Równanie Walda

W teorii prawdopodobieństwa równanie Walda , tożsamość Walda lub lemat Walda jest ważną tożsamością , która upraszcza obliczenie wartości oczekiwanej sumy losowej liczby losowych wielkości . W swojej najprostszej postaci wiąże oczekiwanie sumy losowo wielu skończonych średnich, niezależnych i identycznie rozłożonych zmiennych losowych z oczekiwaną liczbą wyrazów w sumie i wspólną wartością oczekiwaną zmiennych losowych pod warunkiem, że liczba wyrazów w suma jest niezależny od sum.

Równanie nosi imię matematyka Abrahama Walda . Tożsamość dla drugiego momentu jest określona przez równanie Blackwella-Girshicka.

Wersja podstawowa

Niech ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} będzie sekwencją niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie o wartościach rzeczywistych i niech N ≥ 0 będzie zmienną losową o wartości całkowitej, która jest niezależna od sekwencji ( X n ) n ∈ N {\ Displaystyle \ mathbb {N} } X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} . Załóżmy, że N i X _n mają skończone oczekiwania. Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [X_ {1} + \ kropki + X_ {N}] = \ nazwa operatora {E} [N] \ nazwa operatora {E} [X_ {1}] \ ,.}$

Przykład

Rzuć sześciościenną kostką . Weź liczbę na kostce (nazwij ją N ) i rzuć tą liczbą sześciennych kostek, aby otrzymać liczby X ₁ , . . . , X _N i dodaj ich wartości. Z równania Walda wynikowa wartość wynosi średnio

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [N] \ nazwa operatora {E} [X] = {\ Frac {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6} {6}} \ cdot {\ Frac {1 + 2+ 3+4+5+6}{6}}={\frac {441}{36}}={\frac {49}{4}}=12,25\,.}$

Wersja ogólna

Niech ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} będzie nieskończoną sekwencją zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych i niech N będzie nieujemną zmienną losową o wartościach całkowitych.

Zakładać, że:

. ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} są całkowalnymi (o skończonej średniej) zmiennymi losowymi,

. E[ X _n 1 _{{ N ≥ n }} ] = E[ X _n ] P( N ≥ n ) dla każdej liczby naturalnej n , i

. nieskończony szereg spełnia

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {E} \! {\ bigl [}| X_ {n} | 1_ {\ {N \ geq n \}} {\ bigr ]} <\infty.}$

Następnie losowe sumy

${\ Displaystyle S_ {N}: = \ suma _ {n = 1} ^ {N} X_ { n},\qquad T_{N}:=\suma _{n=1}^{N}\nazwa_operatora {E} [X_{n}]}$

są całkowalne i

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ nazwa operatora {E} [T_ {N}].}$

Jeśli dodatkowo

. ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} wszyscy mają takie same oczekiwania i

. N ma skończone oczekiwanie,

Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ nazwa operatora {E} [N] \, \ nazwa operatora {E} [X_ {1}].}$

Uwaga: Zwykle nazwa równania Walda odnosi się do tej ostatniej równości.

Omówienie założeń

Oczywiście założenie ( 1 ) jest potrzebne do sformułowania założenia ( 2 ) i równania Walda. Założenie ( 2 ) kontroluje wielkość dozwolonej zależności między sekwencją ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} a liczbą N wyrazów; zobacz kontrprzykład poniżej dla konieczności . Zauważ, że założenie ( 2 ) jest spełnione, gdy N jest czasem zatrzymania sekwencji ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} . Założenie ( 3 ) ma charakter bardziej techniczny, implikuje absolutną zbieżność , a tym samym pozwala na dowolne przegrupowanie nieskończonego szeregu w dowodzie.

Jeśli spełnione jest założenie ( 5 ), to założenie ( 3 ) można wzmocnić do prostszego warunku

. istnieje rzeczywista stała C taka, że ​​E[| Xn _{_} | 1 _{{ N ≥ n }} ] ≤ C P( N ≥ n ) dla wszystkich liczb naturalnych n .

Rzeczywiście, korzystając z założenia ( 6 ),

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {E} \! {\ bigl [} |X_{n}|1_{\{N\geq n\}}{\bigr ]}\równoważnik C\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} (N\geq n), }$

  a ostatnia seria równa się wartości oczekiwanej N ^{[ Dowód ]} , która z założenia jest skończona ( 5 ). Dlatego ( 5 ) i ( 6 ) implikują założenie ( 3 ).

Załóżmy oprócz ( 1 ) i ( 5 ), że

. N jest niezależne od sekwencji ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} i

. istnieje stała C taka, że ​​E[| X _n |] ≤ C dla wszystkich liczb naturalnych n .

Wtedy wszystkie założenia ( 1 ), ( 2 ), ( 5 ) i ( 6 ), a więc i ( 3 ) są spełnione. W szczególności warunki ( 4 ) i ( 8 ) są spełnione, jeśli

. wszystkie zmienne losowe ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} mają ten sam rozkład.

Zauważ, że zmienne losowe sekwencji ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} nie muszą być niezależne.

Interesującym punktem jest dopuszczenie pewnej zależności między losową liczbą N wyrazów a sekwencją ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} . Standardowa wersja zakłada ( 1 ), ( 5 ), ( 8 ) i istnienie filtracji ( fa n ₎ n _{∈ N $\ Displaystyle \ mathbb {N}}$0}

. N jest czasem zatrzymania w odniesieniu do filtracji, a

. X _n i fa _{n –1} są niezależne dla każdego n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ .

Wtedy ( 10 ) implikuje, że zdarzenie { N ≥ n } = { N ≤ n – 1} ^c jest w F _{n –1} , a więc przez ( 11 ) niezależne od X _n . To implikuje ( 2 ) i razem z ( 8 ) implikuje ( 6 ).

Dla wygody (patrz dowód poniżej przy użyciu opcjonalnego twierdzenia o zatrzymaniu) i aby określić relację sekwencji ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} i filtracji ( fa _n ) _{n ∈ ${\ displaystyle \mathbb {N} }$0} , często nakładane jest następujące dodatkowe założenie:

. sekwencja ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} jest dostosowana do filtracji ( fa _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} , co oznacza, że ​​X _n jest fa _n -mierzalny dla co n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ .

Zauważ, że ( 11 ) i ( 12 ) razem oznaczają, że zmienne losowe ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} są niezależne.

Aplikacja

Zastosowanie znajduje się w naukach aktuarialnych , gdy rozważanie całkowitej kwoty roszczenia następuje po złożonym procesie Poissona

${\ Displaystyle S_ {N} = \ suma _ {n = 1} ^ {N} X_ {n}}$

w określonym przedziale czasu, powiedzmy jednego roku, wynikającym z losowej liczby N indywidualnych roszczeń ubezpieczeniowych, których rozmiary są opisane zmiennymi losowymi ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} . Przy powyższych założeniach można zastosować równanie Walda do obliczenia oczekiwanej całkowitej kwoty odszkodowania, gdy dostępne są informacje o średniej liczbie szkód w ciągu roku i średniej wielkości szkody. Przy silniejszych założeniach i większej ilości informacji o podstawowych rozkładach, rekurencja Panjera można użyć do obliczenia rozkładu S _N .

Przykłady

Przykład z warunkami zależnymi

Niech N będzie całkowalną zmienną losową o wartościach $rzeczywistych , która jest niezależna od całkowalnej zmiennej losowej$₀ o wartościach rzeczywistych przy E [ Z ] = 0 . Zdefiniuj X _n = (–1) ⁿ Z dla wszystkich n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ . Następnie założenia ( 1 ), ( 5 ), ( 7 ) i ( 8 ) gdzie C := E[| Z |] są spełnione, stąd też ( 2 ) i ( 6 ) i obowiązuje równanie Walda. Jeśli rozkład Z nie jest symetryczny, to ( 9 ) nie zachodzi. Zauważ, że gdy Z nie jest prawie na pewno równe zerowej zmiennej losowej, to ( 11 ) i ( 12 ) nie mogą jednocześnie zachodzić dla żadnej filtracji ( fa _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} , ponieważ Z nie może być niezależnym od siebie jako E[ Z ² ] = (E[ Z ]) ² = 0 jest niemożliwe.

Przykład, w którym liczba terminów zależy od sekwencji

Niech ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} będzie sekwencją niezależnych, symetrycznych i {–1, +1 } -wartościowych zmiennych losowych. Dla każdego niech F $będzie$ n _przez σ algebrą generowaną X 1 _, . . . , X _n i zdefiniuj N = n , gdy X _n jest pierwszą zmienną losową przyjmującą wartość +1 . Zauważ, że P( N = n ) = 1/2 ⁿ , stąd E[ N ] <∞ przez test ilorazowy . Założenia ( 1 ), ( 5 ) i ( 9 ), stąd ( 4 ) i ( 8 ) przy C = 1 , ( 10 ), ( 11 ) i ( 12 ) są spełnione, stąd też ( 2 ) i ( 6 ) ) i obowiązuje równanie Walda. Jednak ( 7 ) nie zachodzi, ponieważ N jest zdefiniowane w kategoriach sekwencji ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} . Intuicyjnie można by oczekiwać, że E[ S _N ] > 0 , ponieważ sumowanie zatrzymuje się zaraz po jedynki, w ten sposób najwyraźniej tworzy się dodatnie odchylenie. Jednak równanie Walda pokazuje, że ta intuicja jest myląca.

kontrprzykłady

Kontrprzykład ilustrujący konieczność założenia ( 2 )

Rozważmy identycznie rozłożonych zmiennych losowych sekwencję iid ( _{niezależnych i 1 $)$} z prawdopodobieństwem _1/2 zmiennych losowych, przyjmując każdą z dwóch wartości 0 i właściwie tylko X ₁ jest potrzebne w dalszej części). Zdefiniuj N = 1 – X ₁ . Wtedy S _N jest identycznie równe zeru, stąd E[ S _N ] = 0 , ale E[ X ₁ ] = 1 / 2 i E [ N ] = 1 / 2 , a zatem równanie Walda nie jest spełnione. Rzeczywiście, założenia ( 1 ), ( 3 ) , ( 4 ) i ( 5 ) wyjątkiem n $2$ spełnione, jednak równanie w założeniu ( ) zachodzi dla wszystkich z = 1 .

Kontrprzykład ilustrujący konieczność założenia ( 3 )

Bardzo podobnie do drugiego przykładu powyżej, niech ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} będzie sekwencją niezależnych, symetrycznych zmiennych losowych, gdzie X _n przyjmuje każdą z wartości 2 ⁿ i –2 ⁿ z prawdopodobieństwo 1 / 2 . Niech N n będzie $n$ pierwszym takim ^że X ₌ 2 . Wtedy, jak wyżej, N ma skończoną wartość oczekiwaną, stąd założenie ( 5 ) jest spełnione. Ponieważ mi [ X _n ] = 0 dla wszystkich n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ , założenia ( 1 ) i ( 4 ) są spełnione. Ponieważ jednak S _N = 1 prawie na pewno, równanie Walda nie może być spełnione.

Ponieważ N jest czasem zatrzymania w odniesieniu do filtracji generowanej przez ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} , założenie ( 2 ) jest spełnione, patrz wyżej. Dlatego tylko założenie ( 3 ) może zawieść, i rzeczywiście, ponieważ

${\ Displaystyle \ {N \ geq n \} = \ {X_ {i} = -2 ^ {i} \text{ for }}i=1,\ldots ,n-1\}}$

a zatem P. ( N ≥ n ) = 1/2 ^{n –1} dla każdego wynika z tego, że n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {E} \! {\ bigl [}| X_ {n} | 1_ {\ {N \ geq n \}} {\ bigr ]} =\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\,\operatorname {P} (N\geq n)=\sum _{n=1}^{\infty }2=\infty .}$

Dowód z wykorzystaniem opcjonalnego twierdzenia o zatrzymaniu

Załóżmy ( 1 ), ( 5 ), ( 8 ), ( 10 ), ( 11 ) i ( 12 ). Korzystając z założenia ( 1 ), zdefiniuj sekwencję zmiennych losowych

${\ Displaystyle M_ {n} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - \ nazwa operatora {E} [X_ {i}]), \ quad n \ w {\ mathbb {N} }_{0}.}$

Założenie ( 11 ) implikuje, że warunkowe oczekiwanie X _n dane fa _{n –1} jest równe mi [ X _n ] prawie na pewno dla każdego n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ , stąd ( M _n ) _{n ∈ ${\ displaystyle \mathbb {N} }$0} jest martyngałem ze względu na filtrację ( F _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$0} z założenia ( 12 ). Założenia ( 5 ), ( 8 ) i ( 10 ) dają pewność , że możemy zastosować opcjonalne twierdzenie o stopowaniu , stąd M _N = S _N – T _N jest całkowalne i

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N} -T_ {N}] = \ nazwa operatora {E} [M_ {0}] = 0.}$

 

 

 

 

()

Z założenia ( 8 ),

${\ Displaystyle | T_ {N} | = {\ biggl |} \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ operatorname {E} [X_ {i}] {\ biggr |} \ równoważnik \sum _{i=1}^{N}\nazwa_operatora {E} [|X_{i}|]\równoważnik CN,}$

iz powodu założenia ( 5 ) ta górna granica jest całkowalna. Stąd możemy dodać wartość oczekiwaną TN _liniowość do obu stron równania ( 13 ) i otrzymać przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ nazwa operatora {E} [T_ {N}].}$

Uwaga: Należy zauważyć, że ten dowód nie obejmuje powyższego przykładu terminami zależnymi .

Dowód ogólny

Dowód ten wykorzystuje tylko monotonne i zdominowane twierdzenia o zbieżności Lebesgue'a . Udowodnimy powyższe stwierdzenie w trzech krokach.

Krok 1: Całkowalność sumy losowej S _N

Najpierw pokażemy, że losowa suma S _N jest całkowalna. Zdefiniuj sumy częściowe

${\ Displaystyle S_ {i} = \ suma _ {n = 1} ^ {i} X_ {n}, \ quad i \ w {\ mathbb {N}} _ {0}.}$

 

 

 

 

()

Ponieważ N przyjmuje swoje wartości w i ponieważ ₀ S = 0 , wynika z tego, że ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$₀

${\ Displaystyle | S_ {N} | = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} | S_ {i} |\, 1_ {\ {N = i \}}.}$

Wynika to z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [| S_ {N} |] = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {E} [| S_ {i} | \, 1_ {\ {N = I\}}].}$

Z nierówności trójkąta

${\ Displaystyle | S_ {i} | \ równoważnik \ suma _ {n = 1} ^ {i} | X_ {n} | \ quad i \ w {\ mathbb {N}}.}$

Korzystając z tego górnego oszacowania i zmieniając kolejność sumowania (co jest dozwolone, ponieważ wszystkie wyrazy są nieujemne), otrzymujemy

$\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [| S_ {N} |] \ równoważnik \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {i = n} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {E} [|X_{n}|\,1_{\{N=i\}}]=\suma_{n=1}^{\infty }\nazwa_operatora {E} [|X_{n}|\,1_{ \{N\geq n\}}],}$

 

 

 

 

()

gdzie następuje druga nierówność przy użyciu twierdzenia o zbieżności monotonicznej. Z założenia ( 3 ) nieskończony ciąg po prawej stronie ( 15 ) jest zbieżny, stąd S _N jest całkowalny.

Krok 2: Całkowalność sumy losowej T _N

Pokażemy teraz, że losowa suma T _N jest całkowalna. Zdefiniuj sumy częściowe

${\ Displaystyle T_ {i} = \ suma _ {n = 1} ^ {i} \ operatorname {E} [X_ {n}] ,\quad i\w {\mathbb {N}}_{0},}$

 

 

 

 

()

liczb rzeczywistych. Ponieważ N przyjmuje swoje wartości w i ponieważ ₀ T = 0 , wynika z tego, że ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$₀

${\ Displaystyle | T_ {N} | = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} | T_ {i} |\, 1_ {\ {N = i \}}.}$

Podobnie jak w kroku 1, implikuje to twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [| T_ {N} |] = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} | T_ {i} | \ nazwa operatora {P} (N = i).}$

Z nierówności trójkąta

${\ Displaystyle | T_ {i} | \ równoważnik \ suma _ {n = 1} ^ {i} {\ bigl |} \! \ operatorname {E} [X_ {n}] {\ bigr |}, \ quad ja \w {\mathbb {N}}.}$

Korzystając z tego górnego oszacowania i zmieniając kolejność sumowania (co jest dozwolone, ponieważ wszystkie wyrazy są nieujemne), otrzymujemy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [| T_ {N} |] \ równoważnik \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ bigl |} \! \ nazwa operatora {E} [X_ {n}] { \bigr |}\underbrace {\sum _{i=n}^{\infty}\operatorname {P} (N=i)} _{=\,\operatorname {P} (N\geq n)},}$

 

 

 

 

()

Z założenia ( 2 ),

${\ Displaystyle {\ bigl |} \! \ nazwa operatora {E} [X_ {n}] {\ bigr |} \ nazwa operatora {P} (N \ geq n) = {\ bigl |} \! \ nazwa operatora {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}]{\bigr |}\leq \operatorname {E} [|X_{n}|1_{\{N\geq n\}}],\ quad n \ w {\ mathbb {N}}.}$

Podstawiając to do ( 17 ) otrzymujemy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [| T_ {N} |] \ równoważnik \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {E} [| X_ {n} |1_{\{N\geq n\}}],}$

TN _który jest skończony z założenia ( 3 ), stąd jest całkowalny.

Krok 3: Dowód tożsamości

Aby udowodnić równanie Walda, zasadniczo przechodzimy ponownie przez te same kroki bez wartości bezwzględnej, wykorzystując całkowalność sum losowych S _N i T _N , aby pokazać, że mają te same oczekiwania.

Wykorzystanie twierdzenia o zdominowanej zbieżności z dominującą zmienną losową | SN _{_} | a definicja sumy cząstkowej S _i podana w ( 14 ), wynika z tego

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {E} [S_ {i} 1_ {\ {N = i \}}] = \sum _{i=1}^{\infty}\sum _{n=1}^{i}\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N=i\}}].}$

Ze względu na absolutną zbieżność wykazaną w ( 15 ) powyżej przy użyciu założenia ( 3 ), możemy przeorganizować sumowanie i otrzymać, że

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {i = n} ^ {\ infty} \ nazwa operatora {E} [X_ {n }1_{\{N=i\}}]=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {E} [X_{n}1_{\{N\geq n\}}],}$

gdzie wykorzystaliśmy założenie ( 1 ) i twierdzenie o zbieżności zdominowanej z dominującą zmienną losową | Xn _{_} | dla drugiej równości. Ze względu na założenie ( 2 ) i σ-addytywność miary prawdopodobieństwa,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {E} [X_ {n} 1_ {\ {N \ geq n \}}] & = \ nazwa operatora {E} [X_ {n}] \ nazwa operatora {P} ( N\geq n)\\&=\nazwa_operatora {E} [X_{n}]\sum _{i=n}^{\infty }\nazwa_operatora {P} (N=i)=\sum _{i= n}^{\infty }\nazwa_operatora {E} \!{\bigl [}\nazwa_operatora {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}}{\bigr ]}.\end{wyrównane }}}$

