie sprawę z jego niezgodności z AdS/CFT, jest to, że tensor naprężeń może zmieniać znak $szczególności$ Sugerowałoby to, że odpowiednia funkcja korelacji $-$ co nie przypadek.

Najważniejsze i szczegółowe testy przeprowadzono znacznie później. Najpierw wykazano, że niektóre trzypunktowe funkcje AdS/CFT, otrzymane z równań Wasiliewa, okazują się nieskończone lub niezgodne z AdS/CFT, podczas gdy inne są zgodne. $,$ w języku równań odpowiadają a nieskończoności / ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} (\ omega, C, C)}$ . Warunki pierwszego typu są lokalne i są ustalane przez wyższą algebrę spinową. Wyrazy drugiego typu mogą być nielokalne (po rozwiązaniu perturbacyjnym pole główne $funkcją$ generującą nieskończenie wiele pochodnych pól o wyższym spinie). Te nielokalizacje nie występują w teoriach o wyższym spinie, jak widać z wyraźnego działania sześciennego.

Zaobserwowano dalsze nieskończoności, nielokalizacje lub brakujące struktury. Niektóre z tych testów badają rozszerzenie hipotezy Klebanowa-Polyakova na teorie materii Cherna-Simonsa, w których struktura funkcji korelacji jest bardziej skomplikowana i występują pewne warunki parzystości. Niektóre z tych struktur nie zostały odtworzone przez równania Wasiliewa. Ogólna analiza równań Wasiliewa drugiego rzędu wykazała, że ​​​​dla dowolnych trzech ustalonych spinów człon interakcji jest nieskończonym szeregiem pochodnych (podobnie jak ${\ displaystyle k}$ -suma powyżej); wszystkie wyrazy w serii przyczyniają się do tej samej funkcji trzypunktowej AdS/CFT, a udział jest nieskończony. Wszystkie problemy można przypisać założeniom zastosowanym przy wyprowadzaniu równań Wasiliewa: nie narzucono ograniczeń co do liczby pochodnych w wierzchołkach interakcji lub, bardziej ogólnie, lokalności, co jest ważne dla uzyskania sensownych wierzchołków interakcji, patrz np. Noether Procedura . Problem, jak narzucić lokalność i wyodrębnić wierzchołki interakcji z równań, jest obecnie przedmiotem aktywnych badań.

Jak pokrótce wspomniano w Inne wymiary, rozszerzenia i uogólnienia, istnieje możliwość wprowadzenia nieskończenie wielu dodatkowych stałych sprzężenia, które wchodzą poprzez współczynnik fazowy ${\ Displaystyle \ teta (x) = \ teta _ {0} + \ teta _ {2} x ^ {2} + ...}$ . Jak zauważono, drugi taki współczynnik ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ wpłynie na pięciopunktowe funkcje korelacji AdS/CFT, ale nie trzypunktowe, co wydaje się pozostawać w sprzeczności z wynikami uzyskanymi bezpośrednio z nałożenia wyższej symetrii spinowej na funkcje korelacji. Później wykazano, że wyrazy w równaniach, które wynikają z ${\ displaystyle \ theta _ {2,4,...}}$ są zbyt nielokalne i prowadzą do nieskończonego wyniku dla funkcji korelacji AdS/CFT.

W trzech wymiarach równania Prokuszkina-Wasiliewa, które mają opisywać oddziaływania pól materii z polami o wyższym spinie w trzech wymiarach, również podlegają wspomnianemu problemowi lokalności. Na przykład perturbacyjne poprawki drugiego rzędu do tensorów naprężeń pól materii prowadzą do nieskończonych funkcji korelacji. Istnieje jednak inna rozbieżność: widmo równań Prokuszkina-Wasiliewa zawiera, oprócz pól materii (skalarnych i spinorowych) oraz pól o wyższym spinie, zbiór pól niefizycznych, które nie mają żadnej interpretacji teorii pola, ale oddziałują z polami fizycznymi.

Dokładne rozwiązania

Ponieważ równania Wasiliewa są dość skomplikowane, znanych jest niewiele dokładnych rozwiązań

• jak już pokazano, istnieje ważne rozwiązanie --- pusta przestrzeń anty-de Sittera, której istnienie pozwala interpretować zlinearyzowane fluktuacje jako bezmasowe pola wszystkich spinów;
• w trzech wymiarach znalezienie przestrzeni anty-de Sittera jako dokładnego rozwiązania dla wszystkich wartości parametru $;$ się nietrywialnym problemem, ale jest znany
• istnieje rozwiązanie czterowymiarowych równań typu ściany domenowej;
• istnieje rodzina rozwiązań równań czterowymiarowych, które są interpretowane jako czarne dziury, chociaż metryka przekształca się pod wpływem przekształceń o wyższym spinie iz tego powodu trudno polegać na zwykłej definicji horyzontu itp.;
• w przypadku trójwymiarowości występuje konsekwentne obcięcie, które oddziela pole skalarne od pól o wyższym spinie, które opisuje teoria Cherna-Simonsa. W tym przypadku dowolne płaskie połączenie algebry o wyższym spinie jest rozwiązaniem dokładnym i było wiele prac nad tą podklasą;

Zobacz też

• Korespondencja AdS / CFT # Teorie wyższego wskaźnika spinu
• Równania pola Einsteina
• Formalizm Cartana (fizyka)
• Połączenie spinowe
• Równanie Diraca w zakrzywionej czasoprzestrzeni
• Zmierzona supergrawitacja
• Supergrawitacja
• Teoria Yanga-Millsa

Notatki

Opinie

•   Wasiliew, MA (1996). „Teorie cechowania o wyższym spinie w czterech, trzech i dwóch wymiarach”. International Journal of Modern Physics D. 05 (6): 763–797. arXiv : hep-th/9611024 . Bibcode : 1996IJMPD...5..763V . doi : 10.1142/S0218271896000473 . S2CID 119436825 .
• Wasiliew, MA (2004). „Wyższe teorie cechowania wirowania w różnych wymiarach”. Fortschritte der Physik . 52 (67): 702–717. arXiv : hep-th/0401177 . Bibcode : 2004ForPh..52..702V . doi : 10.1002/prop.200410167 .
•    Wasiliew, Michaił (2000). „Teorie wyższego wskaźnika wirowania: gwiezdny produkt i przestrzeń reklamowa”. TEORIE WYŻSZEGO WSKAŹNIKA WIRÓW: GWIAZDOWY PRODUKT I PRZESTRZEŃ NA REKLAMY . Wiele twarzy superświata . s. 533–610. arXiv : hep-th/9910096 . Bibcode : 2000mfsw.book..533V . doi : 10.1142/9789812793850_0030 . ISBN 978-981-02-4206-0 . S2CID 15804505 .
• Bekaert, X.; Cnockaert, S.; Iazeolla, C.; Wasiliew, MA (2005). „Nieliniowe teorie o wyższym spinie w różnych wymiarach”. arXiv : hep-th/0503128 .
•   Bekaert, X.; Boulanger, N.; Sundell, P. (2012). „Jak grawitacja o wyższym spinie przekracza barierę drugiego spinu: twierdzenia no-go kontra przykłady tak-go”. Recenzje współczesnej fizyki . 84 (3): 987. arXiv : 1007.0435 . Bibcode : 2012RvMP...84..987B . doi : 10.1103/RevModPhys.84.987 . S2CID 113405741 .
• Didenko, VE; Skvortsov, ED (2014). „Elementy teorii Wasiliewa”. arXiv : 1401.2975 [ hep-th ].