Dwuciałowe równania Diraca

W kwantowej teorii pola oraz w znaczących poddziedzinach elektrodynamiki kwantowej (QED) i chromodynamiki kwantowej (QCD), dwuciałowe równania Diraca (TBDE) dynamiki ograniczeń zapewniają trójwymiarowe, ale wyraźnie kowariantne przeformułowanie równania Bethe-Salpetera dla dwóch cząstek o spinie 1/2 . Takie przeformułowanie jest konieczne, ponieważ bez niego, jak wykazał Nakanishi, równanie Bethe-Salpetera ma rozwiązania o ujemnej normie wynikające z obecności zasadniczo relatywistycznego stopnia swobody, czyli względnego czasu. Te stany „duchów” zepsuły naiwną interpretację równania Bethe-Salpetera jako kwantowo-mechanicznego równania falowego. Dwuciałowe równania dynamiki ograniczeń Diraca naprawiają tę wadę. Formy tych równań można wyprowadzić nie tylko z kwantowej teorii pola, ale można je również wyprowadzić wyłącznie w kontekście dynamiki z ograniczeniami Diraca oraz mechaniki relatywistycznej i mechaniki kwantowej. Ich struktury, w przeciwieństwie do bardziej znanego dwuciałowego równania Diraca Breit , które jest pojedynczym równaniem, to równanie dwóch równoczesnych kwantowych relatywistycznych równań falowych . Pojedyncze dwuciałowe równanie Diraca, podobne do równania Breita , można wyprowadzić z TBDE. W przeciwieństwie do równania Breita, jest ono ewidentnie kowariantne i wolne od typów osobliwości, które uniemożliwiają ściśle nieperturbacyjne traktowanie równania Breita.

W zastosowaniach TBDE do QED dwie cząstki oddziałują na siebie za pomocą czterowektorowych potencjałów wywodzących się z teoretycznych oddziaływań elektromagnetycznych pola między dwiema cząstkami. W zastosowaniach do QCD dwie cząstki oddziałują na siebie za pomocą potencjałów czterowektorowych i niezmiennych oddziaływań skalarnych Lorentza, wywodzących się częściowo z interakcji chromomagnetycznych teorii pola między kwarkami, a częściowo z rozważań fenomenologicznych. Podobnie jak w przypadku równania Breita, używany jest szesnastoskładnikowy spinor Ψ.

równania

$ma taką samą$ jak zwykłe jednociałowe równanie Diraca w obecności zewnętrznego pola elektromagnetycznego , określonego przez 4-potencjał . W przypadku QCD każde równanie ma taką samą strukturę jak $zwykłe$ jednociałowe równanie Diraca w obecności pola zewnętrznego podobnego do pola elektromagnetycznego i dodatkowego pola zewnętrznego określonego przez niezmienny skalar . W jednostkach naturalnych : te równania dwuciałowe mają postać.

${\ Displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1} - { \tylda {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tylda {S}}_{1}]\Psi =0,}$

${\ Displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2} - {\ tylda {A}} _ {2}) ^ {\ mu} + m_ {2}+{\tylda {S}}_{2}]\psi =0.}$

gdzie w przestrzeni współrzędnych p ^μ to pęd 4 , powiązany z gradientem 4 przez ( stosowana tutaj metryka to ${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \nu }=(-1,1,1,1)}$ )

${\ Displaystyle p ^ {\ mu} = - i {\ częściowe \ nad \ częściowe x_ {\ mu}}}$

a γμ ^to macierze gamma . Dwuciałowe równania Diraca (TBDE) mają tę właściwość, że jeśli jedna z mas staje się bardzo duża, powiedzmy, wówczas 16-składnikowe równanie Diraca zmniejsza się do 4 ${\ Displaystyle m_ {2} \ rightarrow \ infty}$ -składowe jednociałowe równanie Diraca dla cząstki 1 w potencjale zewnętrznym.

W jednostkach SI :

${\ Displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1} - {\tylda {A}}_{1})^{\mu}+m_{1}c+{\tylda {S}}_{1}]\psi =0,}$

${\ Displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2} - {\ tylda {A}} _ {2}) ^ {\ mu} +m_{2}c+{\tylda {S}}_{2}]\psi =0.}$

gdzie c jest prędkością światła i

${\ Displaystyle p ^ {\ mu} = - i \ hbar {\ częściowe \ nad \ częściowe x _ {\ mu}}}$

Poniżej zostaną użyte jednostki naturalne. Symbol tyldy jest używany nad dwoma zestawami potencjałów, aby wskazać, że mogą one mieć dodatkowe zależności macierzy gamma, których nie ma w jednociałowym równaniu Diraca. Wszelkie stałe sprzężenia, takie jak ładunek elektronu, są zawarte w potencjałach wektorowych.

Dynamika ograniczeń i TBDE

Dynamika ograniczeń zastosowana do TBDE wymaga szczególnej formy matematycznej spójności: dwaj operatorzy Diraca muszą dojeżdżać do pracy ze sobą. Jest to prawdopodobne, jeśli ktoś postrzega te dwa równania jako dwa kompatybilne ograniczenia funkcji falowej. (Zobacz poniższą dyskusję na temat dynamiki ograniczeń). Gdyby dwa operatory nie dojeżdżały do ​​pracy (jak np. W przypadku operatorów współrzędnych i pędu $wówczas$ ograniczenia nie byłyby zgodne (można nie np. mieć funkcję falową, która spełniała zarówno ${\ Displaystyle x \ Psi = 0}$ i ${\ displaystyle p \ psi = 0}$ ). Ta matematyczna spójność lub kompatybilność prowadzi do trzech ważnych właściwości TBDE. Pierwszy to warunek, który eliminuje zależność od względnego czasu w środku układu pędu (cm) określonego przez ${\ Displaystyle P = p_ {1} + p_ {2 }=(w,{\vec {0}})}$ . (Zmienna ${\ displaystyle w}$ jest całkowitą energią w układzie cm). Innymi słowy, czas względny jest eliminowany w sposób kowariantny. W szczególności, aby dwa operatory dojeżdżały do ​​pracy, potencjał skalarny i czterowektorowy mogą zależeć od współrzędnej względnej tylko poprzez jej składową $= x_ {1} -x_ {2}}$${\ Displaystyle x _ {\ perp}}$ prostopadły do ${\ Displaystyle P},$ w którym

${\ Displaystyle x _ {\ perp} ^ {\ mu} = (\ eta ^ {\ mu \ nu} - P ^ {\ mu } P ^ {\ nu} / P ^ {2}) x _ {\ nu}, \,}$

${\ Displaystyle P _ {\ mu} x_ {\ sprawca} ^ {\ mu} = 0.\,}$

Oznacza to, że w ramce cm ${\ Displaystyle x_ {\ perp} = (0, {\ vec {x}} = {\ vec {x}} _{1}-{\vec {x}}_{2})}$ , który ma zerowy składnik czasu.

Po drugie, matematyczny warunek spójności eliminuje również względną energię w układzie cm . Czyni to poprzez narzucenie każdemu operatorowi Diraca struktury takiej, że w określonej kombinacji prowadzą one do tej postaci niezależnej od interakcji, eliminując w sposób kowariantny energię względną.

${\ Displaystyle P \ cdot p \ Psi = (- P ^ {0} p ^ {0} + {\ vec {P}} \ cdot p)\Psi =0.\,}$

W tym wyrażeniu względny $pęd$ ma postać $/ 2}$ dla równych mas. W klatce cm ( ${\ Displaystyle P ^ {0} = w, {\ vec {P}} = {\ vec {0}}} )$ , składnik czasu ${\ displaystyle p ^{0}}$ pędu względnego, czyli energii względnej, zostaje w ten sposób wyeliminowane. w tym sensie, że ${\ displaystyle p ^ {0} \ psi = 0}$ .

$}} {i} ^ {\ mu}}$ matematycznej spójności jest to, że każdy skalar świata wektory ${\ Displaystyle {\ tylda {S}} _ {$ potencjały mają termin o ustalonej zależności od ${\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$ i oprócz niezależnej macierzy gamma ${\ Displaystyle \ gamma _ {2}}$ formy ${\ displaystyle S_ {i}}$ i $się$ w zwykłym jednociałowym równaniu Diraca dla potencjałów skalarnych i wektorowych Te dodatkowe warunki odpowiadają dodatkowej zależności od spinu odrzutu, której nie ma w jednociałowym równaniu Diraca i znikają, gdy jedna z cząstek staje się bardzo ciężka (tzw. granica statyczna).

Więcej o dynamice wiązań: uogólnione ograniczenia powłoki bryłowej

Dynamika ograniczeń wyrosła z prac Diraca i Bergmanna. W tej sekcji pokazano, jak zachodzi eliminacja względnego czasu i energii w układzie cm dla prostego układu dwóch relatywistycznych cząstek bez spinu. Dynamika ograniczeń została po raz pierwszy zastosowana do klasycznego relatywistycznego układu dwóch cząstek przez Todorova, Kalba i Van Alstine'a, Komara i Droz-Vincenta. Dzięki dynamice ograniczeń autorzy ci znaleźli spójne i kowariantne podejście do relatywistycznej kanonicznej mechaniki hamiltonowskiej, które również omija twierdzenie Currie-Jordana-Sudarshana o „braku interakcji”. Twierdzenie to stwierdza, że ​​bez pól nie można mieć relatywistycznej dynamiki hamiltonowskiej . Tak więc to samo kowariantne trójwymiarowe podejście, które pozwala skwantyzowanej wersji dynamiki z ograniczeniami na usuwanie duchów kwantowych , jednocześnie omija na poziomie klasycznym twierdzenie CJS. Rozważmy ograniczenie na skądinąd niezależne współrzędne i cztery wektory pędu, zapisane w postaci ${\ Displaystyle \ phi _ {i} (p, x) \ około 0}$ . Symbol $,$ że ​​ograniczenie należy nałożyć dopiero po wszelkich potrzebnych Wykonywane są nawiasy Poissona . W obecności takich ograniczeń, całkowity ${\ Displaystyle (p {\ kropka {x}} - {\ mathcal {L}})}$ uzyskuje się z Lagrange'a dodanie $do$ legendre $hamiltonianu$ suma ograniczeń razy odpowiedni zestaw mnożników Lagrange'a ${\ Displaystyle (\ lambda _ {i} )}$ .

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = p {\ kropka {x}} - {\ mathcal {L}} + \ lambda _ {i} \ phi _ { ja}}$ ,

Ten całkowity hamiltonian jest tradycyjnie nazywany hamiltonianem Diraca. Ograniczenia wynikają naturalnie z niezmiennych parametrów działania formularza

${\ Displaystyle I = \ int d \ tau {\ mathcal {L (\ tau) =}} \ int d \ tau ^ {\ pierwsza}} {\ Frac {d \ tau}} {d \ tau ^ {\ pierwsza}} }{\mathcal {L(\tau)=}}\int d\tau ^{\pierwsza}}{\mathcal {L(\tau}}^{\pierwsza}}{\mathcal {)}}.}$

W przypadku czterech oddziaływań wektorowych i skalarnych Lorentza dla pojedynczej cząstki jest to Lagrange'a

${\ Displaystyle {\ mathcal {L (\ tau)}} = - (m + S (x)) {\sqrt {-{\kropka {x}}^{2}}}+{\kropka {x}}\cdot A(x)\,}$

Pęd kanoniczny wynosi

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {L}}} {\ częściowe { \dot {x}}}}={\frac {{\mathcal {(}}m+S(x)){\dot {x}}}{\sqrt {-{\dot {x}}^{2 }}}}+A(x)}$

a podniesienie do kwadratu prowadzi do uogólnionego stanu powłoki bryły lub uogólnionego ograniczenia powłoki masy

${\ Displaystyle (pA) ^ {2} + (m + S) ^ {2} = 0. \,}$

Ponieważ w tym przypadku Hamiltonian Legendre'a znika

${\ Displaystyle p \ cdot {\ kropka {x}} - {\ mathcal {L}} = 0, \,}$

hamiltonian Diraca jest po prostu uogólnionym ograniczeniem masy (bez interakcji byłby to po prostu zwykłe ograniczenie powłoki masy)

${\ Displaystyle {\ mathcal {H = \ lambda}} \ lewo [\ lewo (pA \ prawo) ^ {2} + (m + S) ^ {2} \ prawo] \ równoważnik \ lambda (p ^ {2} +m^{2}+\Phi (x,p)).}$

Następnie postuluje się, że dla dwóch ciał hamiltonian Diraca jest sumą dwóch takich wiązań powłoki masy,

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {i} = p_ {i} ^ {2 }+m_{i}^{2}+\Phi _{i}(x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\około 0,\,}$

to jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ lambda _ {1} [p_ {1} ^ {2} + m_ {1} ^ {2} + \ Phi _ {1} (x_ {1} },x_{2},p_{1},p_{2})]+\lambda_{2}[p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Fi _{2} (x_ {1}, x_ {2}, p_ {1}, p_ {2})]}$

$\ Displaystyle = \ lambda _ {1} {\ mathcal {H} }_{1}+\lambda _{2}{\mathcal {H}}_{2},\,}$

i że każde ograniczenie będzie stałe we właściwym czasie związanym z ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}$$}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {\ kropka {H}}} _ {i} = \ {{\ mathcal {H}} _ {i}, {\ mathcal {H \ }\około }}0\,}$

Tutaj słaba równość oznacza, że ​​​​nawias Poissona może skutkować proporcjonalnie jednym z ograniczeń, przy czym klasyczne nawiasy Poissona dla relatywistycznego układu dwóch ciał są zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ {O_ {1}, O_ {2} \} = {\ Frac {\ częściowe O_ {1}} {\ częściowe x_ {1} ^ {\ mu}}} {\ Frac {\ częściowe O_ { 2}}{\częściowe p_{1\mu}}}-{\frac {\częściowe O_{1}}{\częściowe p_{1}^{\mu }}}{\frac {\częściowe O_{2} }{\częściowe x_{1\mu}}}+{\frac {\częściowe O_{1}}{\częściowe x_{2}^{\mu }}}{\frac {\częściowe O_{2}}{ \częściowe p_{2\mu }}}-{\frac {\częściowe O_{1}}{\częściowe p_{2}^{\mu }}}{\frac {\częściowe O_{2}}{\częściowe x_{2\mu}}}.}$

Aby zobaczyć konsekwencje posiadania każdego ograniczenia jako stałej ruchu, weźmy na przykład

${\ Displaystyle {\ mathcal {\ kropka {H}}} _ {1} = \ {{\ mathcal {H}} _ {1}, {\ mathcal {H \} =}} \ lambda _ {1} \ {{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}+}}\{{\mathcal {H}}_{1},\lambda _ {1}{\mathcal {\}{\mathcal {H}}}}_{2}{\mathcal {+\lambda}}_{2}\{{\mathcal {H}}_{2},{ \mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\}+}}\{{\mathcal {\lambda}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}{\mathcal {\ }H}}_{2}.}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {H}} _ {1}, {\ mathcal {H}} _ {1} \} = 0}$ i ${\ Displaystyle { \ mathcal {H}} _ {1} \ około 0}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2} \ około 0}$ jeden ma

${\ Displaystyle {\ mathcal {\ kropka {H}}} _ {1} \ około {\ mathcal {\ lambda}} _ {2} \ { {\mathcal {H}}_{2},{\mathcal {H}}_{1}\}\około 0.\,}$

Najprostszym rozwiązaniem jest to

${\ Displaystyle \ Phi _ {1} = \ Phi _ {2} \ równoważnik \ Phi (x_ {\ sprawca})}$

co prowadzi do (zwróć uwagę, że równość w tym przypadku nie jest słaba, ponieważ po opracowaniu nawiasu Poissona nie trzeba nakładać żadnych ograniczeń)

${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {H}} _ {2}, {\ mathcal {H}} _ {1} \} = 0 \,}$

(patrz Todorov oraz Wong i Crater ) z tym samym, $powyżej$ .

Kwantyzacja

Oprócz zastąpienia klasycznych zmiennych dynamicznych ich odpowiednikami kwantowymi, kwantyzacja mechaniki ograniczeń odbywa się poprzez zastąpienie ograniczenia nałożonego na zmienne dynamiczne ograniczeniem funkcji falowej

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {i} \ około 0 \ rightarrow {\ mathcal {H}} _ {i} \ Psi = 0}$ ,

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} \ około 0 \ rightarrow {\ mathcal {H}} \ Psi = 0}$ .

Pierwszy zestaw równań dla i = 1, 2 odgrywa rolę dla cząstek bezspinowych, tak jak dwa równania Diraca dla cząstek o spinie połówkowym. Klasyczne nawiasy Poissona zostały zastąpione komutatorami

${\ Displaystyle \ {O_ {1}, O_ {2} \} \ rightarrow {\ Frac {1} {i}} [O_ {1}, O_ {2}]. \,}$

Zatem

${\ Displaystyle [{\ mathcal {H}} _ {2}, {\ mathcal {H}} _ {1}] = 0, \,}$

i widzimy w tym przypadku, że formalizm z ograniczeniami prowadzi do znikającego komutatora operatorów falowych dla dwóch cząstek. Jest to analogia do stwierdzonego wcześniej twierdzenia, że ​​dwaj operatorzy Diraca dojeżdżają do pracy ze sobą.

Kowariantna eliminacja energii względnej

Zniknięcie powyższego komutatora zapewnia, że ​​dynamika jest niezależna od względnego czasu w układzie cm. Aby kowariantnie wyeliminować energię względną, wprowadź względny $pęd$ przez

${\ Displaystyle p_ {1} = {\ Frac {p_ {1} \ cdot P} {P ^ {2}}} P + p \,,}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle p_ {2} = {\ Frac {p_ {2} \ cdot P} {P ^ {2}}} Pp \,,}$

 

 

 

 

()

Powyższa definicja pędu względnego wymusza ortogonalność pędu całkowitego i pędu względnego,

${\ Displaystyle P \ cdot p = 0}$ ,

co wynika z iloczynu skalarnego obu $równań$ . Z równań ( 1 ) i ( 2 ) ten względny pęd można zapisać w kategoriach ${\ displaystyle p_ {1}}$ i ${\ displaystyle p_ {2}}$ jak

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ varepsilon _ {2}} {\ sqrt {- P ^ {2}}}} p_ {1} -{\frac {\varepsilon_{1}}{\sqrt {-P^{2}}}}p_{2}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {1} = - {\ Frac {p_ {1} \ cdot P} {\sqrt {-P^{2}}}}=-{\frac {P^{2}+p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{2{\sqrt {- P^{2}}}}}}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2} = - {\ Frac {p_ {2} \ cdot P} {\ sqrt {- P ^ {2}}}} = - { \frac {P^{2}+p_{2}^{2}-p_{1}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}}$

są rzutami pędu i $p_$${2}}$ \ $displaystyle$ wzdłuż kierunku Odejmowanie dwóch ograniczeń ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} \ Psi = 0}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2} \ Psi = 0 }$ , daje

${\ Displaystyle (p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}) \ Psi = - (m_ {1}^{2}-m_{2}^{2})\Psi }$

 

 

 

 

()

Tak więc w tych stanach ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {1} \ Psi = {\ Frac {-P ^ {2} + m_ {1} ^ {2 }-m_{2}^{2}}{2{\sqrt {-P^{2}}}}}\Psi }$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2} \ Psi = {\ Frac {-P ^ {2} + m_ {2} ^ {2} -m_ {1} ^ {2}} {2 {\ sqrt {- P ^ {2}}}}}\Psi}$ .

Równanie $opisuje$ i wewnętrzny ruch względny. Aby scharakteryzować poprzedni ruch, zauważ, że ponieważ potencjał zależy tylko od różnicy dwóch współrzędnych ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle [P, {\ mathcal {H}}] \ Psi = 0}$ .

(Nie wymaga to, aby ${\ Displaystyle [P, \ lambda _ {i}] = 0},$ ponieważ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {i} \ Psi = 0}$$P } }$ ) Zatem całkowity pęd jest stałą ruchu i jest stanem $Displaystyle$$się$ całkowitym pędem . W układzie cm ${\ Displaystyle P ^ {\ pierwsza} = (w, {\ vec {0}}),}$ z niezmiennym środkiem energii pędu (cm $)$ Zatem

${\ Displaystyle (P ^ {2} + w ^ {2}) \ Psi = 0 \,,}$

 

 

 

 

()

więc jest to również stan własny operatorów energii cm dla każdej z dwóch cząstek, ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {1} \ Psi = {\ Frac {w ^ {2} + m_ {1} ^ {2} -m_ { 2} ^ {2} {2w}} \ Psi}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2} \ Psi = {\ Frac {w ^ { 2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2w}}\Psi }$ .

Względny pęd wtedy spełnia

${\ Displaystyle p \ Psi = {\ Frac {\ varepsilon _ {2} p_ {1} - \ varepsilon _ {1} p_ {2}} {w} }\Psi}$ ,

aby

${\ Displaystyle p_ {1} \ Psi = \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {1}} {w}} P + p \ prawej) \ Psi}$ ,

${\ Displaystyle p_ {2} \ Psi = \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {2}} {w}} Pp \ prawej) \ psi$ }

Powyższy zestaw równań wynika z ograniczeń i definicji pędu względnego podanej w równaniach $\ mathcal {H}} _ {i} \ Psi =$ { 1). If instead one chooses to define (for a more general choice see Horwitz),

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {1} = {\ Frac {w ^ {2} + m_ {1} ^ {2} -m_ {2} ^ {2} {2w}},}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {2} = {\ Frac {w ^ {2} + m_ {2} ^{2}-m_{1}^{2}}{2w}},}$

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ varepsilon _ {2} p_ {1} - \ varepsilon _ {1} p_ {2}} {w}}}$

niezależnie od funkcji falowej

${\ Displaystyle p_ {1} = {\ Frac {\ varepsilon _ {1}} {w}} P + p,}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle p_ {2} = {\ Frac {\ varepsilon _ {2}} {w}} Pp,}$

 

 

 

 

()

i łatwo jest pokazać, że równanie z ograniczeniami ( 3 ) prowadzi bezpośrednio do:

${\ Displaystyle P \ cdot p \ Psi = 0,}$

 

 

 

 

()

zamiast ${\ Displaystyle P \ cdot p = 0}$ . Jest to zgodne z wcześniejszym twierdzeniem dotyczącym zaniku energii względnej w ramie cm wykonanej w połączeniu z TBDE. W drugim wyborze wartość cm energii względnej nie jest zdefiniowana jako zero, ale pochodzi z pierwotnych uogólnionych ograniczeń powłoki masy. Powyższe równania dla względnego i składowego czteropędu są relatywistycznymi odpowiednikami równań nierelatywistycznych

${\ Displaystyle {\ vec {p}} = {\ Frac {m_ {2} {\ vec {p}} _ {1} -m_ {1} {\ vec {p}} _ {2}} {M}}}$ ,

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {1} = {\ Frac {m_ {1}}{M}}{\vec {P}}+{\vec {p}}}$ ,

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {2} = {\ Frac {m_ {2}} {M}} {\ vec {P}} + {\ vec {p}}}$ .

Kowariantne równanie wartości własnej dla ruchu wewnętrznego

$displaystyle p}$ równań ( ${\$ ) , ( 6 ), ( 7 $)$ , można napisać w kategoriach i

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} \ Psi = \ {\ lambda _ {1} [- \ varepsilon _ {1} ^ {2} + m_ {1} ^ {2} + p ^ {2} + \ Phi (x_{\perp })]+\lambda _{2}[-\varepsilon _{2}^{2}+m_{2}^{2}+p^{2}+\Phi (x_{\ sprawca })]\}\Psi }$

${\ Displaystyle = (\ lambda _ {1} + \lambda _{2})[-b^{2}(-P^{2};m_{1}^{2},m_{2}^{2})+p^{2}+\Fi ( x_{\sprawca})]\Psi =0\,,}$

 

 

 

 

()

Gdzie

${\ Displaystyle b ^ {2} (-P ^ {2}, m_ {1} ^ {2}, m_ {2} ^ {2}) = \ varepsilon _ {1} ^ {2} -m_ {1} ^{2}=\varepsilon _{2}^{2}-m_{2}^{2}\ =-{\frac {1}{4P^{2}}}(P^{4}+2P^ {2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2})\,. }$

Równanie ( 8 ) zawiera zarówno całkowity pęd $przez$ b $\ Displaystyle b ^ {2} (- P ^ {2}, m_ {1} ^ {2}, m_ {2} ^ {2})}$ ] i pęd względny ${\ displaystyle p}$ . Korzystanie z równania ( 4 ), otrzymujemy równanie wartości własnej

${\ Displaystyle (\ lambda _ {1} + \ lambda _ { 2})\lewo\{p^{2}+\Phi (x_{\perp})-b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{ 2})\prawo\}\Psi =0\,,}$

 

 

 

 

()

b ${\ Displaystyle b ^ {2} (w ^ {2}, m_ {1} ^ {2}, m_ {2} ^ {2})$ staje się standardową funkcją trójkąta wyświetlającą dokładną relatywistyczną kinematykę dwóch ciał:

${\ Displaystyle b ^ {2} (w ^ {2}, m_ {1} ^ {2}, m_ {2} ^ {2}) = {\ Frac {1} {4w ^ {2}}} \ lewo \{w^{4}-2w^{2}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2 })^{2}\prawo\}\,.}$

Z powyższym ograniczeniem Równania ( 7 ) na ${\ Displaystyle \ Psi}$ wtedy ${\ Displaystyle p ^ {2} \ Psi = p _ {\ perp} ^ {2} \ Psi}$${\ Displaystyle p _ {\ perp} = pp \ cdot PP / P ^ {2}}$ . Pozwala to na zapisanie Eq. ( 9 ) w postaci równania wartości własnej

${\ Displaystyle \ {p_ {\ perp} ^ {2} + \ Phi (x_ {\ sprawca })\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

mający strukturę bardzo podobną do zwykłego trójwymiarowego nierelatywistycznego równania Schrödingera. Jest to równanie ewidentnie kowariantne, ale jednocześnie oczywista jest jego trójwymiarowa struktura. Cztery wektory $\ perp} ^ {\ mu}$ trzy niezależne składowe od $\ Displaystyle p _$ }

${\ Displaystyle P \ cdot p _ {\ perp} = P \ cdot x _ {\ perp} = 0 \,.}$

Podobieństwo do trójwymiarowej struktury nierelatywistycznego równania Schrödingera można uwypuklić, zapisując równanie w ramce cm, w której

${\ Displaystyle P = (w, {\ vec {0}})}$ ,

${\ Displaystyle p _ {\ perp} = (0, {\ vec {p }})}$ ,

${\ Displaystyle x _ {\ sprawca} = (0, {\ vec {x}})}$ .

Porównanie otrzymanej formy

${\ Displaystyle \ {{\ vec {p}} ^ {2} + \ Phi ({{ \vec {x}})\}\Psi =b^{2}(w^{2},m_{1}^{2},m_{2}^{2})\Psi \,,}$

 

 

 

 

()

z niezależnym od czasu równaniem Schrödingera

${\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {p}} ^ {2} + 2 \ mu V ({\ vec {x}} )\right)\Psi =2\mu E\Psi \,,}$

 

 

 

 

()

wyraźnie podkreśla to podobieństwo.

Relatywistyczne równania Kleina-Gordona dla dwóch ciał

Wiarygodną strukturę quasipotencjału $2$ znaleźć obserwując, że jednociałowe równanie Kleina – $Gordona$ trwa postać ${\ Displaystyle ({\ vec {p}} ^ {2} - \ varepsilon ^ {2} + m ^ {2} + 2 mS + S ^ {2} + 2 \ varepsilon AA ^ {2}} \ psi = 0 ~}$ , gdy wprowadza się interakcję skalarną i interakcję wektorową podobną do czasu poprzez ${\ displaystyle m \ rightarrow m + S ~}$ i ${\ Displaystyle \ varepsilon \ strzałka w prawo \ varepsilon -A}$ . W przypadku dwóch ciał oddzielne argumenty z klasycznej i kwantowej teorii pola pokazują, że gdy jeden obejmuje światowe interakcje skalarne i wektorowe, to $S (r)}$ od dwóch podstawowych niezmiennych funkcji $displaystyle$ i poprzez dwuciałową formę potencjalną podobną do Kleina-Gordona o tej samej ogólnej strukturze, czyli ZA ( r ) {\ $(r$

${\ Displaystyle \ Phi = 2m_ {w} S + S ^ {2} + 2 \ varepsilon _ {w} AA ^ {2}.}$

Te teorie pola dalej dają formy zależne od energii cm

${\ Displaystyle m_ {w} = m_ {1} m_ {2} / w,}$

I

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {w} = (w ^ {2} -m_ {1} ^ {2} -m_ {2} ^ {2})/2w,}$

te, które Tododov przedstawił jako relatywistyczną masę zredukowaną i efektywną energię cząstek dla układu dwóch ciał. Podobnie do tego, co dzieje się w nierelatywistycznym problemie dwóch ciał, w przypadku relatywistycznym mamy ruch tej efektywnej cząstki zachodzący tak, jakby znajdował się w polu zewnętrznym (tutaj generowanym przez S {\ displaystyle S} i ${$ \ $A }$ ). Dwie zmienne kinematyczne i $\ displaystyle m_ {w}$ warunkiem Einsteina m $}$

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {w} ^ {2} -m_ {w} ^ {2} = b ^ {2} (w),}$

Jeśli wprowadzi się cztery wektory, w tym interakcję wektorową, ZA $\ Displaystyle A ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = \ varepsilon _ {w} {\ kapelusz {P}} + p,} ZA μ$

$Displaystyle ZA ^ {\ mu} = {\ kapelusz {P}} ^ {\ mu} A (r)}$

${\ Displaystyle r = {\ sqrt {x_ {\ sprawca} ^ {2}}} \,,}$

i interakcja skalarna , a następnie następująca klasyczna forma ograniczenia minimalnego ${\ Displaystyle S (r)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H =}} \ lewo ({\ mathfrak {p-}} A \ prawej) ^ {2} + ( m_{w}+S)^{2}\około 0\,,}$

reprodukuje

${\ Displaystyle {\ mathcal {H =}} p _ {\ sprawca} ^ {2} + \ Phi -b ^ {2} \ około 0 \,.}$

 

 

 

 

()

Zauważ, że interakcja w tym ograniczeniu „zredukowanej cząstki” zależy od dwóch niezmiennych skalarów, $r)} , jednego$ ) $($ czasopodobnym interakcja wektorowa i interakcja skalarna.

Czy istnieje zestaw równań Kleina-Gordona dla dwóch ciał, analogiczny do równań Diraca dla dwóch ciał? Klasyczne ograniczenia relatywistyczne analogiczne do kwantowych równań Diraca z dwoma ciałami (omówione we wstępie) i które mają taką samą strukturę jak powyższa jednociałowa postać Kleina – Gordona to

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} = (p_ { 1}-A_{1})^{2}+(m_{1}+S_{1})^{2}=p_{1}^{2}+m_{1}^{2}+\Phi _ {1}\około 0}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2} = (p_ {1} -A_ {2}) ^ {2 }+(m_{2}+S_{2})^{2}=p_{2}^{2}+m_{2}^{2}+\Phi _{2}\około 0,}$

${\ Displaystyle p_ {1} = \ varepsilon _ {1} {\ kapelusz {P}} + p; ~ ~ p_ {2} = \ varepsilon _ {2} {\ kapelusz {P}} -p ~.}$

Definiowanie struktur, które wyświetlają czasopodobne interakcje wektorowe i skalarne

${\ Displaystyle \ pi _ {1} = p_ {1} -A_ {1} = [{\ kapelusz {P} } (\ varepsilon _ {1} - {\ mathcal {A}} _ {1}) + p],}$

${\ Displaystyle \ pi _ {2} = p_ {2} -A_ {2} = [{\ kapelusz {P}} (\ varepsilon _ {2} - {\ mathcal {A}} _ {1}) - p ],}$

${\ Displaystyle M_ {1} = m_ {1} + S_ {1},}$

${\ Displaystyle M_ {2} = m_ { 2}+S_{2},}$

daje

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {1} = \ pi _ {1} ^ {2} + M_ {1} ^ {2},}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2} = \ pi _ {2} ^ {2} + M_ {2} ^ {2}.}$

Imponujący

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Phi _ {1} & = \ Phi _ {2} \ równoważnik \ Phi (x_ {\ sprawca })\\&=-2p_{1}\cdot A_{1}+A_{1}^{2}+2m_{1}S_{1}+S_{1}^{2}\\&=- 2p_{2}\cdot A_{2}+A_{2}^{2}+2m_{2}S_{2}+S_{2}^{2}\\&=2\varepsilon _{w}AA^ {2}+2m_{w}S+S^{2},\end{wyrównane}}}$

i używając ograniczenia , odtwarza równania ( 12 ) pod warunkiem , że ${\ Displaystyle P \ cdot p \ około 0}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {2} - p ^ {2} = -\left(\varepsilon _{1}-{\mathcal {A}}_{1}\right)^{2}=-\varepsilon _{1}^{2}+2\varepsilon _{w}AA ^{2},}$

${\ Displaystyle \ pi _ {2} ^ {2} -p ^ {2} = - \ lewo (\ varepsilon _ {2} - { \mathcal {A}}_{2}\right)^{2}=-\varepsilon _{2}^{2}+2\varepsilon _{w}AA^{2},}$

${\ Displaystyle M_ {1} {} ^ {2} = m_ {1} ^ {2} + 2m_ {w} S + S ^ {2},}$

${\ Displaystyle M_ {2} ^ {2} = m_ {2} ^ {2} + 2m_ {w} S + S ^ {2}.}$

Odpowiednie równania Kleina – Gordona to

${\ Displaystyle \ lewo (\ pi _ {1} ^ {2} + M_ {1} ^ {2} \ prawej) \ psi = 0}$

${\ Displaystyle \ lewo (\ pi _ {2} ^ {2} + M_ {2} ^ {2} \ prawej) \ psi = 0,}$

i każdy, ze względu na ograniczenie, jest równoważny ${\ Displaystyle P \ cdot p \ około 0,}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H \ psi =}} \ lewo (p _ {\ sprawca} ^ {2} + \ Phi -b ^ {2 }\right){\mathcal {\psi}}=0.}$

Hiperboliczna i zewnętrzna forma pola równań Diraca dla dwóch ciał

Dla układu dwóch ciał istnieje wiele kowariantnych form interakcji. Najprościej spojrzeć na nie z punktu widzenia struktur macierzy gamma odpowiednich wierzchołków interakcji diagramów wymiany pojedynczych cząstek. Dla wymian skalarnych, pseudoskalarnych, wektorowych, pseudowektorowych i tensorowych te struktury macierzowe są odpowiednio

${\ Displaystyle 1_ {1} 1_ {2}; \ gamma _ {51} \ gamma _ {52}; \ gamma _ {1} ^ {\ mu} \ gamma _ {2 \mu };\gamma _{51}\gamma _{1}^{\mu }\gamma _{52}\gamma _{2\mu};\sigma _{1\mu \nu }\sigma _{ 2}^{\mu \nu },}$

w którym

${\ Displaystyle \ sigma _ {i \ mu \ nu} = {\ Frac {1} {2i}} [\ gamma _ {i \ mu}, \ gamma _ {i \ nu}]; i=1,2.}$

Postać równań Diraca dwóch ciał, która najłatwiej łączy wszystkie lub dowolną liczbę tych interakcji, jest tak zwaną hiperboliczną postacią TBDE. W przypadku połączonych interakcji skalarnych i wektorowych formy te ostatecznie redukują się do tych podanych w pierwszym zestawie równań tego artykułu. Równania te nazywane są zewnętrznymi polami, ponieważ ich wygląd jest taki sam, jak w przypadku zwykłego jednociałowego równania Diraca w obecności zewnętrznych pól wektorowych i skalarnych.

Najbardziej ogólną formą hiperboliczną kompatybilnego TBDE jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1} \ psi = (\ cosh (\ Delta) \ mathbf {S} _{1}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{2})\psi =0\mathrm {,} }$

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {2} \ psi = (\ cosh (\ Delta) \ mathbf {S} _{2}+\sinh(\Delta )\mathbf {S} _{1})\psi =0,}$

 

 

 

 

()

gdzie reprezentuje $kombinacji$ . Oprócz zależności od współrzędnych ma strukturę macierzową. W zależności od tego, czym jest ta struktura macierzowa, mamy interakcje skalarne, pseudoskalarne, wektorowe, pseudowektorowe lub tensorowe. Operatory i są ograniczeniami pomocniczymi spełniającymi $\ mathbf {S} _ {1}$$\ Displaystyle$

${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {1} \ psi \ równoważnik ({\ mathcal {S}} _ { 10}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{20}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {2} \ psi \ równoważnik ({\ mathcal {S}} _ { 20}\cosh(\Delta )+{\mathcal {S}}_{10}\sinh(\Delta )~)\psi =0,}$

 

 

 

 

()

w którym są wolnymi operatorami Diraca ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {i0}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {i0} = {\ Frac {i} {\ sqrt {2}}} \ gamma _{5i}(\gamma _{i}\cdot p_{i}+m_{i})=0,}$

 

 

 

 

()

To z kolei prowadzi do dwóch warunków zgodności

${\ Displaystyle \ lbrack {\ mathcal {S}} _ {1}, {\ mathcal {S}} _ {2}] \ psi = 0,}$

I

${\ Displaystyle \ lbrack \ mathbf {S} _ {1}, \ mathbf {S} _ {2}] \ psi = 0,}$

pod warunkiem, że ${\ Displaystyle \ Delta = \ Delta (x _ {\ perp}).}$ Te warunki zgodności nie ograniczają struktury macierzy gamma ${\ displaystyle \ Delta}$ . Ta struktura macierzowa jest określona przez typ struktury wierzchołek-wierzchołek włączony w interakcję. Dla dwóch typów niezmiennych interakcji podkreślonych w tym artykule są one ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ mathcal {L}} (x_ {\ perp}) = -1_ {1} 1_ {2}{\frac {{\mathcal {L}}(x_{\perp})}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{skalar}}\mathrm {,} }$

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ mathcal {G}} (x _ {\ sprawca}) = \ gamma _ {1} \ cdot \ gamma _ {2} {\ Frac {{\ mathcal {G} }(x_{\perp})}{2}}{\mathcal {O}}_{1},{\text{wektor}}\mathrm {,} }$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {1} = - \ gamma _ {51} \ gamma _ {52}.}$

Dla ogólnych niezależnych interakcji skalarnych i wektorowych

${\ Displaystyle \ Delta (x _ {\ sprawca}) = \ Delta _ {\ mathcal {L}} + \ Delta _ {\ mathcal {G}}.}$

Oddziaływanie wektorowe określone przez powyższą strukturę macierzową dla oddziaływania podobnego do elektromagnetycznego odpowiadałoby cechowaniu Feynmana.

