Równanie Diraca w zakrzywionej czasoprzestrzeni

W fizyce matematycznej równanie Diraca w zakrzywionej czasoprzestrzeni jest uogólnieniem równania Diraca z płaskiej czasoprzestrzeni ( przestrzeń Minkowskiego ) do zakrzywionej czasoprzestrzeni, ogólnej rozmaitości Lorentza .

Sformułowanie matematyczne

Czas, przestrzeń

$ogólności$ można zdefiniować na rozmaitości $pseudo -riemanna, ale$ ograniczamy się do rozmaitości pseudo- z podpisem ${\ Displaystyle (- +++)}$ . Metryka jest określana jako lub w abstrakcyjnej notacji indeksowej ${\ displaystyle g_ {ab$ $}$ }

Pola ramki

Używamy zestawu pól vierbein lub ramek ${\ Displaystyle \ {e_ {\ mu} \} = \ {e_ {0}, e_ {1} , e_ {2}, e_ {3} \}}$ , które są zbiorem pól wektorowych (które niekoniecznie są zdefiniowane globalnie na ${\ displaystyle M}$ ). Ich równanie definiujące to

{\ Displaystyle g_ {ab} e_ {\ mu} ^ {a} e_ {\ nu} ^ {b} = \ eta _ {\ mu \ nu}.}

Vierbein definiuje lokalną ramkę spoczynkową , pozwalając stałym macierzom Gamma działać w każdym punkcie czasoprzestrzeni.

W języku różniczkowo-geometrycznym vierbein jest odpowiednikiem sekcji wiązki ramek , a więc definiuje lokalną trywializację wiązki ramek.

Połączenie spinowe

Do zapisania równania potrzebujemy jeszcze związku spinowego , zwanego też związkiem (1-). Pola z podwójną ramką mają definiującą relację ${\ Displaystyle \ {e ^ {\ mu} \}}$

{\ Displaystyle e_ {a} ^ {\ mu} e_ {\ nu} ^ {a} = \ delta ^ {\ mu} {} _ {\ nu}.}

Połączenie 1-form jest wtedy

{\ Displaystyle \ omega ^ {\ mu} _ {\ nu a}: = e_ {b} ^ {\ mu} \ nabla _ {a} e_ {\nu}^{b}}

gdzie $pochodną$ lub równoważnie wyborem połączenia na wiązce ramek, najczęściej uważanym za połączenie Levi - Civita .

Należy uważać, aby nie traktować abstrakcyjnych indeksów łacińskich i greckich jako takich samych, a ponadto zauważyć, że żaden z nich nie jest indeksem współrzędnych: można zweryfikować, że ω μ ν $\ omega ^ {\ mu} }_{\nu a}}$ nie przekształca się jako tensor przy zmianie współrzędnych.

Matematycznie pola ramki definiują izomorfizm w każdym punkcie ${ p} M}$ $displaystyle$ $zdefiniowane$ z przestrzeni stycznej do ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1,3}}$ . Następnie indeksy abstrakcyjne oznaczają przestrzeń styczną, podczas gdy indeksy greckie oznaczają . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1,3}$ } Jeśli pola ramki są zależne od pozycji, to indeksy greckie niekoniecznie przekształcają się tensorycznie pod wpływem zmiany współrzędnych.

Podnoszenie i obniżanie $się$ za $łacińskich$ indeksów greckich

Formę połączenia można postrzegać jako bardziej abstrakcyjne połączenie na wiązce głównej , w szczególności na wiązce ramowej , która jest zdefiniowana na dowolnej gładkiej rozmaitości, ale która ogranicza się do ortonormalnej wiązki ramek na rozmaitościach pseudoriemannowskich.

Forma połączenia w odniesieniu do pól ramki $zdefiniowanych lokalnie jest$ , połączeniem w odniesieniu do lokalnej trywializacji

algebry Clifforda

Podobnie jak w przypadku równania Diraca dotyczącego płaskiej czasoprzestrzeni, korzystamy z algebry Clifforda, zestawu czterech macierzy gamma satysfakcjonujących ${\ Displaystyle \ {\ gamma ^ {\ mu} \}}$

{\ Displaystyle \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}}

gdzie ${\ Displaystyle \ {\ cdot, \ cdot \}}$ jest antykomutatorem .

