Reprezentacja aż do homotopii

Reprezentacja aż do homotopii ma kilka znaczeń. Jeden z najwcześniejszych pojawił się w „fizycznym” kontekście ograniczonych układów hamiltonowskich. Zasadniczą ideą jest podniesienie niereprezentacji na iloraz do reprezentacji aż do silnej homotopii na rozdzielczości ilorazu. Jako pojęcie w geometrii różniczkowej uogólnia pojęcie reprezentacji algebry Liego na algebroidy Liego i nietrywialne wiązki wektorowe . Jako taki został wprowadzony przez Abada i Crainica .

Jako motywację rozważ regularny algebroid Liego ( A , ρ ,[.,.]) (regularny oznaczający, że kotwica ρ ma stałą rangę), gdzie mamy dwa naturalne połączenia A na g ( A ) = ker ρ i ν ( A )= TM /im ρ odpowiednio:

${\ Displaystyle \ nabla \ okrężnica \ Gamma (A) \ razy \ Gamma ({\mathfrak {g}}(A))\to \Gamma ({\mathfrak {g}}(A)):\nabla _{\!\phi \,}\psi :=[\phi ,\psi ],}$

${\ Displaystyle \ nabla \ okrężnica \ Gamma (A) \ razy \ Gamma (\ nu (A)) \ do \ Gamma (\ nu (A)): \ nabla _ {\! \ phi \,} {\ overline { X}}:={\overline {[\rho (\phi),X]}}.}$

W teorii deformacji algebroidu Liego A istnieje długi ciąg dokładny

${\ Displaystyle \ kropki \ do H ^ {n} (A, {\ mathfrak {g}} (A)} \ do H_ {def} ^ {n} (A) \ do H ^ {n-1} (A ,\nu (A))\do H^{n-1}(A,{\mathfrak {g}}(A))\do \dots }$

Sugeruje to, że prawidłowa kohomologia dla deformacji (tutaj oznaczona jako Hdef ) pochodzi z bezpośredniej sumy dwóch modułów g ( A ) i v ( A ) i _powinna być nazywana reprezentacją sprzężoną . Należy jednak zauważyć, że w bardziej ogólnym przypadku, gdy ρ nie ma stałego rzędu, nie możemy łatwo zdefiniować reprezentacji g ( A ) i ν ( A ). Zamiast tego powinniśmy rozważyć 2-członowy kompleks A → TM i przedstawienie na nim. Prowadzi to do wyjaśnionego tutaj pojęcia.

Definicja

Niech ( A , ρ ,[.,.]) będzie algebroidem Liego nad rozmaitością gładką M i niech Ω( A ) oznacza jego kompleks algebroidalny Liego. Niech dalej E będzie wiązką wektorów z oceną ℤ nad M , a Ω( A , E ) = Ω( A ) ⊗ Γ( E ) będzie jej współłańcuchami A z oceną ℤ o wartościach w E . Reprezentacja aż do homotopii A na E jest operatorem różniczkowym D , który odwzorowuje

${\ Displaystyle D \ okrężnica \ Omega ^ {\ punktor} (A, E) \ do \ Omega ^ {\ punktor + 1} ( A,E),}$

spełnia regułę Leibniza

${\ Displaystyle D (\ alfa \ klin \ beta) = (D \ alfa) \ klin \ beta + (-1) ^ {| \ alfa |} \ alfa \ klin (D \ beta) ,}$

i kwadraty do zera, czyli D ² = 0.

Operatory homotopii

Reprezentacja do homotopii, jak wprowadzono powyżej, jest równoważna następującym danym

• operator stopnia 1 ∂: E → E , który jest równy 0,
• A -połączenie ∇ na E zgodne jako $\ Displaystyle \ nabla \ circ \ częściowe = \ częściowe \ circ \ nabla}$ { ,
• ∂ ω ₂ $R_ {$ , {\ Displaystyle \ częściowe \ + nabla
• End( E )-wartości A - p -formy ω _p całkowitego stopnia 1, które spełniają relacje homotopii….