Jeśli wstawi się równanie ( 14 ) do ( 13 ) i przeniesie swobodnego operatora Diraca ( 15 ) na prawo od macierzy funkcji hiperbolicznych i użyje standardowych komutatorów macierzy gamma i antykomutatorów oraz ${ \displaystyle \cosh ^{2}\Delta -\sinh ^{2}\Delta =1}$ jeden dochodzi do ${\ Displaystyle \ lewo (\ częściowe _ {\ mu} = \ częściowe / \ częściowe x ^ {\ mu} \ prawej),}$

${\ Displaystyle {\ duży (} G \ gamma _ {1}\cdot {\mathcal {P}}_{2}-E_{1}\beta _{1}+M_{1}-G{\frac {i}{2}}\Sigma _{2} \cdot \częściowe ({\mathcal {L}}\beta _{2}{\mathcal {-G}}\beta _{1})\gamma _{52}{\big )}\psi =0,}$

${\ Displaystyle {\ duży (} -G \ gamma _ {2} \ cdot {\ mathcal {P}} _ {1} -E_ {2} \ beta _ {2} + M_ {2} + G {\ frac {i}{2}}\Sigma _{1}\cdot \partial ({\mathcal {L}}\beta _{1}{\mathcal {-G}}\beta _{2})\gamma _{ 51}{\duży )}\psi =0,}$

 

 

 

 

()

w którym

$= \ exp {\ mathcal {G}}}$

${\ Displaystyle \ beta _ {i} = - \ gamma _ {i} \ cdot {\ kapelusz {P.}},}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {i \ sprawca} ^ {\ mu} = (\ eta ^ {\ mu \ nu} + {\ kapelusz {P}} ^ {\ mu} {\ kapelusz {P}} ^ {\ nu}) \ gamma _ {\ nu i},}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} = \ gamma _ {5i} \ beta _ {i} \ gamma _ {\perp ja},}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {i} \ równoważnik p _ {\ sprawca} - {\ Frac {i} {2}} \ Sigma _ {i} \ cdot \ częściowe {\ mathcal {G}} \ Sigma _{i},i=1,2.}$

$}$ dla każdej z dwóch cząstek, przy czym i odgrywają role, które ${\ Displaystyle m + S}$$M_ {i}$ i robią w równaniu Diraca pojedynczej cząstki ${\ Displaystyle \ varepsilon -A}$

${\ Displaystyle (\ mathbf {\ gamma} \ cdot \ mathbf {p-} \ beta (\ varepsilon -A) + m + S )\psi = 0.}$

Oprócz zwykłej części kinetycznej $od$${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} \ cdot \ częściowe {\ mathcal {G}} \ Sigma _ {i}}$ wektorów i potencjałów skalarnych, modyfikacje zależne a ostatni zestaw terminów pochodnych to efekty odrzutu dwóch ciał nieobecne w równaniu Diraca dla jednego ciała, ale niezbędne dla zgodności (spójności) równań dwóch ciał. Powiązania między tym, co jest określane jako niezmienniki wierzchołków $a$ masy i energii $\ displaystyle M_ {i} ,E_{i}}$ są

${\ Displaystyle M_ {1} = m_ {1} \ cosh {\ mathcal {L}} + m_ {2} \ sinh {\ mathcal {L}} ,}$

${\ Displaystyle M_ {2} = m_ {2} \ cosh {\ mathcal {L}} + m_ {1} \ sinh {\ mathcal {L }},}$

${\ Displaystyle E_ {1} = \ varepsilon _ {1} \ cosh {\ mathcal {G}} - \ varepsilon _ {2} \ sinh {\ mathcal {G}},}$

${\ Displaystyle E_ {2} = \ varepsilon _ {2} \ cosh {\ mathcal {G}} - \ varepsilon _ {1} \ sinh {\ mathcal {G}}.}$

Porównując równanie ( 16 ) z pierwszym równaniem tego artykułu, można stwierdzić, że zależne od spinu oddziaływania wektorów są

${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ { 1}^{\mu }={\big (}(\varepsilon _{1}-E_{1}){\big )}{\kapelusz {P}}^{\mu}+(1-G)p_ {\perp}^{\mu}-{\frac {i}{2}}\częściowy G\cdot \gamma _{2}\gamma _{2}^{\mu},}$

${\ Displaystyle A_ {2} ^ {\ mu} = { \big (}(\varepsilon _{2}-E_{2}){\big )}{\hat {P}}^{\mu}-(1-G)p_{\sprawca}^{\mu} +{\frac {i}{2}}\częściowe G\cdot \gamma _{1}\gamma _{1}^{\mu},}$

Zauważ, że pierwsza część potencjałów wektorowych jest podobna do czasu (równoległa do ${\ Displaystyle {\ hat {P}} ^ {\ mu})},$ podczas gdy następna część jest przestrzenna (prostopadła do ${\ styl wyświetlania {\ kapelusz {P}} ^ {\ mu})}$ . Potencjały skalarne zależne od spinu są ${\ Displaystyle {\ tylda {S}} _ {i}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {S}} _ {1} = M_ {1} -m_ {1} - {\ Frac {i} {2}}G\gamma _{2}\cdot \partial {\mathcal {L}},}$

${\ Displaystyle {\ tylda {S}} _ {2} = M_ {2} -m_ {2} + {\ Frac {i} {2}} G \ gamma _ {1} \ cdot {\ częściowy}} {\ matematyka {L}}{.}}$

Parametryzacja dla i wykorzystuje efektywne formy $.$$)$ powyższej sekcji dotyczącej dwuciałowego Kleina równania Gordona) i jednocześnie wyświetla poprawną statyczną postać graniczną dla redukcji Pauliego do postaci podobnej do Schrödingera. Wybór tych parametrów (podobnie jak w przypadku równań Kleina Gordona dla dwóch ciał) jest ściśle powiązany z klasycznymi lub kwantowymi teoriami pola dla oddzielnych oddziaływań skalarnych i wektorowych. Sprowadza się to do pracy w mierniku Feynmana z najprostszą relacją między przestrzenno- i czasopodobnymi częściami interakcji wektora. Potencjały masy i energii są odpowiednio

${\ Displaystyle M_ {i} ^ {2} = m_ {i} ^ {2} + \ exp (2 {2 \mathcal {G)(}}2m_{w}S{\mathcal {+}}S^{2}),}$

${\ Displaystyle E_ {i} ^ {2} = \ exp (2 {\ mathcal {G (A)} (}} \ varepsilon _ {i} -A) ^ {2},}$

aby

${\ Displaystyle \ exp ({\ mathcal {L}}) = \ exp ({\ mathcal { L}}(S,A))={\frac {M_{1}+M_{2}}{m_{1}+m_{2}}}},}$

${\ Displaystyle G = \ exp {\ mathcal {G =}} \ exp ({\ mathcal {G (}} A {\ mathcal {}) =}} {\ sqrt {\ frac {1} {(1-2A /w)}}}.}$

Zastosowania i ograniczenia

TBDE można łatwo zastosować do dwóch układów ciała, takich jak pozyton , mion , atomy wodoru , quarkonium i układ dwunukleonowy . Zastosowania te obejmują tylko dwie cząstki i nie obejmują tworzenia ani anihilacji cząstek poza nimi. Obejmują one tylko procesy sprężyste. Ze względu na związek między potencjałami używanymi w TBDE a odpowiednią kwantową teorią pola, każda poprawka radiacyjna do interakcji najniższego rzędu może zostać włączona do tych potencjałów. Aby zobaczyć, jak to się dzieje, rozważmy dla kontrastu, jak oblicza się amplitudy rozpraszania bez kwantowej teorii pola. Bez kwantowej teorii pola trzeba dojść do potencjałów za pomocą klasycznych argumentów lub rozważań fenomenologicznych. Kiedy ma się potencjał ${\ displaystyle V}$ między dwiema cząstkami, wtedy można obliczyć amplitudę rozpraszania z równania Lippmanna – Schwingera ${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle T + V + VGT = 0}$ ,

w którym $jest funkcją$ określoną z równania Schrödingera. Ze względu na podobieństwo między równaniem Schrödingera Eq. ( 11 ) i relatywistyczne równanie z więzami ( 10 ), można wyprowadzić równanie tego samego typu co powyższe

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} + \ Phi + \ Phi {\ mathcal {GT}} = 0}$ ,

zwane równaniem quasipotencjalnym z $bardzo$ podobnym do podanego w równaniu Lippmanna – Schwingera Różnica polega na tym, że w przypadku równania quasipotencjału zaczyna się od amplitud rozpraszania $kwantowej$ pola, określonych na podstawie diagramów Feynmana i perturbacyjnego wyprowadzenia quasipotencjału Φ. Wtedy można użyć tego Φ w ( 10 ), aby obliczyć poziomy energii dwóch układów cząstek, które wynikają z teorii pola. Dynamika ograniczeń zapewnia jedno z wielu, w rzeczywistości nieskończonej liczby, różnych typów równań quasipotencjalnych (trójwymiarowych obcięć równania Bethe-Salpetera) różniących się między sobą wyborem sol {\ displaystyle {\ mathcal {G $} }$ . Stosunkowo proste rozwiązanie problemu względnego czasu i energii z uogólnionego ograniczenia powłoki masy dla dwóch cząstek nie ma prostego rozszerzenia, takiego jak przedstawione tutaj za pomocą x $\ displaystyle x _ {\ perp}}$ zmienna, albo do dwóch cząstek w polu zewnętrznym, albo do 3 lub więcej cząstek. Sazdjian przedstawił przepis na to rozszerzenie, gdy cząstki są ograniczone i nie mogą podzielić się na klastry o mniejszej liczbie cząstek bez interakcji między klastrami. Lusanna opracowała podejście, które nie obejmuje uogólnionych ograniczeń powłoki masy bez takich ograniczeń, który rozciąga się na N ciał z polami lub bez. Jest sformułowany na hiperpowierzchniach podobnych do przestrzeni, a gdy jest ograniczony do rodziny hiperpłaszczyzn ortogonalnych do całkowitego pędu podobnego do czasu, daje początek kowariantnej wewnętrznej formule 1-czasowej (bez względnych zmiennych czasowych) zwanej „natychmiastową formą spoczynku” dynamiki,

Zobacz też

• Równanie Breita
• 4-wektor
• Równanie Diraca
• Równanie Diraca w algebrze przestrzeni fizycznej
• Operator Diraca
• Elektromagnetyzm
• Pęd kinetyczny
• Wiele problemów z ciałem
• Niezmienna masa
• Fizyka cząsteczek
• pozytonium
• Rachunek Ricciego
• Szczególna teoria względności
• Kręcić się
• Splątanie kwantowe
• Relatywistyczna mechanika kwantowa

• Childers, R. (1982). „Dwuciałowe równanie Diraca dla półrelatywistycznych kwarków”. Przegląd fizyczny D. 26 (10): 2902–2915. Bibcode : 1982PhRvD..26.2902C . doi : 10.1103/PhysRevD.26.2902 .
•   Childers, R. (1985). „Erratum: dwuciałowe równanie Diraca dla półrelatywistycznych kwarków” . Przegląd fizyczny D. 32 (12): 3337. Bibcode : 1985PhRvD..32.3337C . doi : 10.1103/PhysRevD.32.3337 . PMID 9956143 .
•   Ferreira, P. (1988). „Równanie Diraca dwóch ciał ze skalarnym potencjałem liniowym”. Przegląd fizyczny D. 38 (8): 2648–2650. Bibcode : 1988PhRvD..38.2648F . doi : 10.1103/PhysRevD.38.2648 . hdl : 11449/34339 . PMID 9959432 .
•   Scott, T.; Shertzer, J .; Moore, R. (1992). „Dokładne rozwiązania metodą elementów skończonych dwuciałowego równania Diraca”. Przegląd fizyczny A. 45 (7): 4393–4398. Bibcode : 1992PhRvA..45.4393S . doi : 10.1103/PhysRevA.45.4393 . PMID 9907514 .
•   Patterson, Chris W. (2019). „Anomalne stany pozytonium”. Przegląd fizyczny A. 100 (6): 062128. arXiv : 2004.06108 . Bibcode : 2019PhRvA.100f2128P . doi : 10.1103/PhysRevA.100.062128 . S2CID 214017953 .
• Różne postaci równań radialnych dla problemu dwóch ciał Diraca W. Królikowski (1991), Instytut Fizyki Teoretycznej (Warszawa)
•   Duviryak, Askold (2008). „Rozwiązywalne równanie Diraca dwóch ciał jako potencjalny model lekkich mezonów”. Symetria, całkowalność i geometria: metody i zastosowania . 4 : 048. arXiv : 0805.4725 . Bibcode : 2008SIGMA...4..048D . doi : 10.3842/SIGMA.2008.048 . S2CID 15461500 .