Można ich użyć do skonstruowania reprezentacji algebry Lorentza: definiowania

{\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = - {\ Frac {i} {4 }}[\gamma ^{\mu},\gamma ^{\nu}]=-{\frac {i}{2}}\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}+{\frac { i}{2}}\eta ^{\mu \nu }}

,

gdzie ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$ jest komutatorem .

Można pokazać, że spełniają one relacje komutacji algebry Lorentza:

{\ Displaystyle [\ sigma ^ {\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }]=(-i)(\sigma ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-\sigma ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\sigma ^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-\sigma ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma })}

Dlatego są generatorami reprezentacji algebry Lorentza ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (1,3)}$ . Ale nie generują reprezentacji grupy Lorentza ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3)},$ $3$ algebry rotacji ale nie ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (3)}$ . W rzeczywistości tworzą reprezentację ${\ Displaystyle {\ text {Spin}} (1,3).}$ Jest to jednak standardowe nadużycie terminologii w stosunku do wszelkich reprezentacji algebry Lorentza jako reprezentacji grupy Lorentza, nawet jeśli nie powstają one jako reprezentacje grupy Lorentza grupa Lorentza.

Przestrzeń reprezentacji jest izomorficzna $przestrzenią$ . W klasyfikacji reprezentacji grup Lorentza reprezentacja jest oznaczona jako ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1} {2}}, 0 \ prawej) \ oplus \ lewo (0 ,{\frac {1}{2}}\right)}$ .

Nadużywanie terminologii rozciąga się na kształtowanie tej reprezentacji na poziomie grupy. Możemy napisać skończoną transformację $} ^ {\ rho}}$ ${$ Λ $\ Lambda _{\sigma }^{\rho }=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right){}_$ ${ \$ gdzie standardową podstawą algebry Lorentza Te generatory mają komponenty

{\ Displaystyle (M ^ {\ mu \ nu}) _ {\ sigma} ^ {\ rho} = \ eta ^ {\ mu \rho }\delta _{\sigma }^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }\delta _{\sigma }^{\mu }}

lub przy obu indeksach w górę lub w dół, po prostu macierze, które $+$ indeksie - $displaystyle$ $}$ w $,$ .

Jeśli inna reprezentacja $\$ generatory, to $nu} = \ rho (M ^ {\ mu \ nu}),$ } piszemy

{\ Displaystyle \ rho (\ Lambda) _ {j} ^ {i} = \ exp \ lewo ({\ Frac {i} {2}}\alpha _{\mu \nu }T^{\mu \nu }\right){}_{j}^{i}}

gdzie ${\ displaystyle i, j}$ to wskaźniki dla przestrzeni reprezentacji.

$T ^ {\ mu \ nu} = \ sigma ^ {\ mu \ nu}}$ Displaystyle bez podania komponentów generatora ${\ Displaystyle \ alpha _ {\ mu \nu}}$ dla ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ sigma} ^ {\ rho}}$ ρ $\ Displaystyle \ rho (\ Lambda)}$ nie jest dobrze zdefiniowane: istnieją zestawy generatorów składniki ${\ Displaystyle \ alfa _ {\ mu \ nu}, \ beta _ {\ mu \ nu}},$ które dają to samo ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ sigma} ^ { \rho }}$ ale różne ${\ Displaystyle \ rho (\ Lambda) _ {j} ^ {i}.}$

Pochodna kowariantna dla ciał w reprezentacji grupy Lorentza

${$ układ współrzędnych wynikający z powiedzmy współrzędnych $\ Displaystyle \ {x ^ {\ alfa} \}}$ pochodna cząstkowa względem ogólnego rama ortonormalna jest zdefiniowana ${\ Displaystyle \ {e _ {\ mu} \}}$

{\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} \ psi = e_ {\ mu} ^ {\ alfa} \ częściowe _ {\ alfa} \ psi,}

a komponenty połączenia w odniesieniu do ogólnej ramy ortonormalnej są

{\ Displaystyle \ omega ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ rho} = e_ {\ rho} ^ {\ alfa} \ omega ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ alfa}.}

Te komponenty nie przekształcają się tensorycznie pod wpływem zmiany ramy, ale robią to po połączeniu. Są to również definicje, a nie stwierdzenie, że obiekty te mogą powstać jako pochodne cząstkowe na jakimś wykresie współrzędnych. Na ogół istnieją układy ortonormalne bez współrzędnych, dla których komutator pól wektorowych jest niezanikający.