Podstawiając ten wynik do poprzedniego równania, przestawiając sumowanie (co jest dozwolone ze względu na zbieżność bezwzględną, patrz ( 15 ) powyżej), stosując liniowość oczekiwań i definicję częściowej sumy T _i oczekiwań podaną w ( 16 ),

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 1} ^ {i} \ nazwa operatora {E} \! {\ bigl [}\operatorname {E} [X_{n}]1_{\{N=i\}}{\bigr ]}=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {E} [\underbrace {T_{i}1_{\{N=i\}}} _{=\,T_{N}1_{\{N=i\}}}].}$

Używając ponownie zdominowanej zbieżności z dominującą zmienną losową | T _N | ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [S_ {N}] = \ nazwa operatora {E} \! {\ biggl [} T_ {N} \ underbrace {\ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} 1_ {\ {N=i\}}} _{=\,1_{\{N\geq 1\}}}{\biggr ]}=\nazwa operatora {E} [T_{N}].}$

Jeżeli założenia ( 4 ) i ( 5 ) są spełnione, to przez liniowość oczekiwań,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [T_ {N}] = \ nazwa operatora {E} \! {\ biggl [} \ suma _ {n = 1} ^ {N} \ nazwa operatora {E} [X_ {n}] {\biggr ]}=\nazwa_operatora {E} [X_{1}]\nazwa_operatora {E} \!{\biggl [}\underbrace {\sum _{n=1}^{N}1} _{=\ ,N}{\biggr ]}=\nazwa_operatora {E} [N]\nazwa_operatora {E} [X_{1}].}$

To kończy dowód.

Dalsze uogólnienia

• zmienne _stosując wersję składnika _{wartościach R $.$} Walda można przenieść na losowe o d ^, jednowymiarową do każdego
• Jeśli ( X _n ) _{n ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$} są zmiennymi losowymi całkowalnymi Bochnera przyjmującymi wartości w przestrzeni Banacha , to powyższy ogólny dowód można odpowiednio dostosować.

Zobacz też

• Nierówność Lordena
• martyngał Walda
• Wzór Spitzera

Notatki

•     Wald, Abraham (wrzesień 1944). „O skumulowanych sumach zmiennych losowych” . Roczniki statystyki matematycznej . 15 (3): 283–296. doi : 10.1214/aoms/1177731235 . JSTOR 2236250 . MR 0010927 . Zbl 0063.08122 .
•     Wald, Abraham (1945). „Niektóre uogólnienia teorii skumulowanych sum zmiennych losowych” . Roczniki statystyki matematycznej . 16 (3): 287–293. doi : 10.1214/aoms/1177731092 . JSTOR 2235707 . MR 0013852 . Zbl 0063.08129 .
• Blackwell, D.; Girshick, MA (1946). „O funkcjach ciągów niezależnych wektorów szans z zastosowaniami do problemu„ błądzenia losowego ”w k wymiarach” . Ann. Matematyka etatysta . 17 (3): 310–317. doi : 10.1214/aoms/1177730943 .
•    Chan, Hock Peng; Fuh, Cheng-Der; Hu, Inchi (2006). „Problem wielorękiego bandyty z relacjami pierwszeństwa”. Szeregi czasowe i tematy pokrewne . Instytut Statystyki Matematycznej Notatki z wykładów - seria monografii. Tom. 52. s. 223–235. arXiv : matematyka/0702819 . doi : 10.1214/074921706000001067 . ISBN 978-0-940600-68-3 . S2CID 18813099 .

Linki zewnętrzne

• „Tożsamość Walda” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]