Korespondencja charakteryzuje się jako

${\ Displaystyle D = \ częściowe + \ nabla + \ omega _ {2} + \ omega _ {3} + \ cdots. \,}$

Homomorfizmy

Homomorfizmem między reprezentacjami aż do homotopii ( E , DE ₎ i ( F , DF _E ) tego samego algebroidu Liego A jest odwzorowaniem stopnia 0 Φ:Ω( A , ) → Ω( A , F ), które komutuje z dyferencjały, tj

${\ Displaystyle D_ {F} \ circ \ Phi = \ Phi \ circ D_ {E}. \,}$

Izomorfizm jest teraz odwracalnym homomorfizmem . Oznaczamy Rep ^∞ kategorię klas równoważności reprezentacji aż do homotopii wraz z klasami równoważności homomorfizmów.

₀ W sensie powyższego rozkładu D na mapę łańcuchową ∂, połączenie ∇ i wyższe homotopie, możemy również rozłożyć Φ jako Φ + Φ ₁ + … z

${\ Displaystyle \ Phi _ {i} \ in \ Omega ^ {i} (A, \ operatorname {Hom} ^ {-i} ( E, F))}$

a następnie odczytuje warunek zgodności

${\ Displaystyle \ częściowe \ Phi _ {n} + d _ {\ nabla }(\Phi _{n-1})+[\omega _{2},\Phi _{n-2}]+\cdots +[\omega _{n},\Phi _{0}]=0 .}$

Przykłady

Przykładami są zwykłe reprezentacje algebroidów Liego, a dokładniej algebry Liego, czyli moduły.

Inny przykład podaje p -forma ω _p razem z E = M × ℝ[0] ⊕ ℝ[ p ] i operatorem D = ∇ + ω _p , gdzie ∇ jest połączeniem płaskim na wiązce trywialnej M × ℝ.

Mając reprezentację aż do homotopii jako D = ∂ + ∇ + ω ₂ + … możemy przez koniugację skonstruować nową reprezentację aż do homotopii, tj.

re' = ∂ - ∇ + ω ₂ - ω ₃ + -….

Reprezentacja łączna

Mając algebroid Liego ( A , ρ ,[.,.]) wraz z połączeniem ∇ na jego wiązce wektorów, możemy zdefiniować dwa skojarzone A -połączenia w następujący sposób

${\ Displaystyle \ nabla _ {\! \ phi \,} ^ {bas} \ psi: = [\ phi, \ psi] +\nabla _{\!\rho (\psi)\,}\phi,}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {\! \ phi \,} ^ {bas} X: = [\ rho (\ phi), X] + \ rho (\ nabla _ {\! X \,} \ phi).}$

Ponadto możemy wprowadzić krzywiznę mieszaną jako

${\ Displaystyle R ^ {bas} (\ fi, \ psi) (X): = \ nabla _ {\! X \,} [\ fi, \ psi] - [\ nabla _ {\! X \,} \ phi ,\psi ]-[\phi ,\nabla _{\!X\,}\psi ]-\nabla _{\!\nabla _{\!\psi \,}^{bas}X\,}\ phi +\nabla _{\!\nabla _{\!\psi \,}^{bas}X\,}\phi .}$

Ta krzywizna mierzy zgodność nawiasu Liego z połączeniem i jest jednym z dwóch warunków A razem z TM tworzących dopasowaną parę algebroidów Liego.

Pierwsza obserwacja jest taka, że ​​wyraz ten ozdobiony mapą kotwicy ρ wyraża odpowiednio krzywiznę obu połączeń ∇ ^bas . Po drugie, możemy dopasować wszystkie trzy składniki do reprezentacji aż do homotopii jako:

${\ Displaystyle D = \ rho + \ nabla ^ {bas} + R ^ {bas}.}$

Inną obserwacją jest to, że wynikowa reprezentacja aż do homotopii jest niezależna od wybranego połączenia ∇, głównie dlatego, że różnica między dwoma połączeniami A jest formą ( A − 1 z wartościami w Koniec ( E ​​).