Relacja McCumbera

Relacja McCumbera (lub teoria McCumbera) to związek między efektywnymi przekrojami absorpcji i emisji światła w fizyce laserów na ciele stałym . Jej nazwa pochodzi od Deana McCumbera, który zaproponował związek w 1964 roku.

Definicja

Niech $będzie$ przekrojem absorpcji $sigma _ {\ rm {e$$będą$ efektywnymi przekrojami poprzecznymi emisji przy częstotliwości $i$ będą efektywną temperaturą ośrodka. Relacja McCumbera jest

(1) ${\ Displaystyle {\ Frac {\ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega)} {\ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)}} \ exp \! \ lewo ({\ frac { \hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)=\left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {N_ {1}} {N_ {2}}} \ prawej) _ {T}}$ jest termicznym stosunkiem populacji w stanie ustalonym; częstotliwość $;$ częstotliwością „linii zerowej” ${\ Displaystyle \ hbar}$$to$ Plancka , to stała Boltzmanna . Zauważ, że prawa strona Równania (1) nie zależy od ${\ Displaystyle ~ \ omega ~}$ .

Osiągać

Typowe jest, że właściwości laserowe ośrodka zależą od temperatury i populacji na poziomie wzbudzonego lasera i nie są wrażliwe na metodę wzbudzenia zastosowaną do jego osiągnięcia. W tym przypadku przekrój absorpcji i przekrój poprzeczny emisji ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)}$$)}$${\ Displaystyle \ sigma _ { \ rm {e}} (\$$omega$ przy częstotliwości wzmocnieniem laserów w taki sposób, aby wzmocnienie przy tej częstotliwości można było określić w następujący sposób:

(2) ${\ Displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~ G (\ omega) = N_ {2 }\sigma _{\rm {e}}(\omega)-N_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega)}$

DEMcCumber postulował te właściwości i stwierdził, że przekroje poprzeczne emisji i absorpcji nie są niezależne; są one powiązane z równaniem (1).

Wyidealizowane atomy

W przypadku wyidealizowanego atomu dwupoziomowego szczegółowy bilans emisji i absorpcji , który zachowuje wzór Plancka dla promieniowania ciała doskonale czarnego, prowadzi do równości przekroju poprzecznego absorpcji i emisji . W laserach na ciele stałym rozszczepienie każdego z poziomów lasera prowadzi do poszerzenia znacznie przekraczającego naturalną szerokość linii widmowej. W przypadku idealnego atomu dwupoziomowego iloczyn szerokości linii i czasu życia jest rzędu jedności, co jest zgodne z zasadą nieoznaczoności Heisenberga . W materiałach laserowych na ciele stałym szerokość linii jest o kilka rzędów wielkości większa, więc widma emisji i absorpcji są określane na podstawie rozkładu wzbudzenia między podpoziomami, a nie na podstawie kształtu linii widmowej każdego pojedynczego przejścia między podpoziomami. Rozkład ten jest określony przez efektywną temperaturę w obrębie każdego z poziomów lasera. Hipoteza McCumbera głosi, że rozkład wzbudzenia między podpoziomami jest termiczny. Efektywna temperatura określa widma emisji i absorpcji ( Efektywna temperatura nazywana jest temperaturą przez naukowców, nawet jeśli wzbudzony ośrodek jako całość jest dość daleko od stanu termicznego)

Dedukcja relacji McCumbera

Ryc.1. Szkic podpoziomów

Rozważmy zbiór aktywnych centrów (rys.1.). Załóż szybkie przejście między podpoziomami na każdym poziomie i powolne przejście między poziomami. ${\ Displaystyle \ sigma _$ poprzeczne i ${\ rm {a}}}$ zależą od populacji ${\ Displaystyle N_ {1}}$ i ${\ Displaystyle N_ {2}}$ . Możemy zatem wydedukować zależność, zakładając stan termiczny.

Niech $będzie$ grupową prędkością światła w ośrodku, iloczyn $n_ {2} \sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$ to widmowa szybkość emisji wymuszonej , a ${\ Displaystyle ~ n_ {1} \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega) v (\ omega) D (\ omega) ~} jest$ absorpcją; ${\ Displaystyle a (\ omega) n_ {2}}$ to widmowa szybkość spontanicznej emisji . (Zauważ, że w tym przybliżeniu nie ma czegoś takiego jak spontaniczna absorpcja) Bilans fotonów daje:

(3) ${\ Displaystyle ~ ~ ~ n_ {2} \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) v (\ omega) D (\ omega) + n_ {2} a (\ omega) = n_ {1} \ sigma _{\rm {a}}(\omega)v(\omega)D(\omega)~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(bilans)}}}$

Które można przepisać jako

(4) ${\ Displaystyle ~ ~ ~ D (\ omega )={\frac {\frac {a(\omega)}{\sigma _{\rm {e}}(\omega)v(\omega)}}{{\frac {n_{1}}{n_ {2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega)}{\sigma _{\rm {e}}(\omega)}}-1}}~~~~~ ~~~~~~~~~{\rm {(D1)}}}$

Rozkład termiczny gęstości fotonów wynika z promieniowania ciała doskonale czarnego

(5) ${\ Displaystyle ~ ~ ~ D (\ omega) ~ = ~ {\ Frac {{\ Frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}}{\exp \!\left({\frac {\hbar \omega}{ k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}~~~~~{\rm {(D2)}}}$