Można to sprawdzić w ramach transformacji

{\ Displaystyle \ psi \ mapsto \ rho (\ Lambda) \ psi,}

jeśli zdefiniujemy pochodną kowariantną

{\ Displaystyle D _ {\ mu} \ psi = \ częściowe _ {\ mu} \ psi + {\ Frac {1} {2} }(\omega _{\nu \rho})_{\mu}\sigma ^{\nu \rho}\psi}

,

wtedy ${\ Displaystyle D _ {\ mu} \ psi}$ przekształca się jako

{\ Displaystyle D _ {\ mu} \ psi \ mapsto \ rho (\ Lambda) D _ {\ mu} \ psi}

To uogólnia się na dowolną reprezentację dla grupy Lorentza: jeśli jest polem wektorowym dla powiązanej reprezentacji, $v}$ $displaystyle$

{\ Displaystyle D _ {\ mu} v = \ częściowe _ {\ mu} v + {\ Frac {1} {2}} (\ omega _ {\ nu \ rho}) _ {\ mu} R (M ^ {\ nu \rho })v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho})_{\mu }T^{\nu \rho }v .}

Kiedy jest podstawową reprezentacją dla ${$ znaną kowariantną pochodną dla (stycznych) pól wektorowych $}$ czego przykładem jest połączenie Levi-Civita.

Istnieją pewne subtelności w tym, jakiego rodzaju obiektem matematycznym są różne typy pochodnych kowariantnych. $jest postacią 1$ kowariantna w podstawie współrzędnych wektorowych, która w każdym punkcie jest elementem ${\ Displaystyle E_ {p} \ czasami T_ {p} ^ {*} M}$ ${\ displaystyle p}$ . $bazie$ kowariantna w $ortonormalną$ ramkę $}$ wartościach wektorowych, który w każdym punkcie p $}$ $displaystyle p$ $_$ używając _ Możemy to następnie skrócić za pomocą 4-wektorowej macierzy gamma $mi$ $\text{End}}(E_{p})\otimes \mathbb {R} ^{1,3}}$ przyjmuje wartości na $)$ ${\ displaystyle {\$

Równanie Diraca na zakrzywionej czasoprzestrzeni

Przywołując równanie Diraca na płaską czasoprzestrzeń,

{\ Displaystyle (i \ gamma ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} -m) \ psi = 0,}

równanie Diraca dotyczące zakrzywionej czasoprzestrzeni można zapisać, podnosząc pochodną cząstkową do kowariantnej.

W ten sposób równanie Diraca przyjmuje następującą postać w zakrzywionej czasoprzestrzeni:

Równanie Diraca na zakrzywionej czasoprzestrzeni

${\ Displaystyle (i \ gamma ^ {\ mu} D _ {\ mu} -m) \ psi = 0.}$

gdzie jest $.$ spinorowym w czasoprzestrzeni Matematycznie jest to sekcja wiązki wektorów powiązana z wiązką spin-frame przez reprezentację ${\ Displaystyle (1/2,0) \ oplus (0,1/2).}$

Odzyskiwanie równania Kleina – Gordona z równania Diraca

Zmodyfikowane równanie Kleina – Gordona otrzymane przez podniesienie operatora do kwadratu w równaniu Diraca, po raz pierwszy znalezione przez Erwina Schrödingera , cytowane przez Pollocka, jest podane przez

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {

gdzie $jest$ $skalarem$ , $_$ natężeniem _ Alternatywną wersję równania Diraca, którego operator Diraca pozostaje pierwiastkiem kwadratowym z Laplace'a , podaje równanie Diraca-Kählera ; ceną do zapłacenia jest utrata niezmienniczości Lorentza w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Zauważ, że tutaj indeksy łacińskie oznaczają „lorentzowskie” etykiety vierbeina, podczas gdy indeksy greckie oznaczają różnorodne indeksy współrzędnych.

Formuła działania

Możemy sformułować tę teorię w kategoriach działania. $znana$ dodatkowo $jest$ orientowalna , orientacja jako forma Można zintegrować funkcje z postacią objętości: