Równanie Appletona-Hartree'a

Równanie Appletona-Hartree , czasami określane również jako równanie Appletona-Lassena, jest wyrażeniem matematycznym opisującym współczynnik załamania światła dla propagacji fali elektromagnetycznej w zimnej namagnesowanej plazmie . Równanie Appletona-Hartree zostało opracowane niezależnie przez kilku różnych naukowców, w tym Edwarda Victora Appletona , Douglasa Hartree i niemieckiego radiofizyka HK Lassena. Praca Lassena, ukończona dwa lata przed Appletonem i pięć lat przed Hartree, obejmowała dokładniejsze traktowanie plazmy kolizyjnej; ale opublikowana tylko w języku niemieckim nie była szeroko czytana w anglojęzycznym świecie radiofizyki. Ponadto, jeśli chodzi o wyprowadzenie przez Appletona, w badaniu historycznym Gilmore'a zauważono, że Wilhelm Altar (pracując z Appletonem) po raz pierwszy obliczył relację dyspersji w 1926 roku.

Równanie

Zależność dyspersji można zapisać jako wyrażenie na częstotliwość (kwadrat), ale często zapisuje się ją również jako wyrażenie na współczynnik załamania światła :

${\ Displaystyle n ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {ck} {\ omega}} \ prawo) ^ {2}.}$

Pełne równanie jest zwykle podawane w następujący sposób:

${\ Displaystyle n ^ {2} = 1 - {\ Frac {X} {1-iZ - {\ Frac {{\ Frac {1} {2}} Y ^ {2}\sin ^{2}\theta}{1-X-iZ}}\pm {\frac {1}{1-X-iZ}}\left({\frac {1}{4}}Y ^{4}\sin ^{4}\theta +Y^{2}\cos ^{2}\theta \left(1-X-iZ\right)^{2}\right)^{1/2} }}}$

lub, alternatywnie, z terminem tłumienia i przestawieniem warunków: ${\ displaystyle Z = 0}$

${\ Displaystyle n ^ {2} = 1 - {\ Frac {X \ lewo (1-X \ prawo)} {1-X - {{\ Frac {1} {2}} Y ^ {2} \sin ^{2}\theta }\pm \left(\left({\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{2}+\left (1-X\right)^{2}Y^{2}\cos ^{2}\theta \right)^{1/2}}}}$

Określenie warunków:

${\ Displaystyle n}$ : złożony współczynnik załamania światła

${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$ : jednostka urojona

${\ Displaystyle X = {\ Frac {\ omega _ { 0} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle Y = {\ Frac {\ omega _ {H}} {\ omega}}}$

${\ displaystyle Z = {\ Frac {\ nu} {\ omega}}}$

${\ Displaystyle \ nu}$ : częstotliwość zderzeń elektronów

${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ : częstotliwość kątowa

${\ Displaystyle f}$ : zwykła częstotliwość (cykle na sekundę lub Hertz )

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = 2 \ pi f_ {0} = {\ sqrt {\ Frac {Ne ^{2}}{\epsilon _{0}m}}}} :$ częstotliwość plazmy elektronowej

${\ Displaystyle \ omega _ {H} = 2 \ pi f_ {H} = {\ Frac {B_ {0} | e |} {m}}}: częstotliwość żyroskopu elektronowego ϵ {\ Displaystyle$ \ epsilon

${0} }$ : przenikalność wolnej przestrzeni

magnetycznego otoczenia ${\ Displaystyle$ : natężenie

$e}$ : ładunek elektronu

${\ Displaystyle m}$ : masa elektronu

${\ Displaystyle \ theta}$ : kąt między otoczeniem wektor pola magnetycznego i wektor falowy

Sposoby propagacji

Obecność znaku w $równaniu$ -Hartree daje dwa oddzielne rozwiązania współczynnika załamania światła. W przypadku propagacji prostopadłej do pola magnetycznego, tj. $Znak$ +” reprezentuje „zwykły tryb”, a znak Znak ' reprezentuje „tryb nadzwyczajny”. W przypadku propagacji równoległej do pola magnetycznego, tj. Znak „+” reprezentuje lewostronny tryb spolaryzowany kołowo, a ${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ równoległy \ mathbf {B} _ {0}}$ Znak „-” reprezentuje mod spolaryzowany kołowo w prawo. Więcej szczegółów można znaleźć w artykule na temat elektromagnetycznych fal elektronowych .

${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$ jest wektorem płaszczyzny propagacji.

Zredukowane formy

Propagacja w bezkolizyjnej plazmie

Jeśli częstotliwość kolizji elektronów $,$ pomijalna w porównaniu z częstotliwością fali będącej przedmiotem zainteresowania $można powiedzieć$ że plazma jest „bezkolizyjna”. To znaczy, biorąc pod uwagę warunek

${\ Displaystyle \ nu \ ll \ omega}$ ,

mamy

${\ Displaystyle Z = {\ Frac {\ nu} {\ omega}} \ ll 1}$ ,

więc możemy zaniedbać $warunki$ równaniu. Równanie Appletona-Hartree dla zimnej, bezkolizyjnej plazmy jest zatem następujące:

${\ Displaystyle n ^ {2} = 1 - {\ Frac {X} {1- {\ Frac {{\ Frac {1} {2}} Y ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {1 -X}}\pm {\frac {1}{1-X}}\left({\frac {1}{4}}Y^{4}\sin ^{4}\theta +Y^{2} \cos ^{2}\theta \left(1-X\right)^{2}\right)^{1/2}}}}$

Propagacja quasi-podłużna w plazmie bezkolizyjnej

$,$ dodatkowo założymy, że propagacja fali odbywa się głównie w kierunku pola magnetycznego, tj. możemy pominąć $Displaystyle Y ^ {4} \sin ^{4}\theta }$ powyżej. Zatem dla quasi-podłużnej propagacji w zimnej, bezkolizyjnej plazmie równanie Appletona-Hartree przyjmuje postać:

${\ Displaystyle n ^ {2} = 1 - {\ Frac {X} {1- {\ Frac {{\ frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }{1-X}}\pm Y\cos \theta }}}$

Zobacz też

• Mary Taylor Slow
• Plazma (fizyka)
• Fale w plazmie
• Lista artykułów dotyczących plazmy (fizyki).

Cytaty i notatki