Zarówno (4), jak i (5) obowiązują dla wszystkich częstotliwości ${\ displaystyle ~ \ omega ~}$ . W przypadku wyidealizowanych dwupoziomowych centrów aktywnych ${\ Displaystyle ~ \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega) = \ sigma _ {\ rm {e$ i ${\ Displaystyle ~ n_ {1}/n_ {2} = \ exp \! \ lewo ({\ Frac {\ hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)}$ , co prowadzi do związku między szybkością widmową spontanicznej emisji ${\ Displaystyle a (\ omega)}$ przekrojem poprzecznym emisji za ${\ Displaystyle ~ \ sigma _ {\ rm {e} }(\omega)~}$ . (Zachowujemy termin prawdopodobieństwo emisji dla ilości , czyli za $\ Displaystyle ~ a (\ omega) {\ rm {d}} \ omega {\ rm {d}} t ~$ } prawdopodobieństwo emisji fotonu w małym przedziale widmowym ${\ Displaystyle ~ (\ omega, \ omega + {\ rm {d}} \ omega) ~}$ w krótkim przedziale czasu $rm {d}} t)~}$${\ Displaystyle ~ (t, t + {$$,$ zakładając, że w czasie atom jest wzbudzony.) Zależność (D2) jest podstawową właściwością emisji spontanicznej i wymuszonej i być może jedyną sposób, aby uniemożliwić spontaniczne złamanie równowagi termicznej w stanie termicznym wzbudzeń i fotonów.

Dla każdego numeru miejsca $($ dla każdego numeru podpoziomu , prawdopodobieństwo częściowej emisji widmowej $~ a_ {s, j} (\$$Displaystyle$ można wyrazić na podstawie wyidealizowanych atomów dwupoziomowych:

(6) ${\ Displaystyle ~ ~ ~ a_ {s, j} (\ omega) = \ sigma _ {s, j} (\ omega) {\ Frac {\ omega ^ {2} v (\ omega)} {\ pi ^ { 2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {porównanie1}}~~{\rm {częściowe}}}$

Pomijając spójny efekt współpracy, emisja jest addytywna: dla dowolnej koncentracji $displaystyle$ dla dowolnej częściowej populacji $~ n_ {s, j} ~}$ podpoziomy, ta sama proporcjonalność między i ${\ Displaystyle$$~ \ sigma _ {\ rm {e}} ~}$ obowiązuje dla efektywnych przekrojów: za { \ displaystyle ~ a ~} i

(7) ${\ Displaystyle {\ Frac {a (\ omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega)}}={\frac {\omega ^{2}v(\omega)}{\pi ^{2}c^{3}}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {porównanie)(av)}}}$

Następnie porównanie (D1) i (D2) daje zależność

(8) ${\ Displaystyle {\ Frac {n_ {1}} {n_ {2}}} {\ Frac {\ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)} \sigma _{\rm {e}}(\omega )}}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~ .~~~~~~~~{\rm {(n1n2)(mc1)}}}$

Ta relacja jest równoważna relacji McCumbera (mc), jeśli zdefiniujemy częstotliwość linii zerowej jako rozwiązanie równania ${\ Displaystyle \ omega _ {Z}}$

(9) ${\ Displaystyle ~ \ lewo ({\ Frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ prawej) _ {\ !T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {Z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~~~,~~ ~}$

indeks dolny $.$ , że stosunek populacji jest oceniany w stanie termicznym Częstotliwość linii zerowej można wyrazić jako

(10) ${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {Z}} = {\ Frac {k _ {\ rm {B}} T} {\ hbar}} \ ln \ lewo ({\ Frac {n_ {1} }{n_{2}}}\right)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({\rm {oz)}}}}$

Wówczas (n1n2) staje się odpowiednikiem relacji McCumbera (mc).

Do zachowania relacji McCumbera nie jest wymagana żadna specyficzna właściwość podpoziomów ośrodka aktywnego. Wynika to z założenia o szybkim przepływie energii pomiędzy wzbudzonymi poziomami lasera oraz pomiędzy niższymi poziomami lasera. Relacja McCumbera (mc) ma taki sam zakres obowiązywania jak sama koncepcja przekroju poprzecznego emisji.

Potwierdzenie relacji McCumbera

Relacja McCumber jest potwierdzona dla różnych mediów. W szczególności zależność (1) umożliwia aproksymację dwóch funkcji częstotliwości, przekrojów poprzecznych emisji i absorpcji, z pojedynczym dopasowaniem .

Naruszenie relacji McCumbera i perpetuum mobile

Ryc.2. Przekroje poprzeczne dla Yb: Gd ₂ SiO ₅ kontra ${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {2 \ pi c} {\ omega}}}$

W 2006 roku zaobserwowano silne naruszenie zależności McCumbera dla Yb:Gd ₂ SiO ₅ i opisano je w 3 niezależnych czasopismach. Typowe zachowanie zgłoszonych przekrojów pokazano na ryc. 2 z grubymi krzywymi. Przekrój poprzeczny emisji jest praktycznie zerowy przy długości fali 975 nm; ta właściwość sprawia, że ​​Yb:Gd ₂ SiO ₅ jest doskonałym materiałem do wydajnych laserów na ciele stałym .

Jednak opisana właściwość (grube krzywe) nie jest zgodna z drugą zasadą termodynamiki . Z takiego materiału możliwe byłoby urządzenie perpetuum mobile . Wystarczyłoby wypełnić pudełko ze ścianami odbijającymi Yb:Gd ₂ SiO ₅ i pozwolić mu na wymianę promieniowania z ciałem doskonale czarnym przez spektralnie selektywne okno, które jest przezroczyste w okolicach 975 nm i odbijające przy innych długościach fal. Ze względu na brak emisyjności przy 975 nm ośrodek powinien się ogrzać, naruszając równowagę termiczną.

Na podstawie drugiej zasady termodynamiki wyniki eksperymentalne zostały obalone w 2007 roku. Wraz z teorią McCumbera zaproponowano poprawkę na efektywny przekrój emisji (cienka czarna krzywa). Następnie poprawkę tę potwierdzono eksperymentalnie.