promień żyroskopu

Promień bezwładności (znany również jako promień bezwładności , promień Larmora lub promień cyklotronu ) to promień ruchu kołowego naładowanej cząstki w obecności jednorodnego pola magnetycznego . W jednostkach SI , nierelatywistyczny promień bezwładności jest określony przez

$${\ Displaystyle r_ {g} = {\ Frac {mv_ {\ sprawca}} {| q | B}}}$$

gdzie jest masą $cząstki$ , jest składową prędkości prostopadłą $pola$ magnetycznego, jest ładunkiem elektrycznym $q}$ cząstki, a $siła$ pola magnetycznego.

Częstotliwość kątowa tego ruchu kołowego jest znana jako częstotliwość żyroskopowa lub częstotliwość cyklotronowa i może być wyrażona jako

$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {|q|B} {m}}}$$

w jednostkach radianów /sekundę.

Warianty

Często przydatne jest podanie znaku częstotliwości żyroskopowej wraz z definicją

$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {qB} {m}}}$$

lub wyraź to w jednostkach herców za pomocą

$${\ Displaystyle f_ {g} = {\ Frac {qB} {2 \ pi m}}.}$$

W przypadku elektronów częstotliwość tę można zredukować do

$${\ Displaystyle f_ {g, e} = (2,8 \ razy 10 ^ {10} \, \ operatorname {herc} /\ operatorname {tesla}) \ razy B.}$$

W jednostkach cgs promień bezwładności

$${\ Displaystyle r_ {g} = {\ Frac {mcv_ {\ sprawca}} {| q | B}}}$$

i odpowiadającą mu częstotliwość żyroskopową

$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {| q | B} {mc}}}$$

uwzględnij współczynnik $,$ czyli prędkość światła, ponieważ pole magnetyczne wyraża się w jednostkach $\ Displaystyle [B] = \ matematyczna {g^{1/2}cm^{-1/2}s^{-1}} }$ .

Przypadek relatywistyczny

W przypadku cząstek relatywistycznych równanie klasyczne należy interpretować w kategoriach pędu cząstki ${\ Displaystyle p = \ gamma mv}$ :

$${\ Displaystyle r_ {g} = {\ Frac {p _ {\ sprawca}} {| q | B}} = {\ Frac {\ gamma mv_ {\ sprawca}} {| q | B}}}$$

gdzie jest współczynnikiem $_$ . To równanie jest poprawne również w przypadku nierelatywistycznym.

W przypadku obliczeń w fizyce akceleratorów i astrocząstek wzór na promień bezwładności można zmienić, aby uzyskać

$${\ Displaystyle r_ {g}/\ operatorname {metr} = 3,3 \ razy {\ Frac {(\ gamma mc ^ {2}/\ operatorname {GeV}) (v_ {\ sprawca} / c)}} {(| q |/e)(B/\mathrm {Tesla} )}},}$$

gdzie $jest$ prędkością $_$$jest$ jednostką Giga - elektronowoltów i elementarnym _ _

Pochodzenie

Jeśli naładowana cząstka się porusza, będzie działać siła Lorentza określona przez

$${\ Displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {v}} \ razy {\ vec {B}}),}$$

gdzie $wektorem$ prędkości $.$ pola magnetycznego _

Zauważ, że kierunek siły jest określony przez iloczyn krzyżowy prędkości i pola magnetycznego. Zatem siła Lorentza będzie zawsze działać prostopadle do kierunku ruchu, powodując, że cząstka wiruje lub porusza się po okręgu. Promień tego okręgu można wyznaczyć, przyrównując wielkość siły Lorentza do siły dośrodkowej jako ${\ displaystyle r_ {g}}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {mv_ {\ sprawca} ^ {2}} {r_ {g}}} = | q | v_ {\ sprawca} B.}$$

Zmieniając układ, promień bezwładności można wyrazić jako

$${\ Displaystyle r_ {g} = {\ Frac {mv_ {\ sprawca}} {| q | B}}.}$$

Zatem promień bezwładności jest wprost proporcjonalny do masy cząstki i prędkości prostopadłej, podczas gdy jest odwrotnie proporcjonalny do ładunku elektrycznego cząstki i natężenia pola magnetycznego. Czas potrzebny cząstce na wykonanie jednego obrotu, zwany okresem , można obliczyć

$${\ Displaystyle T_ {g} = {\ Frac {2 \ pi r_ {g}} {v_ {\ sprawca}}}.}$$

Ponieważ okres jest odwrotnością częstotliwości, którą znaleźliśmy

$${\ Displaystyle f_ {g} = {\ Frac {1} {T_ {g}}} = {\ Frac {| q | B} {2 \ pi m}}}$$

i dlatego

$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = {\ Frac {| q | B} {m}}.}$$

Zobacz też

• Sztywność belki
• Cyklotron
• Ruch cząstek magnetosfery
• Żyrokinetyka