Reprezentacja symplektyczna

W matematycznej dziedzinie teorii reprezentacji reprezentacja symplektyczna jest reprezentacją grupy lub algebry Liego na symplektycznej przestrzeni wektorowej ( V , ω ) zachowującej postać symplektyczną ω . Tutaj ω jest niezdegenerowaną dwuliniową symetryczną formą skośną

${\ Displaystyle \ omega \ dwukropek V \ razy V \ do \ mathbb {F}}$

gdzie F jest polem skalarów. Reprezentacja grupy G zachowuje ω jeśli

${\ Displaystyle \ omega (g \ cdot v, g \ cdot w) = \ omega (v, w)}$

dla wszystkich g w G i v , w w V , podczas gdy reprezentacja algebry Liego g zachowuje ω jeśli

${\ Displaystyle \ omega (\ xi \ cdot v, w) + \ omega (v, \ xi \ cdot w) = 0}$

dla wszystkich ξ w g i v , w w V . Zatem reprezentacja G lub g jest równoważnie homomorfizmem grupy lub algebry Liego od G lub g do grupy symplektycznej Sp( V , ω ) lub jej algebry Liego sp ( V , ω )

Jeśli G jest grupą zwartą (na przykład grupą skończoną ), a F jest ciałem liczb zespolonych, to wprowadzając zgodną strukturę unitarną (która istnieje na podstawie argumentu uśredniania), można pokazać, że dowolna zespolona reprezentacja symplektyczna jest reprezentacja czwartorzędowa . Reprezentacje kwaternionów grup skończonych lub zwartych są często nazywane reprezentacjami symplektycznymi i można je zidentyfikować za pomocą wskaźnika Frobeniusa – Schura .

•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . .