Wskaźnik Frobeniusa-Schura

W matematyce , a zwłaszcza w dyscyplinie teorii reprezentacji , wskaźnik Schura , nazwany na cześć Issai Schura lub wskaźnik Frobeniusa – Schura opisuje, jakie niezmienne dwuliniowe formy ma dana nieredukowalna reprezentacja zwartej grupy w złożonej przestrzeni wektorowej. Można go użyć do sklasyfikowania nieredukowalnych reprezentacji grup zwartych w rzeczywistych przestrzeniach wektorowych.

Definicja

Jeśli skończenie wymiarowa ciągła zespolona reprezentacja zwartej grupy G ma charakter χ, jej wskaźnik Frobeniusa-Schura jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle \ int _ {g \ w G} \ chi (g ^ {2}) \, d \ mu}

dla miary Haara μ przy μ ( G ) = 1. Gdy G jest skończone, jest dane przez

{\ Displaystyle {1 \ ponad | G |} \ suma _ {g \ w G} \ chi (g ^ {2}).}

Jeśli χ jest nieredukowalne, to jego wskaźnik Frobeniusa-Schura wynosi 1, 0 lub -1. Zapewnia kryterium do decydowania, czy nieredukowalna reprezentacja G jest rzeczywista, złożona czy czwartorzędowa, w określonym poniżej sensie. Znaczna część poniższej treści omawia przypadek grup skończonych , ale ogólny przypadek zwarty jest analogiczny.

Prawdziwe nieredukowalne reprezentacje

Istnieją trzy typy nieredukowalnych rzeczywistych reprezentacji skończonej grupy w rzeczywistej przestrzeni wektorowej V , ponieważ lemat Schura implikuje, że pierścień endomorfizmu dojeżdżający z działaniem grupowym jest rzeczywistą asocjacyjną algebrą dzielenia i zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa może być izomorficzny tylko z albo liczby rzeczywiste, liczby zespolone lub kwaterniony.

Jeśli pierścień jest liczbami rzeczywistymi, to V ⊗ C jest nieredukowalną zespoloną reprezentacją ze wskaźnikiem Schura 1, zwaną także reprezentacją rzeczywistą.
Jeśli pierścień jest liczbami zespolonymi, to V ma dwie różne sprzężone struktury zespolone, dające dwie nieredukowalne reprezentacje zespolone ze wskaźnikiem Schura 0, czasami nazywane reprezentacjami złożonymi .
Jeśli pierścieniem są kwaterniony , to wybór podpierścienia kwaternionów izomorficznego z liczbami zespolonymi powoduje, że V staje się nieredukowalną złożoną reprezentacją G ze wskaźnikiem Schura −1, zwaną reprezentacją kwaternionów .

Ponadto każdą nieredukowalną reprezentację w złożonej przestrzeni wektorowej można zbudować z unikalnej nieredukowalnej reprezentacji w rzeczywistej przestrzeni wektorowej na jeden z trzech powyższych sposobów. Zatem znajomość nieredukowalnych reprezentacji w przestrzeniach zespolonych i ich wskaźników Schura pozwala odczytać reprezentacje nieredukowalne w przestrzeniach rzeczywistych.

Rzeczywiste reprezentacje można skomplikować , aby uzyskać złożoną reprezentację tego samego wymiaru, a złożone reprezentacje można przekształcić w reprezentację rzeczywistą o dwukrotnie większym wymiarze, traktując oddzielnie komponenty rzeczywiste i urojone. Ponadto, ponieważ wszystkie złożone reprezentacje o skończonych wymiarach można przekształcić w reprezentację unitarną , w przypadku reprezentacji unitarnych reprezentacja podwójna jest również reprezentacją (złożoną) sprzężoną, ponieważ norma przestrzenna Hilberta daje antyliniową mapę bijektywną od reprezentacji do jej reprezentacji podwójnej.

Samodualna złożona nieredukowalna reprezentacja odpowiada albo rzeczywistej nieredukowalnej reprezentacji tego samego wymiaru, albo rzeczywistym nieredukowalnym reprezentacjom o dwukrotnie większym wymiarze, zwanych reprezentacjami kwaternionowymi (ale nie obydwoma), a niedualna złożona nieredukowalna reprezentacja odpowiada rzeczywistej nieredukowalnej reprezentacji dwukrotnie większej wymiar. Uwaga dotycząca tego drugiego przypadku: zarówno ze złożona nieredukowalna reprezentacja, jak i jej podwójna reprezentacja dają początek tej samej rzeczywistej nieredukowalnej reprezentacji. Przykładem reprezentacji kwaternionów byłaby czterowymiarowa rzeczywista nieredukowalna reprezentacja grupy kwaternionów Q ₈ .

