Relaksacja Havriliaka-Negamiego

Havriliaka – Negamiego jest empiryczną modyfikacją modelu relaksacji Debye'a w elektromagnetyzmie. W przeciwieństwie do modelu Debye'a, relaksacja Havriliaka-Negamiego odpowiada za asymetrię i szerokość krzywej dyspersji dielektryka . Model został po raz pierwszy użyty do opisania relaksacji dielektrycznej niektórych polimerów poprzez dodanie dwóch parametrów wykładniczych do równania Debye'a:

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ varepsilon}} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ Frac {\Delta \varepsilon}}{(1+(i\omega\tau)^{\alpha})^{\beta}}},}

gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}$ to przenikalność przy górnej granicy częstotliwości, $}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ varepsilon = \ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ { \$ $ośrodka$ $jest$ gdzie jest przenikalnością niskich częstotliwości, a charakterystycznym czasem relaksacji . Wykładniki ${\ displaystyle \ alpha}$ $i$ opisują i szerokość odpowiednich widm.

W zależności od zastosowania, transformata Fouriera rozciągniętej funkcji wykładniczej może być realną alternatywą, która ma jeden parametr mniej.

Dla ${\ displaystyle \ beta = 1}$ równanie Havriliak-Negami redukuje się do równania Cole'a-Cole'a , dla ${\ displaystyle \ alfa = 1}$ do równania Cole'a-Davidsona .

Właściwości matematyczne

Części rzeczywiste i urojone

Część magazynująca i część stratna przenikalności elektrycznej (tutaj: ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ varepsilon}} (\ omega) = \ varepsilon '(\ omega) -i \ varepsilon '' (\ omega)}$ $\ Displaystyle \$ $'$ z ${\ Displaystyle (\ pm i) ^ {2} = -1}$ ) można obliczyć jako

{\ Displaystyle \ varepsilon '(\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + \ Delta \ varepsilon \ lewo (1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {\ alfa} \ cos (\ pi \ alfa / 2) +(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\cos(\beta \phi)}

I

{\ Displaystyle \ varepsilon '' (\ omega) = \ Delta \ varepsilon \ lewo (1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {\ alfa} \ cos (\ pi \ alfa / 2) + (\ omega \ tau) ^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\sin(\beta \phi)}

z

{\ Displaystyle \ phi = \ arctan \ lewo ({(\ omega \ tau )^{\alpha }\sin(\pi \alpha /2) \over 1+(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)}\right)}

Szczyt strat

Maksymalna część straty leży w

{\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {max} }=\left({\sin \left({\pi \alpha \over 2(\beta +1)}\right) \over \sin \left({\pi \alpha \beta \over 2(\beta + 1)}\right)}\right)^{1/\alpha }\tau ^{-1}}

Superpozycja Lorentzów

Relaksację Havriliaka-Negamiego można wyrazić jako superpozycję poszczególnych relaksacji Debye'a

{\ Displaystyle {{\ kapelusz {\ varepsilon}} (\ omega) -\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }=\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over 1+i\omega \tau _{D}}g(\ln \ tau _{D})d\ln \tau _{D}}

z funkcją rozkładu o wartościach rzeczywistych

{\ Displaystyle g (\ ln \ tau _ {D}) = {1 \ ponad \ pi} {(\ tau _ {D}/\ tau) ^ {\ alfa \ beta} \ sin (\ beta \ teta) \over ((\tau _{D}/\tau )^{2\alpha }+2(\tau _{D}/\tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha )+1)^ {\beta /2}}}

Gdzie

{\ Displaystyle \ theta = \ arctan \ lewo ({\ sin (\ pi \ alfa) \ nad (\ tau _{D}/\tau )^{\alpha}+\cos(\pi \alpha)}\right)}

jeśli argument arcus tangensa jest dodatni, w przeciwnym razie

{\ Displaystyle \ theta = \ arctan \ lewo ({\ sin (\ pi \ alfa) \ ponad (\tau _{D}/\tau )^{\alpha}+\cos(\pi \alpha)}\right)+\pi}

Godny uwagi, ${\ Displaystyle g (\ ln \ tau)}$ staje się wyimaginowaną wartością dla

{\ Displaystyle {{\ kapelusz {\ varepsilon}} (\ omega) - \ epsilon _ { \infty } \over \Delta \varepsilon }={(i\omega \tau )^{\alpha \beta } \over (1+(i\omega \tau )^{\alpha})^{\beta }} }

i złożony ceniony za

{\ Displaystyle {{\ kapelusz {\ varepsilon}} (\ omega) - \ epsilon _ {\ infty} \ nad \ Delta \varepsilon }={1 \over (1-(\omega \tau )^{2\alpha})^{\beta }}}

Momenty logarytmiczne

Pierwszym momentem logarytmicznym tego rozkładu jest średni czas relaksacji logarytmicznej

{\ Displaystyle \ langle \ ln \ tau _ {D} \ rangle = \ ln \ tau + {\ psi (\ beta) + {\ rm {Eu}} \over \alpha }}

gdzie $jest$ funkcją i $_$ . _ _ _

Odwrotna transformata Fouriera

Odwrotną transformatę Fouriera funkcji Havriliak-Negami (odpowiednia funkcja relaksacji w dziedzinie czasu) można obliczyć numerycznie. Można pokazać, że zastosowane rozwinięcia szeregów są szczególnymi przypadkami funkcji Foxa – Wrighta . W szczególności w dziedzinie czasu odpowiednik można przedstawić jako ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ varepsilon}} (\ omega)}$

{\ Displaystyle X (t) = \ varepsilon _ {\ infty} \ delta (t) + {\ Frac {\ Delta \ varepsilon} {\ tau}} \ lewo ({\ Frac {t} {\ tau}} \ dobrze)^{\alpha \beta -1}E_{\alpha ,\alpha \beta}^{\beta}(-(t/\tau)^{\alpha}),}

gdzie jest funkcją delta Diraca i ${\ Displaystyle \ delta (t)}$

{\ Displaystyle E _ {\ alfa, \ beta} ^ {\ gamma} (z) = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ gamma)}} \ suma _ {k = 0} ^{\infty}}{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta)}}}

jest szczególnym przypadkiem funkcji Foxa-Wrighta , a dokładniej jest to trzyparametrowa funkcja Mittaga-Lefflera, znana również jako funkcja Prabhakara. Funkcję można oszacować $.$

Zobacz też