Definicja w kategoriach kwadratu symetrycznego i naprzemiennego

Jeśli V jest podstawową przestrzenią wektorową reprezentacji grupy $,$ , to reprezentację tensorowego można rozłożyć jako bezpośrednią sumę dwóch ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {2} (V)}$ kwadrat symetryczny , oznaczony (również często oznaczane przez $Displaystyle V \ otimes _ {S} V}$ \ ${\ Displaystyle V \ dot V}$ ) i naprzemienny kwadrat , ${\ Displaystyle \ operatorname {Alt} ^ {2} (V)}$ (również często oznaczane przez ${\ Displaystyle \ klin ^ {2} V}$ , ${\ Displaystyle V \ otimes _ {A} V}$ lub ${\ Displaystyle V \ klin V}$ ). Jeśli chodzi o te kwadratowe reprezentacje, wskaźnik ma następującą alternatywną definicję:

{\ Displaystyle \ jota \ chi _ {V} = {\ rozpocząć {cases}1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ jest podreprezentacją }}\operatorname {Sym} ^{2}(V)\\-1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ jest podreprezentacją }}\operatorname {Alt} ^{2}(V)\\0&{\text{inaczej}}\end{cases}}}

gdzie $.$ reprezentacją

Aby to zobaczyć, zauważ, że termin naturalnie pojawia się w znakach tych przedstawień; ${\ Displaystyle \ chi (g ^ {2})}$ mianowicie mamy

${\ Displaystyle \ chi _ {V} (g ^ {2}) = \ chi _ {V} (g) ^ { 2}-2\chi _{\klin ^{2}V}(g)}$

I

${\ Displaystyle \ chi _ {V} (g ^ {2}) = 2 \ chi _ {\ operatorname { Sym} ^{2}(V)}(g)-\chi _{V}(g)^{2}}$ .

Zastępując którykolwiek z tych wzorów, wskaźnik Frobeniusa – Schura przyjmuje strukturę naturalnego iloczynu wewnętrznego niezmiennego G funkcji klasowych :

${\ Displaystyle \ jota \ chi _ {V} = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i \ langle \ chi _ {\ tekst {triv}}, \ chi _ {\ operatorname {Sym} ^ {2} (V)} \ rangle =1\\-1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}\rangle =1\\0&{\text{inaczej} }\\\koniec {przypadków}}}$

Iloczyn wewnętrzny liczy krotności sum bezpośrednich ; równoważność definicji następuje więc natychmiast.

Aplikacje

Niech V będzie nieredukowalną $G]}$ reprezentacją grupy G (lub równoważnie nieredukowalną reprezentacją - moduł , gdzie do $]$ $mathbb {C$ oznacza pierścień grupy ). Następnie

Istnieje niezerowa forma dwuliniowa niezmienna G na V wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ jota \ chi \ neq 0}$
Istnieje niezerowa G - niezmienna symetryczna forma dwuliniowa na V wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ jota \ chi = 1}$
Istnieje niezerowa skośno-symetryczna postać dwuliniowa G -niezmienna na V wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle \ jota \ chi = -1}$ .

Powyższe jest konsekwencją uniwersalnych właściwości algebry symetrycznej i algebry zewnętrznej , które są podstawowymi przestrzeniami wektorowymi kwadratu symetrycznego i naprzemiennego.

Dodatkowo,

${\ Displaystyle \ jota \ chi = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ chi}$ nie ma wartości rzeczywistych (są to złożone reprezentacje),
$chi = 1}$ $\$ wtedy i tylko wtedy, gdy można zrealizować nad $\ Displaystyle \ jota \ chi = 1}$ są to rzeczywiste reprezentacje) i ι χ = 1
${\ Displaystyle \ jota \ chi = -1}$ $wtedy$ i tylko wtedy, gdy jest rzeczywiste, ale nie może być zrealizowane nad $}$ (są to reprezentacje czwartorzędowe) .

Wyższe wskaźniki Frobeniusa-Schura

Podobnie jak w przypadku dowolnej złożonej reprezentacji ρ,

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {1} {| G |}} \ suma _ {g \ w G} \ rho (g)}

jest samosplotem dla dowolnej liczby całkowitej n ,

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {| G|}} \ suma _ {g \ w G} \ rho (g ^ {n})}

jest również samoprzeplataczem . Zgodnie z lematem Schura będzie to wielokrotność tożsamości dla nieredukowalnych reprezentacji. Ślad tego samosplotu nazywany jest n-tym ^wskaźnikiem Frobeniusa-Schura .

Oryginalny przypadek wskaźnika Frobeniusa – Schura jest taki, że dla n = 2. Wskaźnik zerowy jest wymiarem reprezentacji nieredukowalnej, pierwszy wskaźnik wynosiłby 1 dla reprezentacji trywialnej i zero dla innych reprezentacji nieredukowalnych.

Przypomina niezmienniki Casimira dla nieredukowalnych reprezentacji algebry Liego . W rzeczywistości, ponieważ każdą reprezentację G można traktować jako moduł dla C [ G ] i odwrotnie, możemy spojrzeć na środek C [ G ] . Jest to analogiczne do patrzenia na środek uniwersalnej algebry otaczającej algebry Liego. Łatwo to sprawdzić

\ Displaystyle \ suma _ {g \ w G} g ^ {n}}

należy do środka C [ G ], który jest po prostu podprzestrzenią funkcji klasowych na G .

G.Frobenius & I.Schur, Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen (1906), Frobenius Gesammelte Abhandlungen vol.III, 354-377.
Serre, Jean-Pierre (1977). Reprezentacje liniowe grup skończonych . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6 . OCLC 2202385 .
James, Gordon Douglas (2001). Reprezentacje i charaktery grup . LiebeckMartin W. (wyd. 2). Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. s. 272 –278. ISBN 052100392X . OCLC 52220683 .